四川省眉山市2023届高三第一次诊断性考试数学(理)试题（解析版）

眉山市高中2023届第一次诊断性考试

数学(理工类)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知i是虚数单位，若”+2i与1+加互为共轨复数，则(。+的)=()

A.5-4iB.5+4iC.-3-4zD.-3+4i

【答案】C

【解析】

【分析】根据共轨复数的概念可求得a力的值，进而根据复数的乘法运算即可求得结果.

【详解】由已知可得所以(。+万)2=(1—2i)2=l—4i+4i2=—3—4i.

故选：C

2.已知集合4={小2+x-6<。},8={止1<%<3},则AD5=()

A.(-3,3)B.(-2,3)C.(—1,5)D.(-5,3)

【答案】A

【解析】

【分析】求出集合A,根据并集的运算即可求出结果.

【详解】解d+x—6<0可得，一3<%<2,所以A={x|-3<x<2},

所以AUJB={x|-3<x<2}u{x|-1<x<3}={x|-3<x<3}.

故选：A.

3.采购经理指数(PMI),是通过对企业采购经理的月度调查结果统计汇总、编制而成的指数，它涵盖了企

业采购、生产、流通等各个环节，包括制造业和非制造业领域，是国际上通用的检测宏观经济走势的先行

指数之一，具有较强的预测、预警作用.制造业PMI高于50%时，反映制造业较上月扩张；低于50%,

则反映制造业较上月收缩.下图为我国2021年1月一2022年6月制造业采购经理指数(PMI)统计图.

4(%)

2021年1月一2022年6月制造业指数(PMI)

50

4511___iiii___iiii___1«,11111___1»

1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月1月2月3月4月5月6月

2021年2022年

根据统计图分析，下列结论最恰当的一项为()

A.2021年第二、三季度的各月制造业在逐月收缩

B.2021年第四季度各月制造业在逐月扩张

C.2022年1月至4月制造业逐月收缩

D.2022年6月PMI重回临界点以上，制造业景气水平呈恢复性扩张

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，将各个月的制造业指数与5()%比较，即可得到答案.

【详解】对于A项，由统计图可以得到，只有9月份的制造业指数低于5()%,故A项错误；

对于B项，由统计图可以得到，10月份的制造业指数低于50%,故B项错误；

对于C项，由统计图可以得到，1、2月份的制造业指数高于50%,故C项错误；

对于D项，由统计图可以得到，从4月份的制造业指数呈现上升趋势，且在2022年6月PMI超过5()%,

故D项正确.

故选：D

4.已知函数f(x)=2x+*(xeR),则“力的图象()

A.关于直线x=l对称B.关于点(1,0)对称C.关于直线x=0对称D.关于原点对称

【答案】A

【解析】

【分析】求出“2-x)以及"-力的表达式，根据函数的对称性，即可判断各项，得到结果.

444

【详解】对于A项，由已知可得，/(2-x)=22-v+^7=4-^V-+^=2'+^=/(%),

所以/(x)的图象关于直线X=1对称，故A项正确;

对于B项，因为〃2一%)=2、+',则于(2-尤)=一/⑺,故B项错误;

对于C项，f(-.V)=2'+-―^=4-2A+—,则/(—x)。/(X),故C错误;

对于D项，因为/(_1)=4.2<+埃，贝U/(T)KX),故D错误.

故选:A

【点睛】设/(力的定义域为O.

对于VXGO,若“2a-x)=/(x)恒成立，则/(力的图象关于直线x=a对称;

对于Vxe。，若,f(2ar)=—/(x)恒成立，则/(x)的图象关于点(。,0)对称.

5.党的二十大报告既鼓舞人心，又催人奋进.为学习贯彻党的二十大精神，某宣讲小分队将5名宣讲员分

配到4个社区，每个宣讲员只分配到1个社区，每个社区至少分配1名宣讲员，则不同的分配方案共有()

A.480种B.240种C.120种D.60种

【答案】B

【解析】

【分析】先选出2人为1组有C；种，再将4组人员分配到4个社区有A：,根据分步计数原理，即可求出

结果.

