2024届北京海淀外国语实验数学高二第二学期期末联考试题含解析

2024届北京海淀外国语实验数学高二第二学期期末联考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知恒成立，则的取值范围为（）A． B． C． D．2．已知函数，且对任意的，都有恒成立，则的最大值为（）A． B． C． D．3．已知双曲线x2a2-yA．x212-y284．函数的周期，振幅，初相分别是（）A． B． C． D．5．已知，则满足成立的取值范围是（）A． B．C． D．6．已知的分布列为-101设，则的值为（）A．4 B． C． D．17．执行如图的程序框图，如果输入，那么输出的（）A．B．C．D．8．“所有9的倍数都是3的倍数.某数是9的倍数，故该数为3的倍数，”上述推理A．完全正确 B．推理形式不正确C．错误，因为大小前提不一致 D．错误，因为大前提错误9．直三棱柱中，，，、分别为、的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．10．小明同学在做市场调查时得到如下样本数据13610842他由此得到回归直线的方程为，则下列说法正确的是()①变量与线性负相关②当时可以估计③④变量与之间是函数关系A．① B．①② C．①②③ D．①②③④11．下列点不在直线(t为参数)上的是()A．(－1，2) B．(2，－1)C．(3，－2) D．(－3，2)12．将曲线y=sin2x按照伸缩变换后得到的曲线方程为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数的定义域为________.14．在的展开式中系数之和为______________.(结果用数值表示)15．如图，已知四面体的棱平面，且，其余的棱长均为2，有一束平行光线垂直于平面，若四面体绕所在直线旋转.且始终在平面的上方，则它在平面内影子面积的最小值为________.16．在的二项式中，常数项等于_______（结果用数值表示）.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数．（1）求函数在区间上的最大值和最小值；（2）已知，求满足不等式的的取值范围．18．（12分）在数列中，，，设.（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式.19．（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=1，M为PD的中点.（Ⅰ）证明：PB∥平面ACM；（Ⅱ）设直线AM与平面ABCD所成的角为α，二面角M—AC—B的大小为β，求sinα·cosβ的值.20．（12分）已知函数在与时都取得极值．（1）求的值与函数的单调区间；（2）若对,不等式恒成立，求的取值范围．21．（12分）已知集合.（1）当时，求集合；（2）当时，若，求实数的取值范围.22．（10分）已知椭圆：，过点作倾斜角互补的两条不同直线，，设与椭圆交于、两点，与椭圆交于，两点.（1）若为线段的中点，求直线的方程；（2）记，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】分析：先设，再求导求出函数g(x)的单调性和最小值，再数形结合分析得到a的取值范围.详解：设所以当x∈（-∞，-1）时，则函数单调递减.当x∈（-1，+∞）时，，函数单调递增.,当a<0时，y=a(2x-1)单调递减，与题设矛盾.当a=0时，，与矛盾.当a>0时，.直线y=a(2x-1)过点（）.设为曲线上任意一点，则过点的曲线的切线方程为.又因为切线过点（），所以，解得故切线的斜率k=或k=.所以即a∈，故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，考查利用导数研究函数的问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是求出过点（）的切线的斜率k=或k.2、B【解题分析】

先求出导函数，再分别讨论，，的情况，从而得出的最大值【题目详解】由题可得：；（1）当时，则，由于，所以不可能恒大于等于零；（2）当时，则在恒成立，则函数在上单调递增，当时，，故不可能恒有；（3）当时，令，解得：，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，则，对任意的，都有恒成立，即，得，所以；先求的最大值：由，令，解得：，令，解得：，令，解得，则在上所以单调递增，在上单调递减，所以；所以的最大值为；综述所述，的最大值为；故答案选B【题目点拨】本题考查函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，属于中档题。3、D【解题分析】试题分析：因为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为62，所以ca考点：双曲线的性质．4、C【解题分析】

利用求得周期，直接得出振幅为，在中令求得初相.【题目详解】依题意，，函数的振幅为，在中令求得初相为.故选C.【题目点拨】本小题主要考查中所表示的含义，考查三角函数周期的计算.属于基础题.其中表示的是振幅，是用来求周期的，即，要注意分母是含有绝对值的.称为相位，其中称为初相.还需要知道的量是频率，也即是频率是周期的倒数.5、B【解题分析】由题意，函数，满足，所以函数为偶函数，且当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，又，所以，解得或，故选B.6、B【解题分析】

由的分布列，求出，再由，求得.【题目详解】，因为，所以.【题目点拨】本题考查随机变量的期望计算，对于两个随机变量，具有线性关系，直接利用公式能使运算更简洁.7、B【解题分析】分析：由题意结合流程图运行程序即可确定程序的输出结果.详解：结合所给的流程图运行程序如下：首先初始化数据：，第一次循环：，,，此时不满足；第二次循环：，,，此时不满足；第三次循环：，,，此时不满足；一直循环下去，第十次循环：，,，此时满足，跳出循环.则输出的.本题选择B选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．8、A【解题分析】

根据三段论定义即可得到答案.【题目详解】根据题意，符合逻辑推理三段论，于是完全正确，故选A.【题目点拨】本题主要考查逻辑推理，难度不大.9、B【解题分析】

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值.【题目详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设,则、、、、，，、，设异面直线与所成角为，则，异面直线与所成角的余弦值为.故选：B【题目点拨】本题考查了空间向量法求异面直线所成的角，解题的关键是建立恰当的坐标系，属于基础题.10、C【解题分析】

