易错点06 解三角形-2023年高考数学考试易错题（解析版）（全国通用）

易错点06解三角形

易错分析

易错点1：正、余弦定理相关公式混乱、记错

在△/8C中，若角43,C所对的边分别是a,b,c,火为△N8C外接圆半径，则

定理余弦定理正弦定理

a2=/?2+c2-2bccos4;abc

ZA

sinAsinBsinC

公式%2=/+a2-2ccccsB；

。2=。2+62-2。反0§c

Z?2+c2-。2(l)a=2Hsin

cosA=----------;

2bc

A,h=2RsinBtc=2RsinC;

c2+〃2-82

cosB=----------;abc

lac(2)sin/=——，sinB=——，sinC=—;

常见变2R2R2R

a2+b2-c2

形cosC=----------(3)d:h:c=sinA*.sinB：sin

lab

c；

(4)asinB=bsinAtbsinC=csin

B,QsinC=csin/

易错点2:三角形面积公式不知如何运用、混乱、记错

1_

(i)s=5。九(九表示。边上的题.

111abc

(2)S=~absinC=-acsin8=-bcsinA=---

2224R

1

(3)S=5«a+b+c)&为内切圆半径).

错题纠正

1.已知"8C的三个内角A,B,C的对边分别为明b,C,且6a=5c+6bcosC,则

cos5=()

7532

A.8B.6C.4D.3

【答案】B

【详解】由6a=5c+66cosC边化角得6sin力=5sinC+6sin.5cosC

又sin/=sin(B+C)所以6sin+C)=5sinC+6sin5cosC

展开得6sinBcosC+6cos3sinC=5sinC+6sin5cosC

所以6cos8sinC=5sinC

cos8=一

因为smC>0,所以6.

故选:B.

I-cosA=—

2.在中，内角z,8,c的对边分别为a,b,c,且。=2j6,…4,

sin8=2sinC,贝(Jc=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【详解】sin8=2sinC,由正弦定理可得b=2c.

又”a=2显,cos介-;

••・由余弦定理/=c2+h2-2cbcosA

24=c2+b2-2cb\\=4c2+c2+—x2c2

可得I"2,

解得c=2或c=-2(舍去).

故选：B.

3.已知“8C三边q,b,c及对角4B,C,周长为5,且满足

(sinA+sin5)2=sinsin5+7sin25若方=1,则A/5C的面积S=(

7157巫VB

A.4B.8C.2D.8

【答案】A

【详解】因为®n"+sin8)2=sin/sin8+7sin?8,由正弦定理得(a+OH=仍+7〃，所以

a=2ba=-3b舍去),

三角形周长为5,人=1,则a=2,c=2.

由等腰三角形性质知AC边上的高为一

S=klx^=^

所以三角形面积为224.

故选：A.

4.在△/8C中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,若皿

c2

，则△ZBC的面积为了时，A的最大值是（）

B.亚

A.2C.4D.2石

【答案】B

1.C

S=­cibsinG=—.

【详解】由题意得22,所以c'absinC,

又因为/+〃-labcQsC所以a?+〃=c?+2abcosC=ahsinC+2ahcosC

k=°+"=sinC+2cosc=V5sin(C+69).

所以ab«),其中tan°=2,且QO,

所以％的取值范围为(°,行1

故选:B.

5.已知"BC的内角4及C所对的边分别为a也c,且(a-b)sinZ=csinC-6sin8,若

“8C的面积为3百，则c的最小值为(□□)

A.2百B.4石C.2D,4

【答案】A

【详解广(a-b)sin/=csinC-6sin8

：.a2-ab=c2-b2

:.a2+b2-c2=ab

a2+b-c2

lab2

S=-aftsinC=3\/3

2

/.ab=12

■：c2=cr+b2-ab>2ab-ab=\2(当且仅当c=时取等号),

...c>2>/3

故选:A.