【详解】5名宣讲员分配到4个社区，每个社区至少1人，则分配方式为1,1,1,2,

先选出2人为1组有C；=10种，再将4组人员分配到4个社区有A：=24,

所以不同的分配方案共有10x24=240.

故选：B.

6.函数〃月=与竺土在区间［一2兀,2兀］上的图象大致为()

e'+e'

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性以及函数值的符号分析判断.

2(-X)3COS(-X)_2X3COSX

【详解】IS)=-"x)'

e-JC+evex+e-x

.•・/（X）为奇函数，图象关于原点对称，C、D错误;

又：若XG（O,2K|时，2/>0,ev+e^>0,

当工6（0,5）1；（沫,2兀）时,

cosx>0,cosx<0,

.•.当T（）g]u]£,2兀卜，〃x）>0,当爸时，/。）<0,

A错误，B正确;

故选：B.

7.已知sin（a+：）=；,则sin（2a+的值为（）

.7472„45/2

D•---------

999

【答案】D

【解析】

【分析】以a+,IT为整体，利用诱导公式和二倍角的余弦公式运算求解.

(5兀、兀7

【详解】Vsin2«+—=sin+—=cos2a+—=l-2sin2a+—=l-2x]一

I6J2I6；I6)⑶9

故选：D.

8.如图所示的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”

最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….如图所示的程序框图，输出的S即为小球总数,

则5=（）

A.35C.84D.120

【答案】B

【解析】

【分析】设第〃层小球个数为凡，根据程序框图可知，输出的5=%+4+%+4+%+4,求出各个数

即可得到.

(〃22).

【详解】设第〃层小球个数为见，由题意可知，an-an_}=n

根据程序框图可知，输出的S=%+。2+。3++。5+。6，

又4=1,4=3,%=6,a4=a3+4=10,tz5=+5=15,&=%+6=21,

所以5=1+3+6+10+15+21=56.

故选：B.

9.过抛物线C：V=2Px(p>0)的焦点产且倾斜角为锐角的直线4与C交于两点A,8(横坐标分别为乙，

乙，点A在第一象限)，4为C的准线，过点A与4垂直的直线与4相交于点例.若|AE|=|FM|,则&=

XB

()

A.3B.6C.9D.12

【答案】C

【解析】

【分析】由已知可求得直线4的斜率为6，则直线4的方程为y二3.,联立直线与抛物线的方程,

可求出猫，与，即可解得结果.

【详解】设直线4的斜率为攵，倾斜角为。，0＜。＜^

由抛物线的定义知，|AM|=|A尸又|A目=|EW|,所以△酢M为等边三角形，且AM/戊轴，所以

0=/.FAM=三，则左=tan8=G.

FR,。)，则直线4的方程为丫=可无一"

y2=2px

联立直线4的方程与抛物线的方程，y_b可得12》2—20川+3P2=0,

33

解得X=-P'X]=—,显然x4＞Xg,所以x.—p,Xp—~，

2'626

3

2

所乩=

-一=9.

1

6P

故选：C.

10.如图,在长方体ABC。-4MCQ中，底面ABCQ为正方形，E,F分别为用弓，CQ的中点，直线BE

与平面A3用4所成角为45，给出下列结论:

①EFII平面BBRD；②EF工4G；

③异面直线8E与。尸所成角为60;④三棱锥3—CEE的体积为长方体体积的

其中，所有正确结论的序号是()

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

【答案】D

【解析】

【分析】取BC中点为G,可证明平面EFG〃平面BgR。，根据面面平行的性质即可判断①；可证明

4。1，平面84。。，即可判断②；可证明四边形BE"”是平行四边形，即可得到。进而可得

NHA/即等于所求角，求出该角即可判断③；以BCE为底,即可求出三棱锥的体积，进而判断④.

