小学奥数系列训练题-几何计数通用版

小学奥数系列训练题-几何计数

通用版

2015年小学奥数计数专题—几何计数

1.用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角

形.如图,用这样的等边三角形拼合成一个更

大的等边三角形.如果这个大等边三角形的每

边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火

柴？

A

2.如图，用长短相同的火柴棍摆成3X1996

的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴

棍组成，那么一共需用多少根火柴棍？

3.图是一个跳棋棋盘，请你计算出棋盘上共

有多少个棋孔？

4.如图，在桌面上，用6个边长为1的正三

试卷第2页，总7页

角形可以拼成一个边长为1的正六边形.如果

在桌面上要拼出一个边长为6的正六边形，那

么，需要边长为1的正三角形多少个？

5.如图，其中的每条线段都是水平的或竖直

的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7

厘米、9厘米、2厘米和4厘米、6厘米、5厘

米、1厘米.求图中长方形的个数，以及所有

长方形面积的和.

6.如图，18个边长相等的正方形组成了一

个3X6的方格表，其中包含的长方形及

正方形共有多少个？

■

7.图是由若干个相同的小正方形组成的.那

么，其中共有各种大小的正方形多少个？

8.图中共有多少个三角形?

试卷第3页，总7页

9.图是由18个大小相同的小正三角形拼成

的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼

成较大的正三角形.那么，图中包含的

各种大小的正三角形一共有多少个？

10.如图，AB,CD,EF,MN互相平行，则图

中梯形个数与三角形个数的差是多少？

11.在图中，共有多少个不同的三角形?

12.如图，一块木板上有13枚钉子.用橡皮

筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形、正

方形、梯形等等，如图.那么，一共可以构成

多少个不同的正方形？

试卷第4页，总7页

等

13.如图，用9枚钉子钉成水平和竖直间隔

都为1厘米的正方阵.用一根橡皮筋将3枚不

共线的钉子连结起来就形成一个三角形.在这

样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三

角形共有多少个？

14.如图，木板上钉着12枚钉子，排成三行

四列的长方阵.那么用橡皮筋共可套出多少个

不同的三角形？

15.如图，正方形ACEG的边界上有A,B,C,

D,E,F,G这7个点，其中B,D,F分别在

边AC,CE,EG±.以这7个点中的4个点为

顶点组成的不同四边形的个数等于多少？

试卷第5页，总7页

16.数一数下列图形中各有多少条线段.

ABCABCDABCDE

（1）（2）（3）

17.数出下图中总共有多少个角.

18.数一数下图中总共有多少个角？

19.如下图中，各个图形内各有多少个三角

形？

（1）（2）

20.如下图中，数一数共有多少条线段？共有

多少个三角形？

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21.如右图中，共有多少个角？

22.在图中（单位：厘米）：

①一共有几个长方形？

②所有这些长方形面积的和是多少?

23.由20个边长为1的小正方形拼成一个4x5长

方形中有一格有图中含有的所有

长方形（含正方形）共有一个，它们的面积总

24.图中共有多少个三角形?

25.一个圆上有12个点A1,A2,A3,An,

A12.以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是

一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相

试卷第7页，总7页

交.问共有多少种不同的连法?

试卷第8页，总7页

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参考答案

1.630

【解析】把大的等边三角形分为20“层”分别

计算火柴的根数：

最上一“层”只用了3根火柴；

从上向下数第二层用了3义2=6根火柴；

从上向下数第三层用了3义3=9根火柴；

从上向下数第20层用了3X20=60根火柴.

所以，总共要用火柴3X(1+2+3+…+20)=630

根.

2.13975

【解析】横放需1996X4根，竖放需1997X3根,

共需1996X4+1997X3=13975根.

3.121

［解析1把棋盘分割成一个平行四边形和四个小

三角形，如下图.平行四边形中棋孔数为9X9

=81,每个小三角形中有10个棋孔，所以棋孔

共有81+10X4=121个.

答案第1页，总17页

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△

V

或直接数出有121个.

