2024届福建省龙岩市连城县第一中学数学高二第二学期期末调研试题含解析

2024届福建省龙岩市连城县第一中学数学高二第二学期期末调研试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．有，，，四种不同颜色的花要（全部）栽种在并列成一排的五个区域中，相邻的两个区域栽种花的颜色不同，且第一个区域栽种的是颜色的花，则不同栽种方法种数为（）A．24 B．36 C．42 D．902．已知等差数列的前项和为，，且，则（）A．6 B．7 C．8 D．93．已知函数的图象上，有且只有三个不同的点，它们关于直线的对称点落在直线上，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．4．双曲线的渐近线的斜率是()A． B． C． D．5．在空间给出下列四个命题：①如果平面内的一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则⊥；②如果直线与平面内的一条直线平行，则∥；③如果直线与平面内的两条直线都垂直，则⊥；④如果平面内的两条直线都平行于平面，则∥．其中正确的个数是A． B． C． D．6．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是（）A．甲的极差是29 B．甲的中位数是24C．甲罚球命中率比乙高 D．乙的众数是217．在三棱锥中，，点为所在平面内的动点，若与所成角为定值，，则动点的轨迹是A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线8．已知，那么“”是“且”的A．充分而不必要条件 B．充要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件9．函数是定义在上的奇函数，当时，，则A． B． C． D．10．设函数是的导函数，，，，，则（）A． B．C． D．11．已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是A． B． C． D．12．某地区一次联考的数学成绩近似地服从正态分布，已知，现随机从这次考试的成绩中抽取个样本，则成绩小于分的样本个数大约为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已双曲线过点，其渐近线方程为，则双曲线的焦距是_________；14．展开式中含项的系数_________．15．已知函数f(x)=(x+2013)(x+2015)(x+2017)(x+2019)x∈R，则函数f(x)16．三个元件正常工作的概率分别为，，，将两个元件并联后再和串联接入电路，如图所示，则电路不发生故障的概率为_________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线:的焦点为，准线为，与轴的交点为，点在抛物线上，过点作于点，如图1.已知，且四边形的面积为.（1）求抛物线的方程；（2）若正方形的三个顶点，，都在抛物线上（如图2），求正方形面积的最小值.18．（12分）已知函数（且），.（1）函数的图象恒过定点，求点坐标；（2）若函数的图象过点，证明：方程在上有唯一解.19．（12分）（本小题满分13分）已知函数。（Ⅰ）当时，求曲线在处切线的斜率；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）当时，求在区间上的最小值。20．（12分）已知函数.（1）求函数的极值;（2）当时，证明：;（3）设函数的图象与直线的两个交点分别为，，的中点的横坐标为，证明：.21．（12分）已知椭圆左右焦点分别为，，若椭圆上的点到，的距离之和为，求椭圆的方程和焦点的坐标；若、是关于对称的两点，是上任意一点，直线，的斜率都存在，记为，，求证：与之积为定值．22．（10分）某高科技公司研究开发了一种新产品，生产这种新产品的每天固定成本为元，每生产件，需另投入成本为元，每件产品售价为元（该新产品在市场上供不应求可全部卖完）．（1）写出每天利润关于每天产量的函数解析式；（2）当每天产量为多少件时，该公司在这一新产品的生产中每天所获利润最大．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】分析：可以直接利用树状图分析解答.详解：这一种有12种，类似AC,各有12种，共36种，故答案为：B.点睛：(1)本题主要考查排列组合，考查计数原理，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题可以利用排列组合解答，分类讨论比较复杂.也可以利用树状图解答，比较直观.2、D【解题分析】分析：设等差数列的公差为d，由且，可得，，解出即可得出.详解：设等差数列的公差为d，由且，，，解得，则.故选：D.点睛：(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．3、D【解题分析】

可先求关于的对称直线，联立对称直线和可得关于x的函数方程，采用分离参数法以及数形结合的方式进行求解即可【题目详解】设直线关于的对称函数为，则，因为与有三个不同交点，联立，可得，当时显然为一解，当时，有，画出的图像，可知满足与有两交点需满足综上所述，实数的取值范围是答案选D【题目点拨】本题考察了直线关于对称直线的求法，函数零点中分离参数、数形结合、分类讨论等基本知识，对数学思维转化能力要求较高，特别是分离参数与数形结合求零点问题，是考察重点4、C【解题分析】