【详解】

取中点为G,连结EG,EG.

对于①，因为E,R,G分别是Bq,CD.BC中点，所以EG//BBI,FG//BD,

因为u平面BBRD,EG<Z平面BBRD,所以EGH平面BBRD,

同理，EG〃平面BBQD.

因为，EGu平面EFG,FGu平面EFG,EG\FG=G,所以平面EFG〃平面

又五户u平面EFG,所以E尸〃平面所以①正确；

对于②，由已知可得四边形AMGA是正方形，^,0,1

又BBY±平面A4G2,AGu平面，所以BB】_LAG,

因为BQiu平面BBQ。，BB]u平面BBtDtD,BBtCBtDt=B],所以AG平面BBRD,

又EF//平面BBQQ,所以E/J.AG，故②正确；

对于③，取A。中点为H，连结BH,D[H,D]E,HF.

ULMUUUUUUUUU1UULUUUUUUUUULUUUU]UUUBI]UlllUUU'UU1UULU

因为8£=8耳-E4，HD\=DD「DH，BB】=DD、，EB、=~CA、DA=DH,所以BE=HR，

所以BE〃HA且BE=H2,

所以四边形BEDXH是平行四边形，则D.H//BE,所以异面直线BE与DF所成角即等于直线DtH与RF

所成角NHDF,

因为直线8E与平面4所成角为45，与。|，平面46q4,所以NE3g=45,所以gE=8g,

设45=2，则=4E=；BG=1,则DF=RH=FH=&

所以V。”口为等边三角形，所以N4D7=6()°,故③正确；

对于④，设长方体体积为V,则V=C£>XBCXCCL

因为CO_L平面BCGB,,则VB_CEF=VF_BCE=^XCFXSVBCE=|XCFX|BCXCC,

=^xCDxBCxCC]=^V,故④正确.

故①②③④正确.

故选：D.

22

11.已知椭圆c：0+方=l(a>Z?>0)的左焦点为耳，离心率为e,直线y=^(AHO)与C交于点M,

41

N,且,NM与N=120。.当—/一02取最小值时，椭圆c的离心率为()

38

A|B.—C.3D.显

2223

【答案】B

【解析】

【分析】根据直线和椭圆的对称性可得名为平行四边形，再由NMF\N及向量的数量积可求。2,再应用

基本不等式,取等条件计算即可.

【详解】因为直线y=-(AwO)与C交于点M，N,

设。为MN的中点，由0为6月的中点，故四边形加耳叫为平行四边形.

则因N|=|咋由椭圆定义得用+附闾=2”

设|监|=m,\MF,\=因为耳"Nf；=g,所以6M(ENbl,又因NM£N=120。

在△6M心中，NK“E=60,应用余弦定理

22

内=nr+/-2mncosZF{MF2=m+n-〃2力=（加+〃）~-3mn

所以4c2=-8,又因为匕2+,所以从=2

12212a2-2/2

—a-e——a---------------=-------1---1=0

88a28a2

2Q1

当且仅当幺=W,即/=4时g/一取最小值,此时，=〃一k=4—2=2

8a28

则”消

001

12.设a=0.035,^=2.25(e-l)>c=41nl.01,则a,b,c的大小关系是()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c

【答案】D

【解析】

7

【分析】构建/(x)=ln(x+l)-7X,求导，利用导数判断单调性，结合单调性可证c>a,再构建

O

1I

g(x)=e*-e*x—l，求导，利用导数判断单调性，结合单调性可证，再证

1014

eool-l<O.Ole4<—,即可得匕<a.