举一反三；>

花

1.已知"8C的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,面积为3百，W,b+c=4后

，贝！1”()

A.20B.5C.8D.2&

【答案】A

.S^ARC=—icsinJ=3>/3

【详解】由题意可知，2，得庆=12

-b+c=4y/3be=12

由余弦定理可得，"之+c2-2bccosA=(/?+c)2-2bc-2bccosA

整理得：/=12，:.a=26

故选:A

cosfA-^-}=

2.已知△力中7sin28+3sin2c=2sirr4+2sin4sin8sinC,贝|J147

()

巫—叵75275

A.10B.10C.丁D.~

【答案】B

【详解】由正弦定理可得7b2+3C2=2a2+26。sin/

27h2+3c2—2bcsinA

2,又a?=82+c?-26ccos4.

7〃+3c?-26csin/,2r,,

/.-----------------=b2+c-zbccosA

2

22

Oz..0八5Z>+C56c，卜bCr-

化间得：becbNeb

当且仅当反=c时取等号gg275sin(^-<9)>2\/5

■八21

sm9,cos夕n=-7=

其中tan6=2后出,

即sin(4-0)>\又sin(4-0)<\sin(4-6)=1

7T7T

二.Z—6=—+2knA=0+—+2E,ksZ

2.%£Z.即2

丁・sin（4+；）=sin[6+；+]+2kn）=cos（6+；）

当"Ti®=号*g）=一嘤

...cosf/」]=cos（工-Z）=sin（/+[=-叵

I4）l4J（4）10

故选：B

，八「，(b+c)(b-c)=ac.C=—

3.在U8C中，内角48,C的对边分别为a/,c,若l八)6,则8=

()

兀万工24

A.6B.5C.5D.~

【答案】B

[详解]由0+c）Q_c）="得〃=c2+ac,

结合余弦定理/=a2+c2-2accosB,可得a-2ccos5=c,

再由正弦定理得siM-2sinCcos5=sinC因为

sin4-2sinCcos5=sin（5+C）-2sinCcosB=sin（5-C）

所以sin（5-C）=sinC所以"C=C,得8=2C.

C=-B=-

因为6,所以3.

故选：B

（a+4

4.在“8C中，角〃，B,。的对边分别是a,b,c,若c=3bsin4则ab

的取值范围是（）

A.[3,5]g[4,6]Q[4,2+V13]p[4,2+V15]

【答案】C

（a+b）2a2+b~_ba__[b_a3.

--=---------+2=-+-+2>2.-x-+2=4

【详解】abababVab（当且仅当“时取等号）

由c=3bsin"可得sinC=3sin8sin4

（a+b）2a2+b2.c2+2a6cosC.

----------=-----------F2=--------------------J-2

ababab

/sin~C

=2+—+2cosC=2+------------+2cosC

absinAsinB

in2

=2+~-+2cosC=2+2cosC+3sinC

-sinC

3

_3._24

=2+而sin(C+*)42+仃其中~=而§”=7rl当且仅当。+夕=5

时取得等号，

4<(a+Z?)~<2+713

所以如

故选:C

5.我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”

,设“8C

的三个内角4B,。所对的边分别为a,b,c,面积为S,则“三斜求积”公式为

1

4-

(a+c)2=6+62

若a2sinC=2sinA

,则用“三斜求积”公式求得“8C的面积为()

21

A.2B.百C.2D.1

【答案】A

【详解】解:因为〃sinC=2sin/,«+城=6+6]

所以=2,a2+c2-b2=6-lac=2,

故选:A

易错题通关

一、单选题

1.已知18。的内角48,C对应的边分别是〃,b,c,内角A的角平分线交边8c于

。点，且4)=4.若(2b+c)cosN+“osC=0,则"8C面积的最小值是()

A.16B.166C.64D.64G

【答案】B

【详解】••.(2h+c)cosA+acosC=0

A2sinBcos+sinCcosJ+sincosC=0

gp2sinBcos力+sin(C+4)=2sin8cos%+sin8=0

又8e(0,乃)，sin8>0,

...2cosZ+I=0,即as'--，，又/e(O,i),

.24

A=——

:.3,

由题可知SjBC=S4ABD+S^ACD,AD=4,

1,.2乃1..41、兀

-besin——=—x4csin—+—x4/>sm—i

所以232323,即从=4(b+c)

又bc=4(b+c)28版即历264,

当且仅当6=c取等号，

SABC=—ftesin—>—x64x-=16>/3

所以2322

故选:B.