直接利用渐近线公式得到答案.【题目详解】双曲线渐近线方程为：答案为C【题目点拨】本题考查了双曲线的渐近线方程，属于简单题.5、A【解题分析】本题考查空间线面关系的判定和性质．解答：命题①正确，符合面面垂直的判定定理．命题②不正确，缺少条件．命题③不正确，缺少两条相交直线都垂直的条件．命题④不正确，缺少两条相交直线的条件．6、B【解题分析】

通过茎叶图找出甲的最大值及最小值求出极差判断出A对；找出甲中间的两个数，求出这两个数的平均数即数据的中位数，判断出D错；根据图的数据分布，判断出甲的平均值比乙的平均值大，判断出C对．【题目详解】由茎叶图知甲的最大值为37，最小值为8，所以甲的极差为29，故A对甲中间的两个数为22，24，所以甲的中位数为故B不对甲的命中个数集中在20而乙的命中个数集中在10和20，所以甲的平均数大，故C对乙的数据中出现次数最多的是21，所以D对故选B．【题目点拨】茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征，进一步估计总体情况．7、B【解题分析】

建立空间直角坐标系，根据题意，求出轨迹方程，可得其轨迹.【题目详解】由题，三棱锥为正三棱锥，顶点在底面的射影是底面三角形的中心，则以为坐标原点，以为轴，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意可得，设为平面内任一点，则，由题与所成角为定值，，则则，化简得，故动点的轨迹是椭圆.选B【题目点拨】本题考查利用空间向量研究两条直线所成的角，轨迹方程等，属中档题.8、C【解题分析】

先利用取特殊值法判断x•y＞0时，x＞0且y＞0不成立，再说明x＞0且y＞0时，x•y＞0成立，即可得到结论．【题目详解】若x＝﹣1，y＝﹣1，则x•y＞0，但x＞0且y＞0不成立，若x＞0且y＞0，则x•y＞0一定成立，故“x•y＞0”是“x＞0且y＞0”的必要不充分条件故选：C．【题目点拨】本题考查的知识点是充要条件的定义，考查了不等式的性质的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．9、D【解题分析】

利用奇函数的性质求出的值.【题目详解】由题得，故答案为：D【题目点拨】(1)本题主要考查奇函数的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)奇函数f(-x)=-f(x).10、B【解题分析】分析：易得到fn（x）表达式以8为周期，呈周期性变化，由于2018÷8余2，故f2008（x）=f2（x），进而得到答案详解：∵f0（x）=ex（cosx+sinx），∴f0′（x）=ex（cosx+sinx）+ex（﹣sinx+cosx）=2excosx，∴f1（x）==excosx，∴f1′（x）=ex（cosx﹣sinx），∴f2（x）==ex（cosx﹣sinx），∴f2′（x）=ex（cosx﹣sinx）+ex（﹣sinx﹣cosx）=﹣2exsinx，∴f3（x）=﹣exsinx，∴f3′（x）=﹣ex（sinx+cosx），∴f4（x）=﹣ex（cosx+sinx），∴f4′（x）=﹣2excosx，∴f5（x）=﹣excosx，∴f6（x）=﹣ex（cosx﹣sinx），∴f7（x）=exsinx，∴f8（x）=ex（cosx+sinx），…，∴=f2（x）=，故选：B．点睛：本题通过观察几个函数解析式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤:一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2)形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.11、C【解题分析】分析：构造函数，利用已知条件确定的正负，从而得其单调性．详解：设，则，∵，即，∴当时，，当时，，递增．又是奇函数，∴是偶函数，∴，，∵，∴，即．故选C．点睛：本题考查由导数研究函数的单调性，解题关键是构造新函数，通过研究的单调性和奇偶性，由奇偶性可以把变量值转化到同一单调区间上，从而比较大小．12、A【解题分析】分析：根据正态分布的意义可得即可得出结论.详解：由题可得：又对称轴为85，故，故成绩小于分的样本个数大约为100x0.04=4故选A.点睛：本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题关键是要知道.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

由渐近线方程设出双曲线方程为，代入已知点的坐标求出，化双曲线方程为标准方程后可得，从而求得。【题目详解】由题意设双曲线方程为，又双曲线过点，∴，∴双曲线方程为，即，，，∴焦距为。故答案为：。【题目点拨】本题考查双曲线的焦距，求双曲线的标准方程。已知双曲线的渐近线方程为，则可设双曲线方程为，代入已知条件求得，即得双曲线方程。而不需考虑焦点所在的轴。14、15【解题分析】