9

/\\7q(\171-7x

【详解】构建〃x)=ln(x+l)-则了=

当0<x<3时，则用勾>0,故在(0,；)上单调递增，

•••O.Olefo,1,则”().01)>/(0)=0,即In1.01—%

>0,

.,.41n1.01>0.035,即c>a,

I2

构建g(x)=e"—/工一1'则g'(x)=e'-e4'

当0<x<；时，则g'(x)<0,故g(x)在(0,；)上单调递减,

0.01e（0q）,则g（0.01）<g（0）=0,即—o.oie”一1<0

eool-l<O.Ole^'

又匕j=必>3>e,则e久匕

V9J65619

e°*l<0.011〈等，故2.25（e°°i

1）<0.035,即b<a,

综上所述：h<a<c.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：

7

①若证c>4,构建/(x)=ln(x+l)—G%，结合导数分析判断；

O

1

②若证b<a,构建g(x)=e「_e4x_l，结合导数分析判断，并根据题意适当放缩证明.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

x-2y-4<0

13.若x,y满足约束条件<x-y—220,则z=2x-3y的最大值为.

y<0

【答案】8

【解析】

【分析】作出可行域，通过平行y=]]确定z的最大值.

【详解】如图，作出不等式组所表示的平面区域，

x~~~2y*-4=0x—4

联立方程〈八，解得<—,、，即C(4,o),

y=o[y=o

2「z、2z

由z=2x-3y,即旷=.表示斜率左=一，横截距为一的直线/,

3\2y32

通过平移可得当直线/过点C时;横截距最大，即z最大，故Zm”=2x4—3x0=8.

故答案为：8.

14.已知向量〃=(1,3),b则向量〃与向量人的夹角为

【答案】彳##135

【解析】

【分析】根据数量积的坐标表示求夹角即可得到.

【详解】由已知可得，a2=(l,3>(2,T)=lx2+3x(T)=—10,|«|=Vl2+32=V10,

恸=百+(-盯=26,

-10_72

则由4小=卜1・忖cos(a肪可得，cos(a-b

710x275-2

所以，向量Q与向量的夹角为一7.

故答案为：—.

4

15.若函数/(x)=sins+Gcos5(⑦>())的最小正周期为兀，则满足条件“/(x+°)是偶函数”的

9的一个值为(写出一个满足条件的9即可).

■jr5兀77rTEKTT

【答案】—(答案不唯一，也可以写一工，—,符合'+「，ZeZ即可)

121212122

【解析】

【分析】化简可得〃x)=2sin(s+?,又根据周期可得〃尤)=25m(2%+1)，即可得到

/(x+8)=2sin(2x+20+l],根据偶函数可得夕=]+?,keZ.

【详解】/(x)=sinox+Gcoscox=2—sins+——coscoxs+n,

223

又了(九)的最小正周期为兀，所以得=兀，则口=2,所以/(x)=2sin(2x+mj,

所以/(x+0)=2sin2x+2°+；).

又因为/(x+0)是偶函数，所以应满足20+1=]+E，keZ,

所以有夕;专+5,ZeZ.

兀

故答案为：一.

12

16.已知0是边长为3的正三角形ABC的中心，点P是平面ABC外一点，P01平面ABC,二面角

P-AB-。的大小为60。，则三棱锥P-A8C外接球的表面积为.

【答案】竺49兀

4

【解析】

【分析】根据题意分析可得二面角P-AB-C的平面角为N~DC=60。，进而可得相关长度，再结合球

的性质可得MC2=MO2+OC2,可得球的半径，即可得结果.

【详解】：。是正三角形A8C的中心，则。4=O3=OC,

PA=PB=PC,

取AB的中点O,连接PD,C。，则尸。即二面角P-AB-。的平面角为NPDC=60°，

由正三角形ABC的边长为3,则OC=2OD=也,PO=y/3OD=-,

2

三棱锥P—ABC为正三棱锥，则三棱锥P—ABC的外接球的球心/在直线尸。上，设三棱锥产一ABC的

外接球的半径为R,

222

'：MC=MO+OC>则R2=(3—R]+3，解得R=Z,

12)4

,49

二三棱锥P-ABC外接球的表面积S=4无R-=一兀.

4

49

故答案为：—兀.

4

p

【点睛】结论点睛：球的相关性质：

①球的截面均为圆面；

②球心与截面圆心的连线垂直于该截面.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.

