2024届吉林省百校联盟数学高二下期末综合测试试题含解析

2024届吉林省百校联盟数学高二下期末综合测试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若1-2x2019=a0+A．2017 B．2018 C．2019 D．20202．若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为()A．3×2－2 B．2－4 C．3×2－10 D．2－83．如图是求样本数据方差的程序框图，则图中空白框应填入的内容为（）A． B．C． D．4．若直线的倾斜角为，则（）A．等于 B．等于 C．等于 D．不存在5．与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是（）A． B． C． D．6．设函数f（x），g（x）在[A，B]上均可导，且f′（x）＜g′（x），则当A＜x＜B时，有（）A．f（x）＞g（x）B．f（x）+g（A）＜g（x）+f（A）C．f（x）＜g（x）D．f（x）+g（B）＜g（x）+f（B）7．将一枚质地均匀的硬币抛掷四次，设为正面向上的次数，则等于（）A． B． C． D．8．在的展开式中，的系数为（）A．-10 B．20 C．-40 D．509．下列命题正确的是（）A．进制转换：B．已知一组样本数据为1，6，3，8，4，则中位数为3C．“若，则方程”的逆命题为真命题D．若命题：，，则：，10．设集合，集合，则（）A． B． C． D．11．已知实数满足条件，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．12．函数的递增区间为（）A．， B．C．， D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则该展开式的常数项是__________．14．已知一组数据为2，3，4，5，6，则这组数据的方差为______.15．函数的极值点为__________．16．若C5x=C三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线与椭圆有共同的焦点，过点的直线与抛物线交于两点.(Ⅰ)求抛物线的方程；(Ⅱ)若，求直线的方程.18．（12分）已知函数.（1）求的最小值；（2）证明：对一切，都有成立.19．（12分）已知函数(1)求函数的解析式;(2)解关于的不等式．20．（12分）已知复数z满足z=﹣1．（1）求复数z的共轭复数；（2）若w=z+ai，且|w|≤|z|，求实数a的取值范围．21．（12分）如图,在多面体中,平面,四边形为正方形,四边形为梯形,且,,,.(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)线段上是否存在点,使得直线平面？若存在,求的值：若不存在,请说明理由.22．（10分）已知定义在上的函数的图象关于原点对称，且函数在上为减函数．（1）证明：当时，；（2）若，求实数的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

通过对等式中的x分别赋0，1，求出常数项和各项系数和得到要求的值.【题目详解】令x=0，得a0令x=1，得-1=a所以a0故选A.【题目点拨】该题考查的是有二项展开式中系数和的有关运算问题，涉及到的知识点有应用赋值法求二项式系数和与常数项，属于简单题目.2、C【解题分析】E(X)＝np＝6，D(X)＝np(1－p)＝3，∴p＝，n＝12，则P(X＝1)＝·()1·()11＝3×2－10.3、D【解题分析】

由题意知该程序的作用是求样本的方差，由方差公式可得.【题目详解】由题意知该程序的作用是求样本的方差，所用方法是求得每个数与的差的平方，再求这8个数的平均值，则图中空白框应填入的内容为：故选：D【题目点拨】本题考查了程序框图功能的理解以及样本方差的计算公式，属于一般题.4、C【解题分析】分析:根据画出的直线得直线的倾斜角.详解：直线x=1的倾斜角为故答案为：C.点睛：(1)本题主要考查特殊直线的倾斜角，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)任意一条直线都有倾斜角，但是不是每一条直线都有斜率.5、A【解题分析】由椭圆方程可得焦点坐标为，设与其共焦点的双曲线方程为：，双曲线过点，则：，整理可得：，结合可得：，则双曲线方程为：.本题选择A选项.6、B【解题分析】试题分析：设F（x）=f（x）-g（x），∵在[A，B]上f'（x）＜g'（x），F′（x）=f′（x）-g′（x）＜0，∴F（x）在给定的区间[A，B]上是减函数．∴当x＞A时，F（x）＜F（A），即f（x）-g（x）＜f（A）-g（A）即f（x）+g（A）＜g（x）+f（A）考点：利用导数研究函数的单调性7、C【解题分析】分析：先确定随机变量得取法，再根据独立重复试验求概率.详解：因为所以选C.点睛：次独立重复试验事件A恰好发生次得概率为.其中为1次试验种A发生得概率.8、C【解题分析】分析：根据二项式展开式的通项求的系数.详解：由题得的展开式的通项为令5-r=2,则r=3,所以的系数为故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查二项式展开式的系数的求法，意在考查学生对该基础知识的掌握水平和基本计算能力.(2)二项式通项公式：（）.9、A【解题分析】

根据进制的转化可判断A，由中位数的概念可判断B，写出逆命题，再判断其真假可判断C.根据全称命题的否定为特称命题，可判断D.【题目详解】A.,故正确.B.样本数据1，6，3，8，4，则中位数为4.故不正确.C.“若，则方程”的逆命题为:“方程,则”，为假命题，故不正确.D.若命题：，.则：，，故不正确.故选：A【题目点拨】本题考查了进制的转化、逆命题，中位数以及全称命题的否定，属于基础题.10、B【解题分析】

