四川省广元市高考数学三模试卷（理科）含答案解析

四川省广元市2016年高考数学三模试卷（理科）（解析版）

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）

1.i是虚数单位，复数等与=（）

1-1

A.l+2iB.2+4iC.-1-2iD.2-i

2.已知R是实数集，M={x∣-∣<l}.N={y∣y=∕Γ7T},则NC[RM=（）

A.（1,2）B.[0,2]C.0D.[1,2]

3.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入X的值为-5,则输出的V值是（）

A.-1B.1C.2D.—

4

JT

4.下面四个函数中，以TI为最小正周期，且在区间（彳，n）上为减函数的是（）

A.y=cos2xB.y=2∣sinx∣C.y=（ɪ）cosxD.y=tanx

22

5.已知双曲线j⅛-J=I（a>0,b>0）的•条渐近线平行于直线1：y=2x+10,双曲线的

a，b2

一个焦点在直线1上，则双曲线的方程为（）

520205

2222

C.3X-3y=ιD.3X-3y

2510010025

6.若从1,2,3,...,9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共

有（）

A.60种B.63种C.65种D.66种

7.在AABC中，M是AB边所在直线上任意一点，若有=-2以+入不，则入=（）

A.1B.2C.3D.4

8.不等式组I/7?1•,的解集记为D,有下列四个命题：

X-2y≤4

pi：V(x,y)∈D,x+2yN-2P2：3(x,y)∈D,x+2y22

pɜ:V(x,y)∈D,x+2y≤3P4：三(x,y)∈D,x+2y≤-1

其中真命题是()

，∣

A.P2pɜB.pɪ,P4C,p,P2D∙P1，P3

9.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x）,且在区间［0,2］上是增函数,

则（）

A.f(-17)<f(19)<f(40)B.f(40)<f(19)<f(-17)C.f(19)<f(40)

<f(-17)D.f(-17)<f(40)<f(19)

10.已知圆0：x2+y2=2,直线1：χ+2y-4=0,点P(x0,y0)在直线1上.若存在圆C上的

点Q，使得/OPQ=45。(O为坐标原点)，则Xo的取值范围是()

A.[0,1]B.[0,ɪ]C.[--ɪ-,1]D.[-ɪ-,ɪ]

DI2，5

二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）

11.在（1-3x）8的展开式中，各项系数之和为.

12.某城区按以下规定收取水费：若每月用水不超过20ΠΛ则每立方米收费按2元收取；

若超过2O∏Λ则超过的部分按每立方米3元收取，如果某户居民在某月所交水费的平均价

为每立方米2.20元，则这户居民这月共用水m3.

13.若tana、tanβ是方程X2+3我χ+4=0的两根，且-看＜8,B|贝IJ

α+β=.

14.一个多面体的三视图如图所示，则该几何体的外接球（几何体的所有顶点都在球面上）

的体积为

O

i∣‹a

15.已知x∈R,符号［x］表示不超过X的最大整数，若函数f(X)-ɪɪɪ(x>0),

则给出

X

以下四个结论:

①函数f(X)的值域为［0,1］；

②函数f(X)的图象是一条曲线；

③函数f(X)是(0,+8)上的减函数；

④函数g(X)=f(X)-a有且仅有3个零点时,<a<1∙.

45

其中正确的序号为.

三、解答题(共6小题，满分75分)

16.设数列｛aj的前n项和为SIP已知ap2,an+1=4an-3n-ɪ(n∈N*).

(I)设brl=a1,-n,求证：｛bj是等比数列,并求｛bj的通项公式；

(2)求数列｛a11｝的通项公式及Stv

17.已知a,b,c分别是aABC的内角A,B,C所对的边，且c=2,sinC(cosB-√3⅞inB)

=sinA.

(1)求角C的大小；

(2)若CoSA='值，求边b的长.

3

18.如图所示，AABC是边长为2的正三角形，BC〃平面α,且A、B、C在平面a的同

侧，它们在a内的正射影分别是A'、B'、C',且4A'B'C'是Rt△,BC到a的距

离为5.

