小学数学3年级培优奥数讲义 第25讲 还原解题（含解析）

第25讲还原解题

0学习目标

f4

京学习了解加、减、乘、除运算的变化规律；

会利用逆运算这些规律来解决一些较简单的问题；

下通过学生解决问题的过程，激发学生的创新思维，培养学生学习的主动性和坚韧不拔、勇

于探索的意志品质。

f知识梳理

鳖L&

一、还原问题

已知某个数经过加、减、乘、除运算后所得的结果，要求原数，这类问题叫做还原问题，还原问题又

叫逆运算问题。解决这类问题通常运用倒推法。

二、解题策略

遇到比较复杂的还原问题，可以借助画图和列表来解决这些问题。

典例分析

例1、小刚的奶奶今年年龄减去7后，缩小9倍，再加上2之后，扩大10倍，恰好是100岁。小刚的奶奶

今年多少岁？

例2、一个数的3倍加上6,再减去9,最后乘上2,结果得60。这个数是多少？

例3、某商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多20台，还剩95台。这个

商场原来有洗衣机多少台？

例4、粮库内有一批大米，第一次运出总数的一半多3吨，第二次运出剩下的一半多5吨，还剩下4吨。粮

库原有大米多少吨？

例5、小明、小强和小勇三个人共有故事书60本。如果小强向小明借3本后，又借给小勇5本，结果三个

人有的故事书的本数正好相等。这三个人原来各有故事书多少本？

例6、甲、乙、丙三个小朋友共有贺年卡90张。如果甲给乙3张后，乙又送给丙5张，那么三个人的贺年

卡张数刚好相同。问三人原来各有贺年卡多少张？

例7、甲乙两桶油各有若干千克，如果要从甲桶中倒出和乙桶同样多的油放入乙桶，再从乙桶倒出和甲桶同

样多的油放入甲桶，这时两桶油恰好都是36千克。问两桶油原来各有多少千克？

例8、王亮和李强各有画片若干张，如果王亮拿出和李强同样多的画片送给李强，李强再拿出和王亮同样多

的画片给王亮，这时两个人都有24张。问王亮和李强原来各有画片多少张？

例9、两只猴子拿26个桃，甲猴眼急手快，抢先得到，乙看甲猴拿得太多，就抢去一半；甲猴不服，又从

乙猴那儿抢走一半；乙猴不服，甲猴就还给乙猴5个，这时乙猴比甲猴多5个。问甲猴最初准备拿几个？

例10、学校运来36棵树苗，小强和小萍两人争着去栽。小强先拿了树苗若干棵，小萍看到小强拿太多了就

抢了10棵，小强不肯，又从小萍那里抢了6棵，这时小强拿的棵数是小萍的2倍。问最初小强准备拿多少

棵？

例11、24千克水被分装在三个瓶子中，第一次把A瓶的水倒一部分给B、c两瓶，使B、c两瓶的水比原来

增加I倍；第二次把B瓶的水倒一部分给A、c两瓶，也使A、c两瓶的水比瓶中已有的水增加1倍；第三

次把c瓶的水倒一部分给A、B两瓶，使A、B两瓶的水比瓶中已有的水增加1倍.这样倒了三次后，三瓶

水同样多.问三个瓶中原来各装水多少千克？

例12、有一个财迷总想使自己的钱成倍增长，一天他在一座桥上碰见一个老人，老人对他说：“你只要走

过这座桥再回来，你身上的钱就会增加一倍，但作为报酬，你每走一个来回要给我32个铜板.”财迷算了

算挺合算，就同意了.他走过桥去又走回来，身上的钱果然增加了一倍，他很高兴地给了老人32个铜板.这

样走完第五个来回，身上的最后32个铜板都给了老人，一个铜板也没剩下.问：财迷身上原有多少个铜板？