4.216

【解析】如图AB=6,组成AAOB需要边长为1

的正三角形共：

1+3+5+7+9+11=36个，而拼成边长为6的正六

边形需要6个AAOB,因此总共需要边长为1的

正三角形36X6=216个.

5.100,10664

【解析】确定好长方形的长和宽，长方形就唯一

确定，而图中只需确定好横向线段，竖向线段，

即可.

于是横向线段有(1+2+3+4)=10种选法，竖向线

段也有(1+2+3+4)=10种选法,则共有10X10

答案第2页，总17页

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=100个长方形.

这些长方形的面积和为：

(5+7+9+2+12+16+11+21+18+23)X

(4+6+5+1+10+11+6+15+12+16)=124X86=

10664(平方厘米).

6.36

【解析】我们把所求的长、正方形按占有的行数

分为三类，每类的长、正方形的个数相等.

其中只占有下面一行的有如下12种情况：

卜4TT*卜HI-HT叼IIIIII1fII

III1*1□III1*日I口H*4-lII□HHI

□IMlIII口㈣III□I□阳口

于是共有12X3=36个正、长方形包含.

7.130

【解析】每个4X4正方形中有：

边长为1的正方形4X4个；边长为2的正方形

3X3个；边长为3的正方形2义2个，边长为4

的正方形1X1个.

总共有4X4+3X3+2X2+1X1=30个正方形.

现在5个4X4的正方形，它们重叠部分是4个

2X2的正方形.因此，图中正方形的个数是30

X5-5X4=130.

答案第3页，总17页

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8.22

【解析】边长为1的正三角形，有16个.边长

为2的正三角形，尖向上的有3个，尖向下的也

有3个.因此共有16+3+3=22个.

9.6

【解析】设小正三角形的边长为L分三类计算

计数包含*的三角形中，

边长为1的正三角形有1个；边长为2的正三角

形有4个，边长为3的正三角形有1个；

因此，图中包含的所有大、小正三角形一

共有1+4+1=6个.

10.20

【解析】图中共有三角形(l+2+3+4)X4=40个,

梯形Q+2+3+4)X(1+2+4)=60个，梯形比三角

形多60—40=20个.

11.85

【解析】下图中共有35个三角形，两个叠加成

题中图形时，又多出5+5X2=15个三角形，共

计35X2+15=85个三角形.

答案第4页，总17页

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12.11

【解析】按正方形的面积分类，设最小的正方形

面积为1,

面积为1的正方形有5个，如图a所示；

面积为2的正方形有4个，如图b所示；

面积为4的正方形有1个，如图c所示；

还有1个面积比4大的正方形，如图d所示；

♦曲螃•府••曲

曳aSbScgd

于是，一共可以构成5+4+1+1=11个不同的正方

形.

13.32

【解析】我们分三种情况来找面积为1平方厘米

的三角形，这些三角形的底与高分别为1厘米或

2厘米，利用正方形的对称性：

(1)等腰直角三角形，如下图a所示有△AOC,△

COE,AEOG,AGOA,ABOH,ADFB,AFHD,△

HBF,共计8个，其中以AC,CF,FG,GA为底的

各一个，以BF,DH为底的各两个.

答案第5页，总17页

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GFEGFEG

ABCABCABC

困a®bSc

(2)直角三角形，如图b所示有△ACH,ACHD,

△ACD,ADHA,ABEF,ABCE,ACEF,ACFB,

△DEG,ADGH,AEGH,AEHD,AGAB,AGBF,

△FAB,AFGA,共计16个，其中以AD、CH、BE、

CF、DG、EH、FA、GB为斜边的各两个.

(3)钝角三角形，如图c所示有AABE,AAHE,

△ADE,AAFE,ACBG,ACFG,ACDG,ACHG

共计8个，其中以AE、CG为边的各四个.

于是，综上所述，共有面积为1平方厘米的三角

形32个.

14.200

【解析】我们先任意选取三个点，那么第1个点

有12个位置可以选择，第2个点有11个位置可

以选择，第3个点有10个位置可以选择，但是

每6种选法对应的都是同一个图形，如下图，

ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA均是同一个图

形.