(1)求点A到平面a的距离；

(2)求平面ABC与平面a所成较小二面角的余弦值.

C

19.已知甲盒内有大小相同的1个红球、1个绿球和2个黑球，乙盒内有大小相同的2个红

球、1个绿球和3个黑球，现从甲乙两个盒子内各任取2球.

(1)求取出的4个球中恰有1个红球的概率；

(2)求取出的4个球中红球个数不超过2个的概率；

(3)设取出的4个球中红球的个数为"求£的分布列和数学期望.

20.如图，椭圆E：£•+咚l(a>b>0)的离心率e*3,经过椭圆E的下顶点A和右

a2b22

焦点F的直线1的圆CX2+(y-2b)2=2工相切.

4

(1)求椭圆E的方程；

(2)若直线m与1垂直，且交椭圆E与P、Q两点，当而,适二一白(O是坐标原点)

时，求直线m的方程.

21.已知函数f(x)=ex+ax2-ex,a∈R.

(I)若曲线y=f(X)在点(1,f(1))处的切线平行于X轴，求函数f(X)的单调区间;

(II)试确定a的取值范围，使得曲线y=f(X)上存在唯一的点P,曲线在该点处的切线与

曲线只有一个公共点P.

2016年四川省广元市高考数学三模试卷(理科)

参考答案与试题解析

一、选择题(共10小题，每小题5分，满分50分)

1.i是虚数单位，复数兽J=()

1~1

A.l+2iB.2+4iC.-ɪ-2iD.2-i

【分析】复数的除法的运算需要分子、分母同时乘以分母的共辗复数，化简即可.

3+i_(3+i)(l+i)_2+4i.iS.

【解答】解:TτT=(ι-i)(ι+i)=2=ι+'>

故选A.

【点评】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题.

2.已知R是实数集，M={x∣9<l},N={y∣y=√7^T},则NC[RM=()

A.(1,2)B.[0,2]C.0D.[1,2]

【分析】先化简2个集合M、N到最简形式求出M,N,依照补集的定义求出CRM,再按

照交集的定义求出N∩CRM.

【解答】解：或

∙∙∙M={X∣2<1}={X∣X<0,X>2},N={y∣y=√x-l}={y∣y^O),

X

故有N∩CβM={y∣y>O}∩{x∣x<0,或x>2}=[0,+∞)∩((-∞,0)U(2,+∞))

=[0,2],

故选B.

【点评】本题考查函数的值域求法，不等式的解法，以及求2个集合的补集和交集的方法.

3.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入X的值为-5,则输出的y值是()

A.-IB.1C.2D.—

4

【分析】框图输入框中首先输入X的值为-5,然后判断x∣与3的大小，∣x∣>3,执行循环

体，∣x>3不成立时跳出循环，执行运算y=l°g∣*,然后输出y的值.

2

【解答】解：输入X的值为-5,

判断I-5>3成立，执行X=I-5-3|=8；

判断|8>3成立，执行x=∣8-3∣=5;

判断15>3成立，执行X=5-3|=2；

判断12>3不成立，执行>=l°g∣2=T.

2

所以输出的y值是-1.

故选A.

【点评】本题考查了程序框图中的循环结构，考查了当型循环，当型循环是先判断后执行,

满足条件执行循环体，不满足条件时算法结束，此题是基础题.

4.下面四个函数中，以Tt为最小正周期，且在区间(Y-,π)上为减函数的是()

2

A.y=cos2xB.y=2∣sinx∣C.y=(ɪ)eosxD.y=tanx

【分析】由三角函数的单调性和周期性，逐个选项验证可得.

【解答】解：选项A,y=cos2χ=L(I+cos2x),

2

TT

ill2kπ+π≤2x≤2kπ+2π可得k∏+----WX≤k∏+π,k∈Z,

2

当k=0时，可得函数在区间(下，H)上为增函数，故错误；

TT

选项B,当XG(―,π)时，y=2sinx,由正弦函数图象可知，

函数在区间(夕，n)上为减函数，故正确；

选项C,y=(∙∣∙)C8x的周期为如，故错误；

一π

选项D,y=tanx周期为H,在区间(彳，H)上为增函数，故错误.