）实战演练

A一一课堂狙击

1、在口里填上适当的数：20X04-8+16=26

2、爸爸买了一些橘子，全家人第一天吃了这些橘子的一半多1个，第二天吃了剩下的一半多1个，第三天

又吃掉了剩下的一半多1个，还剩下1个。爸爸买了多少个橘子？

3、小红、小丽、小敏三个人各有年历片若干张。如果小红给小丽13张，小丽给小敏23张，小敏给小红3

张，那么他们每人各有40张。原来三个人各有年历片多少张？

4、甲、乙、丙三个小朋友各有玻璃球若干个，如果甲按乙现有的玻璃球个数给乙，再按丙现有的个数给丙

之后，乙也按甲、丙现有的个数分别给甲、丙。最后，丙也按同样的方法给甲、乙，这时，他们三个人都

有32个玻璃球。原来每人各有多少个？

5、将某数的3倍减5,计算出答案，将答案再3倍后减5,计算出答案,这样反复经过4次，最后计算的结果为691,

那么原数是.

6、一只猴子摘了一堆桃子，第一天它吃了这堆桃子的七分之一,第二天它吃了余下桃子的六分之一，第三天它

吃了余下桃子的五分之一，第四天它吃了余下桃子的四分之一,第五天它吃了余下桃子的三分之一，第六天它

吃了余下桃子的二分之一，这时还剩12只桃子，那么第一天和第二天猴子所吃桃子的总数是.

7、一个车间计划用5天完成加工一批零件的任务，第一天加工了这批零件的51多120个，第二天加工了剩

下的41少150个,第三天加工了剩下的31多80个,第四天加工了剩下的21少20个,第五天加工了最后的1800

个.这批零件总数有多少个？

＞课后反击

1、小红问王老师今年多大年纪，王老师说：“把我的年纪加上9,除以4,减去2,再乘上3,恰好是30

岁。”王老师今年多少岁？

2、某水果店卖菠萝，第一次卖掉总数的一半多2个，第二次卖掉了剩下的一半多1个，第三次卖掉第二次

卖后剩下的一半多1个，这时只剩下一外菠萝。三次共卖得48元，求每个菠萝多少元？

3、甲、乙、丙、丁四个小朋友有彩色玻璃弹子10颗，甲给乙13颗，乙给丙18颗，丙给丁16颗，四人的

个数相等。他们原来各有弹子多少颗？

4、书架上分上、中、下三层，共放192本书。现从上层出与中层同样多的书放到中层，再从中层取出与下

层同样多的书放到下层，最后从下层取出与上层剩下的同样多的书放到上层，这时三书架所放的书本数相

等。这个书架上中下各层原来各放多少本书？

5、有甲、乙、丙三个数，从甲数中拿出15加到乙数，再从乙数中拿出18加到丙数，最后从丙数拿出12

这时三个数都是180。问甲、乙、丙三个数原来各是多少？

6、小玲问一老爷爷今年多大年龄，老爷爷说：“把我的年龄加上17后用4除,再减去15后用10乘,恰好是

100岁”那么，这位老爷爷今年岁.

7、李老师拿着一批书送给36位同学，每到一位同学家里，李老师就将所有的书的一半给他，每位同学也都还她

一本，最后李老师还剩下2本书,那么李教师原来拿了本书.

8、从某天起，池塘水面的浮草,每天增加一倍,50天后整个池塘长满了草，第几天浮萍所占面积是池塘的二.

9、有甲、乙两箱糖果，如果第一次从甲箱拿出和乙箱同样多块糖果放到乙箱里,第二次从乙箱拿出和甲箱剩

下的同样多块糖果放入甲箱，这样拿4次后，甲、乙两箱糖果都是16块.甲、乙两箱各有糖果块.