答案第6页，总17页

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所以有12X11X10+6=220种选法，但是如果

这3点在同一条直线上就无法构成三角形，其中

每行有4种情况，共3X4；每列有1种情况，

共1X4；2个边长为2的正方形的4条对角线，

共4种情况.

所以，可以套出220-3X4-1X4-4=200个不

同的三角形.

15.12

【解析】如果暂时不考虑点之间的排列位置关

系，从7个点中任取4个点，则第一个点有7个

位置可选，第二个点有6个位置可选，第三个点

有5个位置可选，第四个点有4个位置可选，而

不考虑先后，那么有4X3X2X1=24种选法的

实质是一样的，所有可能的组合数目应该是(7

X6X5X4)4-24=35.我们只要从中减去不能构

成四边形的情形.

对图19T6而言，任取4个点而又不构成四边形

的情形只能发生在所取的4个点中有3个来自正

方形ACEG的一条边，而另一个则任意选取的时

答案第7页，总17页

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候，例如选定A、B、C3点，第4个点无论如何

选取都不能构成四边形.

正方形的4条边中有3条都存在这样的情况.而

每次这种情况发生时，第4个顶点的选取有4种

可能.

所取的顶点只有4个，因此不可能出现同时选择

了2条有3点共线的边的情况.

那么需要排除的情况有4X3=12种.

所以，满足题意的四边形个数有35-12=23个.

16.15

【解析】要想使数出的每一个图形中线段的总条

数，不重复、不遗漏，就需要按照一定的顺序、

按照一定的规律去观察、去数.这样才不至于杂

乱无章、毫无头绪.我们可以按照两种顺序或两

种规律去数.

第一种：按照线段的端点顺序去数，如上图（1）

中，线段最左边的端点是A,即以A为左端点的

线段有AB、AC两条以B为左端点的线段有BC一

条，所以上图（1）中共有线段2+1=3条.同样

按照从左至右的顺序观察图（2）中，以A为左

端点的线段有AB、AC、AD三条，以B为左端点

的线段有BC、BD两条，以C为左端点的线段有

答案第8页，总17页

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CD一条.所以上页图（2）中共有线段为3+2+1

=6条.

第二种：按照基本线段多少的顺序去数,所谓基

本线段是指一条大线段中若有n个分点，则这条

大线段就被这n个分点分成n+1条小线段，这

每条小线段称为基本线段.如上页图（2）中，线

段AD上有两个分点B、C,这时分点B、C把AD

分成AB、BC、CD三条基本线段，那么线段AD总

共有多少条线段？首先有三条基本线段，其次是

包含有二条基本线段的是：AC、BD二条，然后

是包含有三条基本线段的是AD这样一条.所以

线段AD上总共有线段3+2+1=6条，又如上页

图（3）中线段AE上有三个分点B、C、D,这样

分点B、C、D把线段AE分为AB、BC、CD、DE四

条基本线段，那么线段AE上总共有多少条线

段？按照基本线段多少的顺序是：首先有4条基

本线段，其次是包含有二条基本线段的有3条，

然后是包含有三条基本线段的有2条，最后是包

含有4条基本线段的有一条，所以线段AE上总

共有线段是4+3+2+1=10条.

解：①2+1=3（条）,

②3+2+1=6（条）.

答案第9页，总17页

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③4+3+2+1=10（条）.

17.10

【解析】在NA0B内有三条角分线OC1、OC2、OC3,

ZA0B被这三条角分线分成4个基本角,那么Z

A0B内总共有多少个角呢？首先有这4个基本

角,其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即

NA0C2、NC10C3、ZC20B）,然后是包含有3个

基本角组成的角有2个（即NA0C3、ZC10B）,

最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即N

A0B）,所以NA0B内总共有角：

4+3+2+1=10（个）.

解：4+3+2+1=10（个）.

小结：数角的方法可以采用例1数线段的方法来

数，就是角的总数等于从1开始的几个连续自然

数的和，这个和里面的最大的加数是角分线的条

数加L也就是基本角的个数.

18.55

【解析】因为NA0B内角分线0C1、0C2…0C9共

有9条，即9+1=10个基本角.