故选:B.

【点评】本题考查三角函数的单调性和周期性，属基础题.

22

5.已知双曲线与-工钎1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线1：y=2x+10,双曲线的

a2b2

一个焦点在直线I上，则双曲线的方程为()

2222

A.2_-y_=iB.z_-y_=i

520205

22,2

C.3qx-3qy=iD.3χ-3y=1

2510010025

22

【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线二■-J=I(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直

a2b2

线1：y=2x+10,可得上=2,结合c2=a2+b?,求出a,b,即可求出双曲线的方程.

a

【解答】解：・・・双曲线的一个焦点在直线1上，

令y=0,可得X=-5,即焦点坐标为(-5,0),.∙.c=5,

：双曲线∙⅛-W=l(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线1：y=2x+10,

ab

.±=2,

a

Vc2=a2+b2,

Λa2=5,b2=20,

22

.∙∙双曲线的方程为工-工=1∙

520

故选：A.

【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题.

6.若从1,2,3,9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共

有（）

A.60种B.63种C.65种D.66种

【分析】本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况,

当取得4个偶数时，当取得4个奇数时，当取得2奇2偶时，分别用组合数表示出各种情况

的结果，再根据分类加法原理得到不同的取法.

【解答】解：山题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三

种不同的情况，

当取得4个偶数时，有C：=1种结果，

当取得4个奇数时，有Cg=5种结果，

当取得2奇2偶时有C；C5=6×10=6。

共有1+5+60=66种结果，

故选D

【点评】本题考查计数原理的应用，本题解题的关键是根据题意把符合条件的取法分成三种

情况，利用组合数表示出结果，本题是一个基础题.

7.在AABC中，M是AB边所在直线上任意一点，⅞τQF^2CA+λCB-则人=（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】根据A、M、B三点共线，可得存在实数U使/U而成立，化简整理得B

1CA-CB，结合已知等式建立关于入、IX的方程组，解之即可得到实数人的值.

1+7

【解答】解：∙.∙AABC中，M是AB边所在直线上任意一点,

=

，存在实数μ,使得Hiμ^jg,即石J-柒=（百-E）

化简隔=Jr以。⅛同

1〜2

,•石=-2日+近，.・.结合平面向量基本定理，得卜+“，解之得入=3,μ=-∣-

—y―=λ2

ll+μ

故选：C

【点评】本题给出A、M、B三点共线，求用向量以、而表示Wj的表达式，着重考查了平

面向量的线性运算和平面向量基本定理等知识，属于基础题.

x+y≥l

8.不等式组•的解集记为D,有下列四个命题:

X-2y<4

p∣:V(x,y)∈D,x+2y2-2P2：3(x,y)∈D,x+2y≥2

pɜ:V(x,y)∈D,x+2y≤3p4：3(x,y)∈D,x+2y≤-1

其中真命题是()

A.P2，P3B.p∣,p4C.p∣,p2D.P1，P3

【分析】作出不等式组kB的表示的区域D,对四个选项逐一分析即可.

由图知，区域D为直线x+y=l与x-2y=4相交的上部角型区域，

p∣:区域D在x+2y2-2区域的上方，故：V(x,y)∈D,x+2y2-2成立；

P2：在直线x+2y=2的右上方和区域D重叠的区域内，3(x,y)∈D,x+2y22,故P2：3

(x,y)∈D,x+2y22正确；

P3：由图知，区域D有部分在直线x+2y=3的上方，因此P3：∀(X,y)∈D,x+2yW3错

误；

P4：x+2yW-1的区域(左下方的虚线区域)恒在区域D下方，故p4：3(x,y)∈D,x+2y

≤-1错误；

综上所述，Pi、P2正确；

故选：C.

【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键,

属于难题.