\。\直击赛场,

1、如果5X(2+△XA)—4=2006,那么△=

2、有一个培养某种微生物的容器，这个容器的特点是：往里面放入微生物，再把容器封住，每过一个夜晚.容

器里的微生物就会增加一倍，但是.若在白天揭开盖子，容器内的微生物就会正好减少16个。小丽在实验

的当天往容器里放入一些微生物.心急的她在第二、三、四天都开封看了看，到第五天，当她又启封查看

时，惊讶地发现微生物都没了。请问：小丽开始往容器里放丁多少个微生物？

k

1重点回顾

(1)学习了解加、减、乘、除运算的变化规律；

(2)利用逆运算这些规律来解决一些较简单的问题;

(3)掌握重点题型。

旗名师点拨,

藁和难点突破：

(1)学会画图，列表；

(2)学会逆运算。

t学霸经验..

＞本节课我学到了

＞我需要努力的地方是

第25讲还原解题

教学目标

、①学习了解加、减、乘、除运算的变化规律；

国②利用逆运算这些规律来解决一些较简单的问题；

国③通过学生解决问题的过程，激发学生的创新思维，培养学生学习的主动性和坚韧不拔、

勇于探索的意志品质。

知识梳理

一、还原问题

己知某个数经过加、减、乘、除运算后所得的结果，要求原数，这类问题叫做还原问题，还原问题又

叫逆运算问题。解决这类问题通常运用倒推法。

二、解题策略

遇到比较复杂的还原问题，可以借助画图和列表来解决这些问题。

、典例分析

例1、小刚的奶奶今年年龄减去7后，缩小9倍，再加上2之后，扩大10倍，恰好是100岁。小刚的奶奶

今年多少岁？

【解析】从最后一个条件恰好是100岁向前推算，扩大10倍后是100岁，没有扩大10倍之前应是1009

10=10岁；加上2之后是10岁，没有加2之前应是10—2=8岁；没有缩小9倍之前应是8X9=72岁；减去

7之后是72岁，没有减去7前应是72+7=79岁。所以，小刚的奶奶今年是79岁。

例2、一个数的3倍加上6,再减去9,最后乘上2,结果得60。这个数是多少？

【解析】运用逆推的思想：60除以2得30,力口上9得39,减去6得33,除以3得11.

例3、某商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多20台，还剩95台。这个

商场原来有洗衣机多少台？

【解析】从“下午售出剩下的一半还多20台”和“还剩95台”向前倒推，从图中可以看出，剩下的95台

和下午多卖的20台合起来，即95+20=115台正好是上午售后剩下的一半，那么115X2=230台就是上午售

出后剩下的台数。而230台和10台合起来，即230+10=240台又正好是总数的一半。那么，240X2=480

台就是原有洗衣机的台数。

例4、粮库内有一批大米，第一次运出总数的一半多3吨，第二次运出剩下的一半多5吨，还剩下4吨。粮

库原有大米多少吨？

【解析】第一次运出后剩下总数的一半为4+5=9

第一次运出后剩下总数为9x2=18

粮库原有大米吨数的一半为18+3=21

粮库原有大米吨数21x2=42

例5、小明、小强和小勇三个人共有故事书60本。如果小强向小明借3本后，又借给小勇5本，结果三个

人有的故事书的本数正好相等。这三个人原来各有故事书多少本？

【解析】不管这三个人如何借来借去，故事书的总本数是60本，根据结果三个人故事书本数相同，可以求

最后三个人每人都有故事书60+3=20本。如果小强不借给小勇5本，那么小强有20+5=25本，小勇有20

-5=15本；如果小强不向小明借3本，那么小强有25—3=22本，小明有20+3=23本。

例6、甲、乙、丙三个小朋友共有贺年卡90张。如果甲给乙3张后，乙又送给丙5张，那么三个人的贺年

卡张数刚好相同。问三人原来各有贺年卡多少张？

【解析】90+3=30,甲30+3=33

乙=30+5-3=32

丙=30-5=25

例7、甲乙两桶油各有若干千克，如果要从甲桶中倒出和乙桶同样多的油放入乙桶，再从乙桶倒出和甲桶同

样多的油放入甲桶，这时两桶油恰好都是36千克。问两桶油原来各有多少千克？

【解析】如果后来乙桶不倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，甲桶内应有油364-2=18千克，乙桶应有油36

