多元函数教学课件

多元函数汇报人：AA2024-01-26contents目录多元函数基本概念多元函数偏导数与全微分多元函数极值与最值多元函数在几何上应用多元函数在经济学中应用多元函数在物理学中应用多元函数基本概念01CATALOGUE定义与性质定义设D为一个非空的n元有序数组的集合，f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组(x1,x2,…,xn)∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。性质多元函数具有一些与一元函数类似的性质，如连续性、可微性、可积性等。同时，多元函数也有一些独特的性质，如方向导数、梯度等。多元函数是一元函数的推广，当n=1时，多元函数即为一元函数。同时，多元函数的很多概念和性质都可以在一元函数中找到类似之处。联系多元函数的自变量有多个，因此其定义域和值域都比一元函数复杂。此外，多元函数的图像是超曲面，而一元函数的图像是平面曲线。在求导和积分等方面，多元函数也比一元函数更加复杂。区别多元函数与一元函数关系解析法用含自变量的数学表达式来表示多元函数的方法。例如，z=f(x,y)表示一个二元函数。表格法列出所有自变量的组合及对应的函数值来表示多元函数的方法。这种方法适用于自变量较少且取值范围较小的情况。图示法用图形来表示多元函数的方法。对于二元函数，可以用三维空间的曲面来表示；对于三元及以上的函数，可以用高维空间的超曲面来表示。图示法可以直观地展示函数的形状和变化趋势，但难以精确表达函数的数值关系。多元函数表示方法多元函数偏导数与全微分02CATALOGUE偏导数定义设函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某一邻域内有定义，当$y$固定在$y_0$而$x$在$x_0$处有增量$Deltax$时，相应地函数有增量$f(x_0+Deltax,y_0)-f(x_0,y_0)$。如果$lim_{Deltaxto0}frac{f(x_0+Deltax,y_0)-f(x_0,y_0)}{Deltax}$存在，则称此极限为函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处对$x$的偏导数，记作$frac{partialz}{partialx}|_{(x=x_0,y=y_0)}$或$f'_x(x_0,y_0)$。偏导数计算偏导数的计算通常使用求导法则和链式法则。对于复合函数，需要使用链式法则逐层求导。对于隐函数，可以通过对方程两边同时求偏导数来求解。偏导数定义及计算高阶偏导数如果二元函数$z=f(x,y)$的偏导数$frac{partialz}{partialx}=varphi(x,y)$仍然存在偏导数，则称$frac{partial^2z}{partialx^2}=frac{partial}{partialx}(frac{partialz}{partialx})=frac{partialvarphi}{partialx}$为函数$z=f(x,y)$的二阶偏导数。类似地，可以定义二阶及更高阶的偏导数。高阶偏导数定义高阶偏导数的计算与一阶偏导数的计算类似，只是需要多次应用求导法则和链式法则。需要注意的是，高阶偏导数的计算顺序可能会影响结果，即$frac{partial^2z}{partialxpartialy}$和$frac{partial^2z}{partialypartialx}$可能不相等。高阶偏导数的计算VS设函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的全增量$Deltaz=f(x+Deltax,y+Deltay)-f(x,y)$可以表示为$Deltaz=ADeltax+BDeltay+o(rho)$，其中$A$和$B$不依赖于$Deltax$和$Deltay$而仅与$x$和$y$有关，$rho=sqrt{(Deltax)^2+(Deltay)^2}$，则称函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$可微分，而$ADeltax+BDeltay$称为函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的全微分，记作$dz$。全微分的计算全微分的计算通常使用全微分公式，即$dz=frac{partialz}{partialx}dx+frac{partialz}{partialy}dy$。