9.已知定义在R上的奇函数f(X)满足f(x-4)=-f(X),且在区间［0,2］上是增函数,

贝IJ()

A.f(-17)<f(19)<f(40)B.f(40)<f(19)<f(-17)C.f(19)<f(40)

<f(-17)D.f(-17)<f(40)<f(19)

【分析】由f(X-4)=-f(X)求出函数f(X)的周期，由奇函数的性质求出f(X)的对

称轴，由条件判断出以f(X)在［2,4］上的单调性，由奇函数的性质、周期性、对称性、

单调性判断出函数值的大小关系.

【解答】解：由f(x-4)=-f(x)得，f(x+4)=-f(x),

则f(x+8)=f(X),函数f(X)的周期是8,

因为f(X)是定义在R上的奇函数，

所以f(x+4)=f(-x),即函数f(x)的对称轴是x=2,

因为f(X)在区间［0,2］上是增函数，

所以f(X)在［2,4］上是减函数，

因为f(-17)=-f(17)=-f(I),

f(19)=f(16+3)=f(3)=f(1)>0,f(40)=f(0)=0,

所以f(-17)<f(40)<f(19),

故选：D.

【点评】本题考查函数的奇偶性、周期性、单调性、周期性的综合应用，考查化简、变形能

力，属于中档题.

10.已知圆O：x2+y2=2,直线1：x+2y-4=0,点P(x°,y°)在直线1上.若存在圆C上的

点Q，使得/OPQ=45。(O为坐标原点)，则Xo的取值范围是()

A.[O,1]B.[0,ɪ]C.[-ɪ,1]D.[-ɪ,ɪ]

bIZZb

【分析】根据条件若存在圆C上的点Q,使得/OPQ=45。（O为坐标原点），等价P0W2

即可，求出不等式的解集即可得到Xo的范围

【解答】解：圆。外有一点P,圆上有一动点Q,NOPQ在PQ与圆相切时取得最大值.

如果OP变长，那么/OPQ可以获得的最大值将变小.可以得知，当/OPQ=45。，且PQ与

圆相切时,P0=2,

而当P0>2时，Q在圆上任意移动，NOPQ<45。恒成立0.

因此满足P0W2,就能保证一定存在点Q,使得NOPQ=45。，否则，这样的点Q是不存在

的；

4-X

∙.∙点P（x0,y0）在直线x+2y-4=0上，∙∙∙xo+2yo-4=0,EPy0=.........-

2

22222

V∣OP∣⅛o+yo=Xo+~%=-T×0-2x0+4≤4,

24

—x()~^2x()⅛0,

4

解得，O≤xo≤⅛

5

,X()的取值范围是［0,⅛

5

【点评】本题考查点与圆的位置关系，利用数形结合判断出POW2,从而得到不等式求出

参数的取值范围是解决本题的关键.综合性较强，难度较大.

二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）

II.在（l-3x）8的展开式中，各项系数之和为256

【分析】在(l-3x)8的展开式中，令X=I,可得各项系数之和.

【解答】解：在(1-3x)8的展开式中，令X=I,可得各项系数之和为(-2)8=256,

故答案为：256.

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果,

选择合适的数值代入，属于基础题.

12.某城区按以下规定收取水费：若每月用水不超过20∏Λ则每立方米收费按2元收取；

若超过20∏Λ则超过的部分按每立方米3元收取，如果某户居民在某月所交水费的平均价

为每立方米2.20元，则这户居民这月共用水25nΛ

【分析】设他这个月共用了X立方米的水，依据钱数不变可列方程，依据等式的性质即可求

解

【解答】解：设他这个月共用了X立方米的水，

'2x,0<x<20

则所交水费f(X)

40+3(x-20),x>20

∙.♦某户居民在某月所交水费的平均价为每立方米2.20元，超过了2元，

Λx>20,

则由20X2+(x-20)×3=2.2x

得40+3x-60=2.2x,

即0.8x=20得x=25.

故他这个月共用了25立方米的水.

故答案为：25.

【点评】本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立分段函数模型，是解决本题的关键.