+18=54千克；如果开始不从甲桶倒出和乙桶同样多的油倒入乙桶，乙桶原有油应为54+2=27千克，甲桶

原有油18+27-45千克。

例8、王亮和李强各有画片若干张，如果王亮拿出和李强同样多的画片送给李强，李强再拿出和王亮同样多

的画片给王亮，这时两个人都有24张。问王亮和李强原来各有画片多少张？

【解析】李强再拿出同样多的画片给王亮前：

王亮=24+2=12张

李强=24+12=36张

原来：李强=36+2=18张

王亮=12+18=30张

例9、两只猴子拿26个桃，甲猴眼急手快，抢先得到，乙看甲猴拿得太多，就抢去一半；甲猴不服，又从

乙猴那儿抢走一半；乙猴不服，甲猴就还给乙猴5个，这时乙猴比甲猴多5个。问甲猴最初准备拿几个？

【解析】先求出两个猴现在各拿多少，根据“有26个桃”和“这时乙猴比甲猴多2个”，可知乙猴现在拿

（26+2）+2=14个，甲猴现在拿26—14=12个。甲猴从乙猴那儿抢走一半，又还给乙猴5个后有12个，如

果甲猴不还给乙猴，那么甲猴有12+5=17个；如果甲猴不抢乙猴一半，那么乙猴现在有Q6—17）X2=18个。

乙猴看甲猴拿得太多，抢去甲猴的一半后有18个，如果不抢，那么甲猴最初准备拿（26—18）X2=16个。

例10、学校运来36棵树苗，小强和小萍两人争着去栽。小强先拿了树苗若干棵，小萍看到小强拿太多了就

抢了10棵，小强不肯，又从小萍那里抢了6棵，这时小强拿的棵数是小萍的2倍。问最初小强准备拿多少

棵？

【解析】小强又从小明哪儿抢了6棵,这时小明的棵数是36+（1+2）=12,小强的棵数是12x2=24；

小强从小明哪儿抢6棵前，小明的棵数是12+6=18,小强的棵数是24-6=18；

那么小明抢了10棵前小强的棵数是18+10=28。

例11、24千克水被分装在三个瓶子中，第一次把A瓶的水倒一部分给B、c两瓶，使B、c两瓶的水比原来

增加1倍；第二次把B瓶的水倒一部分给A、c两瓶，也使A、c两瓶的水比瓶中已有的水增加1倍；第三

次把c瓶的水倒一部分给A、B两瓶，使A、B两瓶的水比瓶中已有的水增加1倍.这样倒了三次后，三瓶

水同样多.问三个瓶中原来各装水多少千克？

【解析】我们可以用倒推法来做这个题目，由题意可知，最后一次倒水后，A、B、c三个瓶中各有24+3=8

千克水，由题意可推算出第二次倒水之后A、B、c三个瓶中的水分别为8+2=4、8+2=4、8x2=16千克，再

用同样的方法推算出最初A、B、c三个瓶中的水分别是多少.

最后一次倒水后，A、B、c三个瓶中各有：24+3=8（千克），

第二次倒水之后A、B、c三个瓶中的水分别为8+2=4（千克），8+2=4（千克），8x2=16（千克），

第一次倒水后A、B、c三个瓶中的水分别为4+2=2（千克），4+8+2=14（千克），4x2=8（千克），

最初甲乙丙三个瓶中的水分别：2+4+7=13（千克），14+2=7（千克），8+2=4（千克），

答：A瓶原来装水13千克，B瓶原来装水7千克，c瓶原来装水4千克，

例12、有一个财迷总想使自己的钱成倍增长，一天他在一座桥上碰见一个老人，老人对他说：“你只要走

过这座桥再回来，你身上的钱就会增加一倍，但作为报酬，你每走一个来回要给我32个铜板.”财迷算了

算挺合算，就同意了.他走过桥去又走回来，身上的钱果然增加了一倍，他很高兴地给了老人32个铜板.这

样走完第五个来回，身上的最后32个铜板都给了老人，一个铜板也没剩下.问：财迷身上原有多少个铜板？

【解析】此题采用逆推法解决.