2.“8C的内角力，B,C的对边分别为a,b,C,已知sin/cosC=sin8,4h2=a2

，则()■

A.2c=4B.2c=ViaQ2a=y/3cj)2a-c

【答案】B

【详解】•••sinAcosC=sinBsin%w0

cos。_sinB_h

・・・由正弦定理得8s=

「1

2-cosC=-

因为。=4/，所以。=2b,即2,

c"=a2+b~—2abcosC—ci~-\-h~—cib=—ci~(—

4,即2c=V3a.

故选:B.

3.在A45C中，已知8c=6,4=30。，8=120°,则“8C的面积等于（)

A.9B.18C.D.*右

【答案】C

旦=£gBCxsinj万

【详解】根据正弦定理得:sinAsin8所以sinA,

。S/\ARC=—xG4xCSxsinC=9A/3

因为C=180-8-Z=30。，所以△似2

故选:C.

,7

cosA=—

4.在“8C中，25,“8c的内切圆的面积为16］，则边5c

长度的最小值为()

A.16B.24C.25D.36

【答案】A

【详解】因为“8C的内切圆的面积为16%所以"8C的内切圆半径为4.设“8C

,7-24

一,cosZ=—sinA=—

内角A,B,C所对的边分别为a,b,c_因为25,所以25,所以

241125

tan4=——^AABC=-bcsinA=—(a+b+c)x4_he=—(a+h+c)

7.因为22,所以6

,24J34516

tanA.=—tan—=-=AD=—

.设内切圆与边/C切于点。，由7可求得24则3

725(32。25M6

AD_b+c-a

b.cAahe=——+2a—+67

.又因为2,所以3.所以633

32-32

—+a>2一+

,所以3,即333A整理得

』=竺

«2-12«-64>0,因为"0,所以。216,当且仅当3时，。取得最小值.

故选:A.

sinZ

5.记"BC的内角48,C的对边分别为0也c,若”什与贝：sin8+sinC

()

1A4

A.2B.4C.5D.2

【答案】C

sin4_a_4c_4

【详解】由正弦定理得:sin8+sinCb+c4c+c5

故选:c.

6.在“8C中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,且。=2〃，。。，"一"

sin8=2sinC,则6=()

A.1B.2C.3D,4

【答案】D

【详解】因为sin8=2sinC,由正弦定理可知6=2c,

.b2+c2-a214c2+c2-241

在"BC中，由余弦定理可得：-2bc~44c2一^,解得‘2=4,

vc>0,.-.c=2故6=4

故选:D

二、多选题

7.如图，“8C的内角所对的边分别为a，6，c，G(acosC+ccos")=26sin5且

§.若。是“8C外一点，OC=1,ZD=3,则下列说法中正确的是()

B——

A."8C的内角3

C=-

B."8C的内角3

s/

C.四边形/SCO面积的最小值为技

D.四边形488面积无最大值

【答案】AB

［洋解］因为G(acosC+ccos/)=26sinB

所以由正弦定理得G(sin"cosC+sinCeos/4)=2sin2B

所以百sin（力+。）=2sin2B

又因为“+8+C=万，所以$吊("+0)=$出8,所以Gsin8=2sin28

■A2

因为sin"0,所以"-2

24

ZCAB=-0,B)

又因为3,所以I,所以3

C=7t—A—B=—

所以3,因此A,B正确;

、iAn/^r\rS^ABC+SACD=—AC~H—AD-DCesinZ.ADC

四边形Z3CQ面积等于“842

[j1

=­x(AD2+DC2-2ADDCCOS//QC)+^ADDC-sinZ.ADC

=x(9+1-6.cos/.ADC)+gx3sinZADC

5百，.r//cl兀乃

-------F3sin/ADC----

23

sin(ZJDC-y5：।3

AADC--=-=1

所以当32即时，S""c+%8取最大值2

5也

，+30

所以四边形面积的最大值为2

因此C,D错误

故选：AB

\_

8."8c内角A,B,C的对边分别为a,b,c已知/,sin/=(36-c)sin8,且

,则下列结论正确的是（)

A.a+c=3bB.tanA=272

C.“8C的周长为4cD.48C的面积为9

【答案】ABD

【详解】由正弦定理得儿=（36-办，整理得"36-C,即a+c=36,A正确;

j丹贝丁舞2却正确;

cos^=-sin^=1-

由3可得VI