在实际应用中，需要根据具体的问题选择合适的自变量和因变量，并应用相应的求导法则和链式法则进行计算。全微分概念全微分概念及计算多元函数极值与最值03CATALOGUE通过求解多元函数的一阶偏导数，并令其等于零，得到可能的极值点。然后利用二阶偏导数判断极值点的性质（极大值、极小值或鞍点）。直接利用多元函数的二阶偏导数构造Hessian矩阵，通过判断Hessian矩阵的正定性来确定极值点的性质。无条件极值二阶偏导数法一阶偏导数法拉格朗日乘数法通过引入拉格朗日乘数，将条件极值问题转化为无条件极值问题。构造拉格朗日函数，求解其一阶偏导数并令其等于零，得到可能的极值点。然后利用二阶偏导数判断极值点的性质。约束优化方法对于复杂的条件极值问题，可以采用约束优化方法，如梯度投影法、罚函数法等，将问题转化为无约束优化问题进行求解。条件极值对于在闭区间上连续的多元函数，其最大值和最小值一定存在，且出现在区间端点或内部驻点上。因此，可以通过比较这些点的函数值来确定最大值和最小值。闭区间上连续函数的性质对于有界闭区域上的连续多元函数，其最大值和最小值也一定存在。可以通过求解区域内部的驻点和边界上的最值点，然后比较它们的函数值来确定最大值和最小值。有界闭区域上连续函数的性质最大值与最小值问题多元函数在几何上应用04CATALOGUE切线方程对于空间曲线$vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))$，其在$t=t_0$处的切线方程为$vec{r}(t)=vec{r}(t_0)+vec{r}^{prime}(t_0)(t-t_0)$。法平面方程对于空间曲线$vec{r}(t)$，其在$t=t_0$处的法平面方程为$vec{n}cdot(vec{r}-vec{r}(t_0))=0$，其中$vec{n}$是曲线在该点的主法向量。空间曲线切线方程和法平面方程对于空间曲面$z=f(x,y)$，其在点$(x_0,y_0,z_0)$处的切平面方程为$z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$。对于空间曲面$z=f(x,y)$，其在点$(x_0,y_0,z_0)$处的法线方程为$frac{x-x_0}{f_x(x_0,y_0)}=frac{y-y_0}{f_y(x_0,y_0)}=frac{z-z_0}{-1}$。切平面方程法线方程空间曲面切平面方程和法线方程空间曲线$vec{r}(t)$在$t=t_0$处的曲率$k$定义为$k=frac{|vec{r}^{prime}(t_0)timesvec{r}^{primeprime}(t_0)|}{|vec{r}^{prime}(t_0)|^3}$。曲率空间曲线$vec{r}(t)$在$t=t_0$处的曲率半径$rho$定义为$rho=frac{1}{k}$。当$k>0$时，$rho$为正值，表示曲线在该点处向凹侧弯曲；当$k<0$时，$rho$为负值，表示曲线在该点处向凸侧弯曲。曲率半径空间曲线曲率及曲率半径多元函数在经济学中应用05CATALOGUE在农业生产中，边际产量是指在其他条件不变的情况下，每增加一单位某种生产要素所增加的产量。边际产量边际成本边际收益在经济学中，边际成本指的是每一单位新增生产的产品（或者购买的产品）带来的总成本的增量。边际收益是指增加一单位产品的销售所增加的收益，即最后一单位产品的售出所取得的收益。030201边际分析表示需求量对价格变动的反应程度。需求价格弹性表示供给量对价格变动的反应程度。供给价格弹性一种商品的需求量对另一种商品价格变动的反应程度或敏感程度。交叉弹性弹性分析求解多元函数在给定区间上的最大值或最小值。无约束最优化求解多元函数在满足一定约束条件下的最大值或最小值，如线性规划、非线性规划等。有约束最优化求解多元函数随时间变化的最优路径，如最优控制、动态规划等。动态最优化最优化问题多元函数在物理学中应用06CATALOGUE向量场在物理学中，向量场描述了空间每一点上的物理量（如速度、力等）的大小和方向。多元函数可以表示向量场，其中函数的每个分量对应于向量的一个分量。要点一要点二梯度场梯度场是由标量函数的梯度构成的向量场。在物理学中，梯度场通常与势能或电势等标量场相关，其梯度表示了场强或力的方向和大小。向量场与梯度场散度散度是向量场的一个重要性质，表示向量场中某点附近通量的体密度。在物理学中，散度与源的强度或汇的吸收率相关，如电荷分布产生的电场中的散度与电荷密度成正比。旋度旋度是向量场的另一个重要性质，表示向量场中某点附近环流的面密度。在物理学中，旋度与旋转运动的角速度或涡旋的强度相关，如流体中的涡旋或磁场中