安徽省合肥九中2024届高二数学第二学期期末预测试题含解析

安徽省合肥九中2024届高二数学第二学期期末预测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，满足，且函数无零点，则（）A．方程有解 B．方程有解C．不等式有解 D．不等式有解2．已知，则（）A． B．3 C． D．3．在极坐标系中，为极点，曲线与射线的交点为，则（）A． B． C． D．4．设，若是的等比中项，则的最小值为（）A．8 B． C．1 D．45．直线的一个方向向量是（）．A． B． C． D．6．已知：，且，，则A． B． C． D．7．设x0是函数f（x）＝lnx+x﹣4的零点，则x0所在的区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）8．已知复数的共扼复数在复平面内对应的点为，则（）A． B． C． D．9．已知函数，若函数在上为增函数，则正实数a的取值范围为（）A． B． C． D．10．在同一平面直角坐标系中，曲线按变换后的曲线的焦点坐标为（）A． B． C． D．11．已知，则的值是A． B． C． D．12．已知，，则等于（）A． B． C． D．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在极坐标系中，已知两点，，则线段的长度为__________.14．设函数,=9,则15．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X，则P(X≤6)＝________.16．随机变量，变量，则__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在直角梯形中，，，，为的中点，如图1．将沿折到的位置，使，点在上，且，如图2．（1）求证：⊥平面；（2）求二面角的正切值．18．（12分）为调查某小区居民的“幸福度”．现从所有居民中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶），若幸福度分数不低于8.5分，则称该人的幸福度为“幸福”．（1）求从这16人中随机选取3人，至少有2人为“幸福”的概率；（2）以这16人的样本数据来估计整个小区的总体数据,若从该小区（人数很多）任选3人，记表示抽到“幸福”的人数，求的分布列及数学期望和方差．19．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求和的直角坐标方程；（2）已知直线与轴交于点，且与曲线交于，两点，求的值.20．（12分）某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为160人、120人、人.为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人到前排就坐，其中高二代表队有6人.（1）求的值；（2）把到前排就坐的高二代表队6人分别记为，，，，，，现随机从中抽取2人上台抽奖.求或没有上台抽奖的概率.（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个之间的均匀随机数，，并按如图所示的程序框图执行.若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率.21．（12分）设函数（1）当时，求函数在上的值域；（2）若不论取何值，对任意恒成立，求的取值范围。22．（10分）2018年俄罗斯世界杯激战正酣，某校工会对全校教职工在世界杯期间每天收看比赛的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：收看时间（单位：小时）14282012(1)若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“球迷”，否则定义为“非球迷”，请根据频数分布表补全列联表：男女合计球迷40非球迷合计并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“球迷”与“性别”有关；(2)在全校“球迷”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“球迷”中选取2名世界杯知识讲座.记其中女职工的人数为，求的分布列与数学期望.附表及公式：0.150.100.050.0252.0722.7063.8415.024.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

首先判断开口方向向上，得到恒成立，依次判断每个选项得到答案.【题目详解】函数无零点，，即恒成立A.方程有解.设这与无零点矛盾，错误B.方程有解.恒成立，错误C.不等式有解.恒成立，正确D.不等式有解.即，由题意：恒成立，错误答案选C【题目点拨】本题考查了函数恒成立问题，零点问题，函数与方程关系，综合性强，技巧高深，意在考查学生解决问题的能力.2、D【解题分析】

根据正弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，化为齐次式，即可求解，得到答案．【题目详解】由题意，可得，故选D．【题目点拨】本题主要考查了正弦的倍角公式，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3、B【解题分析】分析：将两方程联立求出，再根据的几何意义即可得到OA的值.详解：由题可得：，由的几何意义可得，故选B.点睛：考查极坐标的定义和的几何意义：表示原点到A的距离，属于基础题.4、D【解题分析】∵是的等比中项，∴3=3a•3b=3a+b，∴a+b=1．a＞2，b＞2．∴==2．当且仅当a=b=时取等号．故选D．点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误5、D【解题分析】

先求得直线的斜率，由此求得直线的方向向量.【题目详解】直线的斜率为，故其方向向量为.故选：D【题目点拨】本小题主要考查直线的方向向量的求法，属于基础题.6、C【解题分析】分析：由题目条件，得随机变量x的均值和方差的值，利用即可得出结论．．详解：由题意，

故选：C．点睛：本题主要考查正态分布的参数问题，属于基础题，正态分布涉及到连续型随机变量的分布密度，是概率统计中最重要的一种分布，也是自然界最常见的一种分布．7、C【解题分析】

由函数的解析式可得，再根据函数的零点的判定定理，求得函数的零点所在的区间，得到答案．【题目详解】因为是函数的零点，由，所以函数的零点所在的区间为，故选C．【题目点拨】本题主要考查了函数的零点的判定定理的应用，其中解答中熟记零点的存在定理，以及对数的运算性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8、A【解题分析】

化简得到，故，则，，验证得到答案.【题目详解】因为，所以z的共扼复数为，则，.故满足.故选：.【题目点拨】本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.9、B【解题分析】

求f（x）的导数f′（x），利用f′（x）判定f（x）的单调性，求出f（x）的单调增区间，即得正实数a的取值范围．【题目详解】∵f（x）lnx（a＞0），∴f′（x）（x＞0），令f′（x）＝0，得x，∴函数f（x）在（0，]上f′（x）≤0，在[，+∞）上f′（x）≥0，∴f（x）在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数；∵函数f（x）在区间[1，+∞）内是增函数，∴1，又a＞0，∴a≥1，∴实数a的取值范围是[1，+∞）；故选：B．【题目点拨】本题考查了利用导数来研究函数的单调性问题，解题时应根据导数的正负来判定函数的单调性，利用函数的单调区间来解答问题，是中档题．10、D【解题分析】