13.若tana、tanβ是方程X2+3+4=0的两根，且-<3,β<Z-,则α+B=

2几

【分析】由tana,ta叩是方程χ2+3ja+4=0的两个根，根据韦达定理表示出两根之和与两

根之积，表示出所求角度的正切值，利用两角和的正切函数公式化简后，将表示出的两根之

和与两根之积代入即可求出tan(α+β)的值，然后根据两根之和小于0,两根之积大于0,

得到两根都为负数，根据α与B的范围，求出a+B的范围，再根据特殊角的三角函数值,

山求出的tan(a+β)的值即可求出a+B的值.

【解答】解：依题意得tana+ta∏B=-3√^<0,tanatanβ=4>0,

/八tanɑ÷tanβ~3√3

..tan(α+β)=-------------------苍

1-tanɑtanp1-4

Cz兀冗、

依题意知tanαVO,tanβVO,又ct,

TTπ

.*∙CL∈(一一，O),β∈(~,0),

22

・二α÷β≡(-R,O)f

Λα+β=--^ɪ.

ɔ

故答案为：-

【点评】此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切函数公式化简求值，是一道中档

题.本题的关键是找出a+β的范围.

14.一个多面体的三视图如图所示，则该几何体的外接球(几何体的所有顶点都在球面上)

的体积为—4√5兀

【分析】山题意画出原几何体，通过补形得到几何体外接球的半径，代入球的体积公式得答

案.

【解答】解：由三视图还原原几何体如图，

原几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱.

补形为棱长为2的正方体，则其外接球的直径(2R)2=3X22=12,

∙*∙R=∖6∙

则其外接球的体积为v=-∣-π∙(√3)3=4√3π∙

O

故答案为：4>∕3∏∙

【点评】本题考查由三视图求多面体的体积，考查了空间想象能力和思维能力，是中档题.

15.已知x∈R,符号[x]表示不超过X的最大整数，若函数f(X)上l(x>O),则给出

X

以下四个结论：

①函数f(X)的值域为[0,1]；

②函数f(X)的图象是一条曲线；

③函数f(X)是(0,+8)上的减函数；

④函数g(X)=f(X)-a有且仅有3个零点时与<a<1∙.

45

其中正确的序号为④.

【分析】通过举特例，可得①、②、③错误；数形结合可得④正确，从而得出结论.

【解答】解：由于符号[χ]表示不超过X的最大整数，函数f(X)=旦1(χ>0),

X

一2

JKx--1.1,贝打x]=-2,.∙.f(X)=——>1,故①不正确.

-1.1

由于当OVXV1,[x]=0,此时f(X)=O;

当1WXV2,[x]=l,此时f(x)=i∙;

X

当2Wx<3,[x]=2,此时f(x)∕∙,此时2<f(X)≤ι,

X3

当3Wx<4,[x]=3,此时f(X)旦，此时工<g(X)Wl,

X4

当4Wx<5,[x]=4,此时f(X)=^-,此时&<g(X)Wl,

X5

故f(X)的图象不会是一条曲线，且f(X)不会是(0,+8)上的减函数，故排除②、③.

函数g(X)=f(X)-a有且仅有3个零点时，函数f(X)的图象和直线y=a有且仅有3个

交点，

此时，4<a<4>故④正确，

45

故答案为：④.

【点评】本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了化归与转化、数形结合的数学

思想，属于基础题.

三、解答题(共6小题，满分75分)

16.设数列｛aj的前n项和为S11,已知a〔=2,an+ι=4anι-3n-1(n∈N*).

(1)设bn=a1,-n,求证：｛4｝是等比数列,并求｛bj的通项公式;

(2)求数列｛a11｝的通项公式及Sn.

【分析】(1)通过对an+]=4a11-3n+l变形可知arι+1-(n+l)≈4an-4n,进而可知数列｛b∣J

是首项为1、公比为4的等比数列，计算即得结论：

(2)通过(1)可知a11=n+4nτ,进而利用分组求和法计算即得结论.