所以总共有角：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）.

19.（1）6（2）10

答案第10页，总17页

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【解析】可以采用类似

例1数线段的两种方法来数，如图（2）：

第一种方法：先数以AB为一条边的三角形共有:

△ABD、△ABE、AABF.△ABC四个三角形.

再数以AD为一条边的三角形共有：

△ADE、△ADF、aADC三个三角形.

以AE为一条边的三角形共有：

△AEF、△AEC二个三角形.

最后以AF为一条边的三角形共有AAFC一个三

角形.

所以三角形的个数总共有4+3+2+1=10.

第二种方法：先数图中小三角形共有：

△ABD、AADE>AAEF>△AFC四个三角形.

再数由两个小三角形组合在一起的三角形共有：

△ABE、AADF>ZkAEC三个三角形，

以三个小三角形组合在一起的三角形共有：

△ABF、ZkADC二个三角形，

最后数以四个小三角形组合在一起的只有AABC

一个.

所以图中三角形的个数总共有：4+3+2+1=10

（个）,

解：①3+2+1=6（个）

答案第11页，总17页

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②4+3+2+1=10（个）,

答：图（1）及图（2）中各有三角形分别是6个

和10个.

小结：计算三角形的总数也等于从1开始的几个

连续自然数的和，其中最大的加数就是三角形一

边上的分点数加L也就是三角形这边上分成的

基本线段的条数.

20.60,30

【解析】分析在数的过程中应充分利用上几例总

结的规律，明确数什么？

怎么数？这样两个问题.数：就是要数出图中基

本线段（基本三角形）的条数，算：就是以基本

线段（基本三角形）条数为最大加数的从1开始

的连续几个自然数的和.

①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、

AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再

看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各

分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：

（3+2+1）X5+（4+3+2+1）X3=30+30=60（条）.

②要数有多少个三角形，先看在△AGH中，在GH

上有3个分点，分成基本小三角形有4个,所以

在AAGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在△

答案第12页，总17页

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AMN与△ABC中，三角形有同样的个数，所以在

△ABC中三角形个数总共：

(4+3+2+1)X3=10X3=30(个).

解：①在aABC中共有线段是：

(3+2+1)X5+(4+3+2+1)X3=30+30=60(条)

②在aABC中共有三角形是：

(4+3+2+1)X3=10X3=30(个).

21.13

【解析】分析本题虽然与上几例有区别，但仍可

以采用上几例所总结的规律去解决.

Nl、N2、N3、N4我们可视为4个基本角，

由2个基本角组成的有：N1与N2、N2与N3、

Z3与N4、Z4与NL共4个角.由3个基本角

组成的角有：Nl、N2与N3；N2、N3与N4；

N3、N4与Nl；N4、N1与N2,共4个角，

由4个基本角组成的角只有一个.

所以图中总共有角是：4X3+1=13(个).

解：所以图中共有角是：4X3+1=13(个).

小结：由本题可以推出一般情况：若周角中含有

n个基本角，那么它上面角的总数是n(n-1)

+1.

22.100,12384

答案第13页，总17页

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【解析】①一共有(4+3+2+l)x(4+3+2+l)=100(个)长方形;

②所求的和是

[5+12+8+l+(5+12)+(12+8)+(8+l)+(5+12+8)+(12+8+l)+(5+12+8+l)]x

[2+4+7+3+(2+4)+(4+7)+(7+3)+(2+4+7)+(4+7+3)+(2+4+7+3)]

=144x86=12384（平方厘米）o

23.48,360

【解析】含☆的一行内所有可能的长方形有：（八

种）

p^|☆☆☆☆Ir^i-

网IIII|创口|

含☆的一列内所有可能的长方形有：（六种）

所以总共长方形有6x8=48个，面积总和为

（l+2+2+3+3+4+4+5）x（l+2+2+3+3+4）=360o

24.118

【解析】显然三角形可分为尖向上与尖向下两大

类，两类中三角形的个数相等.尖向上的三角形

又可分为6类

（1）最大的三角形1个（即△ABC）,

（2）第二大的三角形有3个

答