把伸缩变换的式子变为用表示，再代入原方程即可求出结果.【题目详解】由可得，将其代入可得：，即故其焦点为：.故选：D.【题目点拨】本题考查的是有关伸缩变换后曲线方程的求解问题，涉及到的知识点有伸缩变换规律对应点的坐标之间的关系，属于基础题11、D【解题分析】，,又,故选D.12、A【解题分析】

根据和角的范围可求出=—，再根据两角和与差的正弦求出的值，进而求出，代入求出结果即可.【题目详解】因为，，=—，所以==，所以，所以=.故选A.【题目点拨】本题考查三角函数给值求角，两角和与差的正弦，诱导公式的应用，特殊角的三角函数值，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4【解题分析】

可将点P和点Q先化为直角坐标系下的点，从而利用距离公式求解.【题目详解】根据，可将化为直角坐标点为，将化为直角坐标点为，从而.【题目点拨】本题主要考查极坐标点和直角坐标点的互化，距离公式，难度不大.14、1【解题分析】试题分析：因为，，所以，，而，=9，所以，6+2a+1=9,a=1。考点：导数的计算点评：简单题，多项式的导数计算公式要求熟练掌握。15、【解题分析】根据题意可知取出的4只球中红球个数可能为4，3，2，1个，黑球相应个数为0，1，2，3个，其分值X相应为4，6，8，1．∴.16、.【解题分析】分析：先根据二项分布得,再根据，得详解：因为，所以，因为，所以点睛：二项分布)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【解题分析】试题分析：（1）证明：在图中，由题意可知，为正方形，所以在图中，，四边形ABCD是边长为2的正方形，因为，ABBC，所以BC平面SAB，又平面SAB，所以BCSA，又SAAB，所以SA平面ABCD，（2）在AD上取一点O，使，连接EO．因为，所以EO//SA所以EO平面ABCD，过O作OHAC交AC于H，连接EH，则AC平面EOH，所以ACEH．所以为二面角E—AC—D的平面角，在中，…11分，即二面角E—AC—D的正切值为考点：线面垂直的判定及二面角求解点评：本题中第二问求二面角采用的是作角求角的思路，在作角时常用三垂线定理法；此外还可用空间向量的方法求解；以A为原点AB,AD,AS为x,y,z轴建立坐标系，写出各点坐标，代入向量计算公式即可18、（1）；（2）的分布列见解析；数学期望为；方差为【解题分析】

首先由茎叶图统计出“幸福”的人数和其他人数，再计算概率．由茎叶图知任选一人，该人幸福度为“幸福”的概率为，知道在该小区中任选一人该人幸福度为“幸福”的概率为，再计算即可．【题目详解】(1)由茎叶图可知，抽取的16人中“幸福”的人数有12人，其他的有4人；记“从这16人中随机选取3人，至少有2人是“幸福”，”为事件.由题意得(2)由茎叶图知任选一人，该人幸福度为“幸福”的概率为，的可能取值为0,1,2,3,显然则；；；；所以的分布列为0123【题目点拨】本题考查茎叶图、样本估计总体、分布列、数学期望，属于基础题．19、（1）直线的直角坐标方程为，的普通方程；（2）.【解题分析】

（1）利用将直线的极坐标方程转化为直角坐标方程.利用将曲线的参数方程转化为直角坐标方程.（2）先求得点的坐标，写出直线的参数方程并代入的直角坐标方程，写出韦达定理，利用直线参数的几何意义求解出所要求的表达式的值.【题目详解】解：（1）因为直线的极坐标方程为，所以直线的直角坐标方程为.因为曲线的参数方程为（为参数），所以曲线的普通方程.（2）由题可知，所以直线的参数方程为，（为参数），代入，得.设，两点所对应的参数分别为，，则，..【题目点拨】本小题主要考查极坐标方程、参数方程转化为直角坐标方程，考查直线参数方程的几何意义，属于中档题.20、（1）160；（2）；（3）【解题分析】本题考查概率与统计知识，考查分层抽样，考查概率的计算，确定概率的类型是关键．（1）根据分层抽样可得故可求n的值；（2）求出高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件，确定a和b至少有一人上台抽奖的基本事件，根据古典概型的概率公式，可得a和b至少有一人上台抽奖的概率（3）确定满足0≤x≤1，0≤y≤1点的区域，由条件得到的区域为图中的阴影部分，计算面积，可求该代表中奖的概率．解：（Ⅰ）由题意得，解得.…………4分（Ⅱ）从高二代表队6人中随机抽取2人的所有基本事件如下：(a,b)、(a,c)、(a,d)、(a,e)(a,f)、(b,c)(b,d)(b,e)、(b,f)、(c,d)、(c,e)、(c,f)、(d,e)、(d,f)共15种………6分设“高二代表队中a和b至少有一人上台抽奖”为事件，其中事件的基本事件有9种.则.…………9分（Ⅲ）由已知，可得，点在如图所示的正方形OABC内，由条件，得到区域为图中的阴影部分.由，令得，令得.∴设“该运动员获得奖品”为事件则该运动员获得奖品的概率……………14分21、（1）；（2）【解题分析】

（1）首先判断出为上的减函数，进而可得其值域；（2）易知的最大值为2，原题等价于对任意恒成立，根据分离参数思想可得任意恒成立，求出两端最值即可.【题目详解】解：（1）与在上均为减函数，在上为减函数，的值域为（2）易知的最大值为2.由题意可知，即对任意恒成立，即任意恒成立。设，，，，，【题目点拨】本题主要考查了函数值域的求法，不等式恒成立问题，分离参数求最值是解题的关键，该题有一定难度.22、（1）有（2）见解析【解题分析】分析：（1）根据题