【解答】(1)证明：∙.∙an+ι=4all-3n+l,

Λan+ι-(n+l)=4an-4n,

XVbn=an-n,

Λbn+1=4bn,

X*∕bj=aι-1=2-1=1,

，数列｛、｝是首项为1、公比为4的等比数列，

nl

Λbn=4^(n∈N*)；

(2)解：由(1)知bn=a11-n=4ii,

n1

/.an=n+4-,

(n+l)YJ■-4ri∕n-l,n(n+l)

.ς_n

・・Dn

21-432

【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查分组求和法，对表达式

的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题.

17.已知a,b,c分别是aABC的内角A,B,C所对的边，且c=2,sinC(cosB-止inB)

=sinA.

(1)求角C的大小；

(2)若COSA=马但，求边b的长.

3

【分析】(1)已知等式利用正弦定理及两角和与差的正弦函数公式化简，整理求出tanC的

值，即可确定出C的度数;

(2)由COSA的值求出SinA的值，利用两角和与差的正弦函数公式化简Sin(A+C),把各

自的值代入求出Sin(A+C)的值，即为SinB的值，再由c,SinC的值，利用正弦定理求出

b的值即可.

【解答】解：(1)由题意得SinC(CosB-GinB)=sinA,

整理得：SinCcosB-^f3sir1BsinC=sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB,B∣J-5/3

SinBsinC=SinBcosC,

VsinB≠O,.∙.tanC=-亚■,

3

TC为三角形内角,

T

,------F-I

(2).*COSA=**•SinAWl-coszA-y-

ΛsinB=sin(A+C)=SinACoSC+cosASinC=ɪX(√3)⅜2√2χ1,2√2-√3

32326

山正弦定理得：ɪ-≈-√÷

sinbSinC

贝I]b,csinB4√2-2√3

sinC3

【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握定理

及公式是解本题的关键.

18.如图所示，AABC是边长为2的正三角形，BC〃平面α,且A、B、C在平面a的同

侧，它们在a内的正射影分别是A'、B'、C',且4A'B'C'是RtZ∖,BC到a的距

离为5.

(1)求点A到平面a的距离；

(2)求平面ABC与平面a所成较小二面角的余弦值.

【分析】(1)过A作ADJ_BB'于D,AElCC,于E,推导出NCA'B,=90。，由此能

求出A点到平面a的距离.

(2)以A'为原点，射线A'B',A'C',A,A分别为X,y,Z轴正方向建立空间直

角坐标系，利用向量法能求出平面ABC与平面a所成较小二面角的余弦值.

【解答】解：(1)如图，过A作ADLBB'于D,AElCCz于E.

山题意知BB，=CC'=5,B,C=2...2'

设AA'=x,则BD=5-X,CE=5-x,

∙∙∙A'B,=AD=AE=AZC'=√4-(5-x)2-ZCA,B'=90。，...4'

VB,C,=2,Λ4-(5-x)2=2,

；.x=5-，^或x=5+&(舍)，

，A点到平面a的距离为5-Λ∕2∙...6'

(2)以A'为原点，射线A'B',A'C',A,A分别为X,y,Z轴正方向建立空间直

角坐标系...7'

由⑴可知：A,(0,0,0),B'(√2∙0,0),c'(0,√2,0)›

A(0,0,5-√2),B(√2∙0，5),

C(0,√2-5),...8，

平面A'B,Cz的法向量为，=(0,0,1),...9,

AB=<√2>θ>√2)-AC=。√2∙√2)-

设平面ABC的法向量为｝(x,y,z),

,n,AB→∕2x+V2z=0„,一

则｛______,取χ=l,得n=(1，1.-D

n∙AC=√2y÷V2z=0

设平面ABC与平面α所成较小二面角为。，...10，

则cosθ=-⅛⅛-l=--....H,

ImI'I∏|13

【点评】本题考查点到平血的距离的求法，考查二血角的余弦值的求法，是中档题，解题时

要认真审题，注意向量法的合理运用.

19.已知甲盒内有大小相同的1个红球、1个绿球和2个黑球，乙盒内有大小相同的2个红

球、1个绿球和3个黑球，现从甲乙两个盒子内各任取2球.