（-）必考题：共60分.

17.某企业为改进生产，现某产品及成本相关数据进行统计.现收集了该产品的成本费y（单位：万元/吨）

及同批次产品生产数量x（单位：吨）的20组数据.现分别用两种模型①y=-+a,②y=4+c进行拟

合，据收集到的数据，计算得到如下值:

20.202020

Z(—)2

Xy7-歹)(苍-可)

/=1/=!/=1/=!

14.5100.086650.04-4504

1

表中4=一,

X,

>（._y）2

2

若用尸---------刻画回归效果，得到模型①、②的a值分别为Rj=o.7891,/?2=0.9485.

9）2

/=1

（1）利用居2和比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；

（2）根据（1）中所选择的模型，求y关于x的回归方程；并求同批次产品生产数量为25（吨）时y的预

报值.

附：对于一组数据（4，/），（%，％），…，其回归直线$=&+6x的斜率和截距的最小二乘法

EU--^）（x-y）

估计分别为8=J-----------,a=y-px.

£（玉-对

1=1

【答案】（1）选择模型②，理由见解析；

（2）6.

【解析】

【分析】（1）根据已知&2〉a2,根据R2的意义，即可得出模型②的拟合效果好，选择模型②；

（2）>与，可用线性回归来拟合，有3=济+£,求出系数）,3,得到回归方程夕=100，+2,即可得到成

本费y与同批次产品生产数量X的回归方程为£=U独+2,代入x=25,即可求出结果.

x

【小问1详解】

应该选择模型②.

由题意可知，R2?>R］，则模型②中样本数据的残差平方和£（为一£）2比模型①中样本数据的残差平方

i=l

和小，即模型②拟合效果好.

【小问2详解】

由已知成本费y与，可用线性回归来拟合，有$=命+2.

X

20

♦（%一）（一）4

由已知可得，2=且05-----------=大二=10°，

V—/—\20.04

zu-o

1=｛

所以1=夕一办=1（）一l（）（）x（）.（）8=2,

则y关于t的线性回归方程为9=100,+2.

成本费y与同批次产品生产数量X的回归方程为9=W2+2,

X

当％=25（吨）时，y=+2=6（万元/吨）.

所以，同批次产品生产数量为25（吨）时y的预报值为6万元/吨.

18.已知｛〃〃｝为等差数列，且。］=1,4=3（〃4—%）•

（1）求数列｛4｝的通项公式;

2

（2）若数列也｝满足：b,+2b2+2b3+...+2'-'b„=eN*）,求也｝前〃项和S”.

【答案】（1）an=n

（2）S=1-—

"2"

【解析】

【分析】（1）根据等差数列的定义和通项公式运算求解；（2）先根据前"项和与通项之间的关系求得“=1,

2

可得｛〃,｝为等比数列，利用等比数列的前"项和公式运算求解.

【小问1详解】

设数列｛为｝的公差为"，

：4=3（%一4），则q+5d=64,即4=4=1,

：.an=\+n-\=n,

故数列｛q｝的通项公式an=n.

【小问2详解】

n

•.•白+2打+4+…+2-'bn=,

当〃=1时，则。］="=’；

122

当〃22时，则4+2%+224+…+,

两式相减得2"-'bn=%；红=g,则〃=g；

综上所述：2=3.

1

h],、11

又：寸=上「=5,故数列出｝是以首项仇=,，公比4=2的等比数歹I，

r

•••数列｛〃｝的前〃项和

2

19.已知二ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c从下列三个条件中选择一个并解答问题:

①如乂=*+乎②CnC=R

beabaca

01

③。-,一。+—bc=abcosC.

2

(1)求角A的大小；

(2)若c=3,且d48c的面积为3j§，求_A8C的周长.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

JT

【答案】(1)An1；

⑵7+713.