求解出集合，根据并集的定义求得结果.【题目详解】本题正确选项：【题目点拨】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.11、D【解题分析】

如图所示，画出可行域和目标函数，根据平移得到答案.【题目详解】如图所示，画出可行域和目标函数，，则，表示直线轴截距的相反数，根据图像知：当直线过，即，时有最小值为；当直线过，即时有最大值为，故.故选：.【题目点拨】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.12、A【解题分析】分析：直接对函数求导，令导函数大于0，即可求得增区间.详解：，，增区间为.故答案为A.点睛：本题考查了导数在研究函数的单调性中的应用，需要注意的是函数的单调区间一定是函数的定义域的子集，因此求函数的单调区间一般下，先求定义域；或者直接求导，在定义域内求单调区间.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、15【解题分析】∵二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，，

则展开式中的通项公式为．

令，求得，故展开式中的常数项为，

故答案为15.14、2【解题分析】分析：根据方差的计算公式，先算出数据的平均数，然后代入公式计算即可得到结果．详解：平均数为：即答案为2.点睛：本题考查了方差的计算，解题的关键是方差的计算公式的识记．它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．15、【解题分析】

求出的导数，令，根据单调区间，可得所求极值点；【题目详解】令，得则函数在上单调递减，在上单调递增，则函数在处取得极小值，是其极小值点.即答案为3.【题目点拨】本题考查导数的运用：求单调区间和极值点，考查化简整理的运算能力，属于基础题．16、2或3【解题分析】

根据组合数的性质得解.【题目详解】由组合数的性质得x=2或x+2=5，所以x=2或x=3.【题目点拨】本题考查组合数的性质，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)抛物线的方程为;(Ⅱ)直线的方程为或.【解题分析】分析：(Ⅰ)由题意可知椭圆的焦点坐标为,则,抛物线的方程为.(Ⅱ)依题意,可设直线的方程为．联立直线方程与抛物线方程可得,结合韦达定理可得则,解得．直线的方程为或．详解：(Ⅰ)因为椭圆的焦点坐标为,而抛物线与椭圆有共同的焦点，所以,解得，所以抛物线的方程为.(Ⅱ)依题意,可设直线的方程为．联立,整理得,由题意,,所以或．则.则,.则又已知,所以,解得．所以直线的方程为或．化简得直线的方程为或．点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．18、(I).（Ⅱ）见解析.【解题分析】

（1）先求出函数的定义域，然后求导数，根据导函数的正负判断函数的单调性进而可求出最小值．（2）对一切，都有成立，即，结合（1）中结论可知，构造新函数，分析其最大值，可得答案．【题目详解】（1）的定义域为，的导数．令，解得；令，解得．从而在单调递减，在，单调递增．所以，当时，取得最小值．（2）若则，由（1）得：，当且仅当时，取最小值；设，则，时，，单调递增，时，，单调递减，故当时，取最大值故对一切，都有成立．【题目点拨】本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，导数在最值问题中的应用，属于难题．19、(1)(2)【解题分析】

（1）令，得，求出的范围，得出的范围，再将代入题中函数解析式即可得出函数的解析式与定义域；（2）将所求不等式转化为，然后解出该不等式组即可得出答案．【题目详解】（1）令，则，，由题意知，即，则．所以，故．（2）由，得．由，得，因为，所以，由，得，即，，解得或.又，，所以或.故不等式的解集为.【题目点拨】本题第（1）问考查函数解析式的求解，对于简单复合函数解析式的求解，常用换元法，但要注意新元的取值范围作为定义域，第（2）问考查对数不等式的解法，一般要转化为同底数对数来处理，借助对数函数的单调性求解，同时也要注意真数大于零这个隐含条件．20、（1）（2）﹣1≤a≤0【解题分析】

（1）利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出；（2）利用复数模的计算公式、一元二次不等式的解法即可得出．【题目详解】解：（1），．（2），，，，则，，，所以，实数的取值范围是：．【题目点拨】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、复数模的计算公式、一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．21、(1)；(2).【解题分析】

建立适当的空间直角坐标系.(1)求出平面的法向量,利用空间向量夹角公式可以求出直线与平面所成角的正弦值；(2)求出平面的法向量,结合线面平行的性质,空间向量共线的性质,如果求出的值,也就证明出存在线段上是否存在点,使得直线平面,反之就不存在.【题目详解】以为空间直角坐标系的原点,向量所在的直线为轴.如下所示：.(1)平面的法向量为,..直线与平面所成角为,所以有;(2)假设线段上是存在点,使得直线平面.设,因此,所以的坐标为：..设平面的法向量为,,,因为直线平面,所以有,即.【题目点拨】本题考查了线面角的求法以及线面平行的性质,考查了数学运算能力.22、（1）证明见解析；（2）．【解题分析】

（1）由于是奇函数，，因此要证明的不等式可变形为要证明，因此只要说明与异号，即与的大小和与的大小关系正好相反即可，这由减函数的定义可得，证明时可分和分别证明即可