第5次以后，财迷只剩下32个铜板，相当于第5次过桥前手里有16个；

第4次过桥后给了老人32个，所以第四次结束以后手中有48个，相当于第4次过桥前手中有24个；

第3次过桥后给了老人32个，所以第3次结束以后手中有56个，相当于第3次过桥前手中有28个;

第2次过桥后给了老人32个，所以第2次结束以后手中有60个，相当于第2次过桥前手中有30个;

第1次过桥后给了老人32个，所以第1次结束以后手中有62个，相当于第1次过桥前手中有31个.

警、实战演练匕

A""一课堂狙击

1、在口里填上适当的数：20X04-8+16=26

【解析】4.

2、爸爸买了一些橘子，全家人第一天吃了这些橘子的一半多1个，第二天吃了剩下的一半多1个，第三天

又吃掉了剩下的一半多1个，还剩下1个。爸爸买了多少个橘子？

【解析】这题是逆序推理法，从后面往前推：最后只剩下1个，因为第三天吃掉了剩下的一半多一个，所

以第二天剩下的有：（1+1）X2=4个，第二天剩下四个是因为第二天吃了剩下的一半多一个，所以第一天剩

下的：（4+l）X2=10个，第一天剩下10个是因为吃了这些橘子的一半多一个，所以这些橘子：（10+l）X

2=22个。

3、小红、小丽、小敏三个人各有年历片若干张。如果小红给小丽13张，小丽给小敏23张，小敏给小红3

张，那么他们每人各有40张。原来三个人各有年历片多少张？

【解析】小敏原有：40+3-23=20（张）；

小丽原有：40+23-13=50（张）；

小红原有：40x3-20-50=120-70=50（张）

4、甲、乙、丙三个小朋友各有玻璃球若干个，如果甲按乙现有的玻璃球个数给乙，再按丙现有的个数给丙

之后，乙也按甲、丙现有的个数分别给甲、丙。最后，丙也按同样的方法给甲、乙，这时，他们三个人都

有32个玻璃球。原来每人各有多少个？

【解析】三人一共32x3=96个。

丙给甲乙之前：甲:32+2=16个，乙:32+2=16个，丙:96-16-16=64个。

乙给甲丙之前：甲:16+2=8个，丙:64+2=32个，乙:96-8-32=56个。

甲给乙丙之前，即原来：乙:56+2=28个丙:32+2=16个甲:96-28-16=52个。

5、将某数的3倍减5,计算出答案，将答案再3倍后减5,计算出答案,这样反复经过4次，最后计算的结果为691,

那么原数是.

【解析】第四次计算后的结果为691,第三次计算后的结果为：(691+5)+3=232,

第二次计算后的结果为:(232+5)+3=79,第一次计算后的结果为(79+5)+3=28；

原数为：(28+5)-3=11

6、一只猴子摘了一堆桃子，第一天它吃了这堆桃子的七分之一,第二天它吃了余下桃子的六分之一，第三天它

吃了余下桃子的五分之一，第四天它吃了余下桃子的四分之一,第五天它吃了余下桃子的三分之一，第六天它

吃了余下桃子的二分之一，这时还剩12只桃子，那么第一天和第二天猴子所吃桃子的总数是.