(1)求取出的4个球中恰有1个红球的概率；

(2)求取出的4个球中红球个数不超过2个的概率；

(3)设取出的4个球中红球的个数为七求七的分布列和数学期望.

【分析】(I)设4个球中红球个数为&即S=I,可能来自甲盒，也可能来自乙盒，由此

能求出取出的4个球中恰有1个红球的概率.

(II)4个球中的红球个数S不超过2个，则S可以是0个，1个，2个，分别求出PPa=0),

P(ξ=l),P(ξ=2),由此能求出P(ξ≤2).

(Ill)S的可能取值为0,1,2,3,...9'

由(I)分别求出：p(ξ=0),p(ξ=l),p(ξ=2),p(ξ=3),由此能求出ξ的分布列和

数学期望.

【解答】解：(I)设4个球中红球个数为9即ξ=l,可能来自甲盒，也可能来自乙盒

.,c］、C；C；C4eɜc2c47

...4'

(II)4个球中的红球个数S不超过2个，则S可以是O个，1个，2个

112214

CCCCCC

134-32

Pz-÷-

x(2♦-♦-2

ξ=lθC2C2C

ɔ4646

(Ill)E的可能取值为O,1,2,3,…9'

173

由(I)(H)知：P(ξ=O)节，P(ξ=l)=yp,P(ξ=2)=γð∙,

・・・1的分布列为:

ξO123

Pɪ73

515Io

λe^0×⅜+1×⅛+2×⅛÷3×⅛⅛∙-12,

【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题,

解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题之」

22r~

20.如图，椭圆E：芸+二尸l(a>b>0)的离心率e=",经过椭圆E的下顶点A和右

a2b22

焦点F的直线1的圆C：X2+(y-2b)?=21相切.

4

(I)求椭圆E的方程；

(2)若直线m与1垂直，且交椭圆E与P、Q两点，当而∙而二一工(O是坐标原点)

时，求直线m的方程.

【分析】(1)设出A,F的坐标，可得直线AF的方程，求得圆的圆心和半径，运用直线

和圆相切的条件：d=r,以及椭圆的离心率公式，计算可得a=2,b=l,进而得到椭圆方程;

(2)求得直线1的斜率，由两直线垂直的条件，可得直线m的斜率，设m的方程为y=-√3

x+t,代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0,再由向量的数量积的坐标表示，化简

整理，解方程可得3进而得到所求直线的方程.

【解答】解：(1)由题意知，A(0,-b),F(c,0),

可得直线AF的方程为bx-cy-bc=0,

圆C：X2+(y-2b)2=2工的圆心为(0,2b),半径为2亚，

42

由直线AF与圆C相切，

又b2+c2=a2,eJ∙4,

a2

解得a=2,b=l,eɪʌ/ɜ,

2ʌ

则椭圆方程为工一+y2=l；

4

(2)由(1)可知，直线1的斜率为近，

3

由直线m与1垂直，可得直线m的斜率为-√3,

2

设m的方程为y=-心+t,代入椭圆方程2L-+y2=l,

4

可得13X2-8>∕3tx+4t2-4=0

由4=192t?-52(4t2-4)>0,可得-√13<t<V13>

4t2-4

记P（X],y∣）,Q（x2,丫2）,则X]+X2=×ι×2≈--------

13

而而=<xl>Yl>>θθɪ（X2，丫2）

即有OgO（j=x1x2+y]y2=x1x2+（t-√3χ1）（t-√3x2）

2

=4XIX2-√^t(x,+x2)√=16t-lθ∣-24tl+t2=5ti116^__L,

^13131313

解得t=±√5e(-√13∙√13)，

即有直线m的方程为y=-√⅞±√3.

【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用直线和圆相切的条件：d=r,以及椭圆的离

心率公式，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和判别式大于0,同时考查向量的

数量积的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题.

21.已知函数f(x)=ex+ax2-ex,a∈R.

(I)若曲线y=f(X)在点(1,f(I))处的切线平行于X轴，求函数f(X)的单调区间;

(H)试确定a的取值范围，使得曲线y=f(x)上存在唯•的点P,曲线在该点处的切线与

曲线只