利用组合的知识，根据所求项的次数，可得结果.【题目详解】展开式中含项的系数为．【题目点拨】本题考查二项式定理，难点在于展开式中的每一项是用组合的知识计算得到，属基础题.15、-16.【解题分析】

根据fx解析式的对称性进行换元，令x=t-2016，得到ft-2016的最小值，由fx【题目详解】令x=t-2016，则f当t2=5故fx的最小值是-16【题目点拨】本题考查利用换元法求函数的最小值，二次函数求最值，属于中档题.16、【解题分析】分析：组成的并联电路可从反面计算，即先计算发生故障的概率，然后用对立事件概率得出不发生故障概率．详解：由题意．故答案为．点睛：零件不发生故障的概率分别为，则它们组成的电路中，如果是串联电路，则不发生故障的概率易于计算，即为，如果组成的是并联电路，则发生故障的概率易于计算，即为．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解题分析】

（1）通过借助抛物线的几何性质，设，通过勾股定理可求得，借助线段关系可求得，再借助梯形面积公式最终可求得值，进而求得抛物线的方程；（2）先通过设而不求得方法分别表示出，，和直线的斜率为和的斜率，通过正方形的边长关系代换出与直线的斜率的关系，将面积用含的式子整体代换表示，最终通过均值不等式处理可求得正方形面积的最小值.【题目详解】（1）设，由已知，则，，四边形的面积为，∴，抛物线的方程为：.（2）设，，，直线的斜率为.不妨，则显然有，且.∵，∴.由得即，即.将，代入得，∴，∴.故正方形面积为.∵，∴（当且仅当时取等）.又∵，∴，∴（当且仅当时取等）.从而，当且仅当时取得最小值.【题目点拨】结合几何关系求解曲线方程是常见题型，解题思路是通过曲线的几何性质和几何关系联立求解；直线与曲线问题是圆锥曲线中考查概率最大的一种题型，通过韦达定理求解是常规方法，本题中由于涉及坐标点较多，故采用设而不求，便捷之处在于能简化运算，本题中通过此法搭建了与斜率的表达式，为后续代换省去不少计算步骤，但本题难点在于最终关于的因式的最值求解问题，处理技巧分别对两个因式分别采取了重要不等式和均值不等式，但此法两式同时成立需保证值相同.18、(1)；(2)证明见解析.【解题分析】试题分析：(1)结合对数函数的性质可得函数的图象恒过定点；(2)由题意结合函数的单调性和函数的值域即可证得题中的结论.试题解析：（1）解：∵当时，，说明的图象恒过点.（2）证明：∵过，∴，∴，∵分别为上的增函数和减函数，∴为上的增函数，∴在上至多有一个零点，又，∴在上至多有一个零点，而，，∴在上有唯一解.19、（Ⅰ）（Ⅱ）当时，的单调递减区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为（Ⅲ）当时，在区间上的最小值为，当，在区间上的最小值为【解题分析】试题分析：（Ⅰ）利用导数几何意义求切线斜率：当时，，故曲线在处切线的斜率为（Ⅱ）因为，所以按分类讨论：当时，，递减区间为；当时，在区间上，，在区间上，，单调递减区间为，单调递增区间为；（Ⅲ）根据（Ⅱ）得到的结论，当，即时，在区间上的最小值为，；当，即时，在区间上的最小值为，试题解析：解：（Ⅰ）当时，，2分故曲线在处切线的斜率为3分（Ⅱ）。4分①当时，由于，故。所以，的单调递减区间为。5分②当时，由，得。在区间上，，在区间上，。所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为。7分综上，当时，的单调递减区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为。8分（Ⅲ）根据（Ⅱ）得到的结论，当，即时，在区间上的最小值为，。10分当，即时，在区间上的最小值为，。12分综上，当时，在区间上的最小值为，当，在区间上的最小值为。13分考点：利用导数求切线斜率，利用导数求单调区间，利用导数求函数最值20、（1）取得极大值，没有极小值（2）见解析（3）见解析【解题分析】

（1）利用导数求得函数的单调性，再根据极值的定义，即可求解函数的极值；（2）由，整理得整理得，设，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解．（3）不妨设，由（1）和由（2），得，利用单调性，即可作出证明．【题目详解】（1）由题意，函数，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，取得极大值，没有极小值;（2）由得整理得，设，则，所以在上单调递增，所以，即，从而有．（3）证明：不妨设，由（1）知，则，由（2）知，由在上单调递减，所以，即，则，所以.【题目点拨】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等