【解析】

【分析】(1)如选择①，由已知可得2acosA=ccos3+/?cosC,根据正弦定理以及两角和的正弦公式的

逆用，即可得出cosA=/,进而求出A；如选择②，由已知可得acosC-怎sinC=Z?-2c，根据正弦

定理以及两角和的正弦公式，即可得出cosA+&sinA=2,利用辅助角公式可得sin(A+看)=1,根据

角的范围即可求出A；如选择③，由余弦定理可得，a2-c2+-bc^a'+b'~C',化简即有

22

222

bc=b+c-a＞进而求出cosA=,，即可求出A；

2

(2)根据三角形的面积公式5ABC=；"csinA即可求出匕=4,根据余弦定理即可求出。=屈，进而即

可得到；ABC的周长.

【小问1详解】

"、，……-2cosAcos3cosCccosB+bcosC

如选择①，有------=------+------=----------------,

beahacabc

即2acosA=ccosB+Z;cosC,

由正弦定理可得，2sinAcosA=sinCcos5+sin3cosC=sin(B+C)=sinA,

又sinAoO,所以cosA=4，

2

TT

因为0＜4＜兀，所以A=1.

b2c

如选择②，由cosC—J§sinC==^可得，acosC—百asinC=6—2c，

a

由正弦定理可得，sinAcosC—5/3sinAsinC=sinB-2sinC，

又sin3=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以sinCcosA+百sinAsinC=2sinC，又sinCw(),

所以cosA+GsinA=2,即2x—cosA+--sinA=2sinIA+—j=2,

122JI6/

因为0<AVTI,所以一—<—，所以A+二=色，解得A==.

666623

如选择③，a2-c2+—hc=abcosC.

2

u•，人」+—r/曰2217i。一+8一一C~6?"+Z?_-C~

由余弦定理可得，a~—c~+—hc=ab-----------=-----------，

22ab2

整理可得，bc=b2+c2—a2所以cosA="+'----=-^-=—•

2bc2hc2

因为0<A<7I,所以A=1jr.

【小问2详解】

由(1)知，A=],又c=3,且，ABC的面积为3指，

所以有S7ABe=g8csinA=gx3"x^^=3\^，解得匕=4,

由余弦定理可得，«2=^2+c2-2Z?ccosA=42+32-2x4x3x1=13,

2

所以a=y/\3>

所以-ABC的周长L=a+b+c=7+而.

20.如图，四棱锥P—ABC。的底面是矩形，底面4BC£>,PD=AD=6AB.

AB

(1)试在棱3c上确定一点M,使得平面A4MJ_平面PHO,并说明理由.

（2）在第（1）间的条件下，求二面角M-F4-C的余弦值.

【答案】（1）答案见详解;

37105

35

【解析】

【分析】（1）当M为棱8c上靠近点8的三等分点时，根据三角形相似，可推出NABO+NM48=90°，

即AM_L8D，进而证明A加工平面/W,从而得到面面垂直；

（2）以点。为原点建立空间直角坐标系，求得各点坐标，求出平面的法向量以及平面CR4的法向量，

再根据图形判断二面角为锐角，即可求出结果.

【小问1详解】

当M为棱BC上靠近点8的三等分点时，平面RUf,平面P8Z）

%=旦=氏

证明：若〃为棱BC上靠近点8的三等分点，AD=6AB，所以瓦7一14

—ADrl

又F=j3,NDAB=NABM=90'，所以ZMBs.ABM.

AB

所以NM4B=NBD4.

又NABr>+NBD4=90°，所以乙48。+/叔48=90°，所以

因为产。，底面ABC。，AMu平面ABCD,所以

因为BDu平面PDu平面PBD,BDPD=D,所以AM_Z平面P&X

又AWu平面所以平面平面P8Q.

【小问2详解】

由（1）,连结AC,以点。为原点，分别以D4,OC,OP所在的直线为x,y,z轴，如图建立空间直角坐标系,

设AB=1,则AD=百，A(百,0,0),尸((),(),6),C(0,l,0),M

\

uuuruuu

AM=1,0,AP=(一6,0,6),AC=(-V3,l,o).