根据数据和回归方程对每一个选项逐一判断得到答案.【题目详解】①变量与线性负相关,正确②将代入回归方程，得到，正确③将代入回归方程，解得，正确④变量与之间是相关关系，不是函数关系，错误答案为C【题目点拨】本题考查了回归方程的相关知识，其中中心点一定在回归方程上是同学容易遗忘的知识点.11、D【解题分析】

先求出直线l的普通方程，再把点的坐标代入检验，满足则在直线l上，否则不在.【题目详解】直线l的普通方程为x＋y－1＝0，因此点(－3，2)的坐标不适合方程x＋y－1＝0.故答案为D【题目点拨】(1)本题主要考查参数方程和普通方程的互化，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)参数方程消参常用的方法有三种:加减消参、代入消参、恒等式消参法.12、B【解题分析】

根据反解,代入即可求得结果.【题目详解】由伸缩变换可得:代入曲线,可得:,即.故选:.【题目点拨】本题考查曲线的伸缩变换,属基础题,难度容易.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】的定义域是,,故得到函数定义域为取交集，故答案为.14、1【解题分析】

令求解展开式的系数和即可.【题目详解】令可得展开式的系数和为：.故答案为：1．【题目点拨】本题主要考查二项式展开式的系数和的计算，属于基础题.15、【解题分析】

在四面体中找出与垂直的面，在旋转的过程中在面内的射影始终与垂直求解.【题目详解】和都是等边三角形，取中点，易证，，即平面，所以.设在平面内的投影为，则在四面体绕着旋转时，恒有.因为平面，所以在平面内的投影为.因此，四面体在平面内的投影四边形的面积要使射影面积最小，即需最短；在中，，，且边上的高为，利用等面积法求得，边上的高，且，所以旋转时，射影的长的最小值是.所以【题目点拨】本题考查空间立体几何体的投影问题，属于难度题.16、140【解题分析】

写出二项展开式的通项，由的指数为0求得r值，则答案可求．【题目详解】由得由6-3r=0，得r=1．

∴常数项等于,故答案为140.【题目点拨】本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)最小值为-1,最大值为8;(2)【解题分析】

(1)根据二次函数在区间上的单调性可求得答案;(2)根据为增函数可将不等式化为,再解一元二次不等式可得到答案.【题目详解】(1)因为在上递减,在上递增,所以时,取得最小值,最小值为,时,取得最大值,最大值为.(2)因为为增函数,且,所以不等式可化为,所以,即,所以,所以或,所以不等式的解集为.【题目点拨】本题考查了利用二次函数的单调性求最值,解一元二次不等式,利用指数函数的单调性解不等式,属于基础题.18、（1）见证明；（2）【解题分析】

（1）结合已知条件，运用等比数列的定义进行证明（2）先求出数列的通项公式，然后再求出数列的通项公式【题目详解】（1）证明：因为，所以，所以，因为，所以，故数列是等比数列，首项是2，公比是2.（2）解：由（1）可知，数列是等比数列，首项，公比，所以.因为，所以，则.【题目点拨】本题考查了证明数列是等比数列，求数列通项公式，结合定义即可求出结果，较为基础19、（1）证明见解析（2）【解题分析】试题分析：（1）连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，由O为AC的中点，知O为BD的中点，再由M为PD的中点，知PB∥MO，由此能够证明PB∥平面ACM．（2）取DO中点N，连接MN，AN，由M为PD的中点，知MN∥PO，且MN=PO=1，由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，故∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角，由此能求出直线AM与平面ABCD所成角的正切值．（1）证明：连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，∵O为AC的中点，∴O为BD的中点，又∵M为PD的中点，∴PB∥MO，∵PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，∴PB∥平面ACM．（2）解：取DO中点N，连接MN，AN，∵M为PD的中点，∴MN∥PO，且MN=PO=1，由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，∴∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角，在Rt△DAO中，∵AD=1，AO=，∠DAO=90°，∴DO=，∴AN=，在Rt△ANM中，tan∠MAN===，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．20、解：（1），递增区间是（﹣∞，）和（1，+∞），递减区间是（，1）．（1）【解题分析】

（1）求出f（x），由题意得f（）＝0且f（1）＝0联立解得与b的值，然后把、b的值代入求得f（x）及f（x），讨论导函数的正负得到函数的增减区间；（1）根据（1）函数的单调性，由于x∈[﹣1，1]恒成立求出函数的最大值为f（1），代入求出最大值，然后令f（1）＜c1列出不等式，求出c的范围即可．【题目详解】（1），f（x）＝3x1+1ax+b由解得，f（x）＝3x1﹣x﹣1＝（3x+1）（x﹣1），函数f（x）的单调区间如下表：x（﹣∞,）（，1）1（1，+∞）f（x）+0﹣0+f（x）极大值极小值所以函数f（x）的递增区间是（﹣∞，）和（1，+∞），递减区间是（，1）．（1）因为，根据（1）函数f（x）的单调性，得f（x）在（﹣1，）上递增，在（，1）上递减，在（1，1）上递增，所以当x时，f（x）为极大值，而f（1）＝，所以f（1）＝1+c为最大值．要使f（x）＜对x∈[﹣1，1]恒成立，须且只需＞f（1）＝1+c．解得c＜﹣1或c＞1．【题目点拨】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，属于中档题．21、（1）；（2）.【解题分析】分析：（1）解一次不等式得集合A，（2）先根据A∩B=B得BA，再根据k分类解集合A，最后根据数轴确定实数的取值范围.详解：（1）当k＝1时，A＝{x|0≤x＋1≤5}＝{x|－1≤x≤4}；（2）因为A∩B=B，所以BA，由0≤kx＋1≤5，得－1≤kx≤4，①当k=0时，A=R，满足BA成立；②