【解析】第6天吃了12个，共24个；

第5天吃了12个，共36个；

第4天吃了12个，共48个；

第3天吃了12个，共60个；

第2天吃了12个，共72个；

第1天吃了12个，总共84个

7、一个车间计划用5天完成加工一批零件的任务，第一天加工了这批零件的51多120个，第二天加工了剩

下的41少150个,第三天加工了剩下的31多80个,第四天加工了剩下的21少20个,第五天加工了最后的1800

个.这批零件总数有多少个？

【解析】第四天：(1800-20)-(1-1/2)=3560个

第三天：(3560+80)+(1-1/3)=5460个

第二天:(5460-150)+(1-1/4)=7080个

第一天00800+120)-(1-1/5)=9600个

＞课后反击

1、小红问王老师今年多大年纪，王老师说：“把我的年纪加上9,除以4,减去2,再乘上3,恰好是30

岁。”王老师今年多少岁？

【解析】(30+3+2)X4-9=(10+2)X4-9=12X4-9=48-9=39(岁)

2、某水果店卖菠萝，第一次卖掉总数的一半多2个，第二次卖掉了剩下的一半多1个，第三次卖掉第二次

卖后剩下的一半多1个，这时只剩下一外菠萝。三次共卖得48元，求每个菠萝多少元？

【解析】第三次卖掉第二次卖后剩下的一半多1个，这时只剩下1个菠萝，那么第二次卖后剩下：（1+I）x2=4（个）；

第二次卖掉剩下的一半多1个，那么第一次卖后剩下：（4+l）x2=10（个）；

第一次卖掉总数的一半多2个，剩下10个，则总数为（10+2）x2=24（个），三次共卖了24-1=23个，

再根据总价+数量=单价解答即可得单价2元。

3、甲、乙、丙、丁四个小朋友有彩色玻璃弹子10颗，甲给乙13颗，乙给丙18颗，丙给丁16颗，四人的

个数相等。他们原来各有弹子多少颗？

【解析】甲-13+2=乙+13-18=丙+18-16=丁+16-2

即：甲-11=乙-5=丙+2=丁+14

即：甲=丁+25,乙=丁+19,丙=丁+12

另外.甲+乙+丙+丁=100

所以，丁=11

所以用=36,乙=30,丙=23

所以，甲分得了36颗，乙分得了30颗，丙分得了23颗，丁分得了11颗

4、书架上分上、中、下三层，共放192本书。现从上层出与中层同样多的书放到中层，再从中层取出与下

层同样多的书放到下层，最后从下层取出与上层剩下的同样多的书放到上层，这时三书架所放的书本数相

等。这个书架上中下各层原来各放多少本书？

【解析】既然上中下都相同，那么就是192+3=64（本）

逆推来计算：最后从下层取出与上层剩下的同样多的书放到上层，这是三层本数相同了，

那么说明，下给上层64+2=32（本），下未给上时有:64+32=96（本），下原有:96+2=48（本）

中未给下时有:192-32-48=112（本）那中原来有:112+2=56（本）上原有:192-48-56=88（本）

5、有甲、乙、丙三个数，从甲数中拿出15加到乙数，再从乙数中拿出18加到丙数，最后从丙数拿出12

这时三个数都是180。问甲、乙、丙三个数原来各是多少？

【解析】如果不从丙数中拿出12加到甲数，那么甲应为180-12=168,丙是180+12=192；如果不从乙数中

拿出18加到丙数，那么丙数是192-18=174,乙数应是180+18=198；如果不从甲数中拿出15加到乙数，

那么甲是168+15=183,乙数是198-15=183。综全算式：甲数：180-12+15=183乙数：180+18-15=183丙

数：180+12-18=174

6、小玲问一老爷爷今年多大年龄，老爷爷说：“把我的年龄加上17后用4除,再减去15后用10乘,恰好是

100岁”那么，这位老爷爷今年岁.

【解析】(100勺0+15)X4-17=(10+15)X4-17=100-17=83(岁)

7、李老师拿着一批书送给36位同学，每到一位同学家里，李老师就将所有的书的一半给他，每位同学也都还她

一本，最后李老师还剩下2本书,那么李教师原来拿了本书.

【解析】本道题目是逆推题目:最后李老师还剩2本书，从这两本书入手，他到第36位同学家之前应有（2-1）

x2=2本书.可知同样到每一位同学家之前都是2本书.因此开始时候