丁'

7

n,-AM-0手+厂。

设平面MPA的法向量为=(%,y,zJ,则,即

•AP=0—>/3%1+=0

令%=3,则〃]=卜,6,3).

明•AC-0-=0

设平面CR4的法向量为%=(乙，％，Z2)，则,,即《

—+'J^Z]0

n2-AP^0

取％=1,则%=(i,G,i).

U111_____

3+3+33V105

则cos

721x75-35

显然二面角M-E4-C为锐角，所以二面角M-曰一C的余弦值为竺叵.

35

入+1.

21.已知函数/(x)=xe'-a

(2)

⑴若户一1是/(x)的极小值点，求。的取值范围；

(2)若x20,/(x)>0,求a的取值范围.

【答案】(1)«<-；

e

⑵

【解析】

【分析】⑴求导可得了'(x)=(x+l)(e'-a),然后分为aWO、a>0进行分类讨论，当a〉0时，导函

数有两个解，对两个解的大小关系进行讨论，即可得到a的取值范围；

(2)当a«l时，可知/'(%)20恒成立，则单调递增，只需“0)20即可，代入得到。的范围.当a>l

时，由(1)知，当x=lna时，/(x)取得极小值，也即为最小值.根据题意，只需满足/(x%,,=/(lna)20,

整理即可得到关于。的不等式，求解即可得到.

【小问1详解】

由已知可得，/(x)定义域为R.

(x)=e*+xex-a(x+1)=(x+1乂e*-a).

①当aWO,则e'_a>0恒成立，解/'(x)=0可得m—1，

解片x)>0,可得尤>一1；解r(x)<0,可得x<-l.

显然m-1是/(x)的极小值点，满足条件.

②当a>0时:解/'(x)=()可得玉=-1,x2=lna.

(1)当山4<—1,即0<a<：时，解制x)>0,可得x<lna或x>—1；

解/'(x)<0,可得lna<x<—1.此时m-1是/(x)的极小值点，满足条件；

(ii)当lna=—1,即“=!时，/'(x)"恒成立，无极值点；

e

(iii)当lna>-l,即。>工时，解了<勾>0,可得x>lna或x<-l；

解/''(x)<0,可得-l<x<lna.此时％=-1是/(x)的极大值点，与己知不符.

综上所述，a的取值范围为

e

【小问2详解】

由(1)知,r(x)=(x+D(e*-a),

因为尤20,所以e'>1，

①当aKl时，可知/'(力20恒成立，则“X)单调递增.

故xNO时，/(x)>/(0)=a>0,所以，OWaWl满足条件.

②当a>1时，可知0<x<lna时，f'(x)<0,〃x)单调递减；x>lna时，附x)>0,/(x)单调递增.

所以，在区间［0,+。)上，当x=Ina时，/(x)取得极小值，也即为最小值.

由于xNO,7(x)zo恒成立，

则=/(Ina)=ln<2-elna-«^ln2«+lna-l^>0,

即有alna—Irra+Ina-1j20,整理可得In2a<2>

因为a>l,lna>（）,所以有0<lna«&，解得

综上所述，〃的取值范围为［0,e近］.

【点睛】求解不等式在区间上恒成立问题，常常转化为求解函数的最值问题：即借助导函数得到函数的单

调性，研究函数的极值、最值，列出关系式，即可求得参数的范围.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一

题记分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］

v—+1COSOL

.（f为参数）.以坐标原点为极点，X轴的

）y=Esina

8

正半轴为极轴建立坐标系，曲线C的极坐标方程为夕92=-----------,直线/与曲线C相交于A,B两点,

5-3cos20

M（V3,0）.

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）若=求直线/的斜率.

【答案】（1）—+/=1

4-

（2）±^-

一2

【解析】

x=pcos0

【分析】（1）根据极坐标与直角坐标直角的转化<y=psin。，运算求解；（2）联立直线/的参数方程和

222