2024届山东省惠民县第二中学高二数学第二学期期末统考试题含解析

2024届山东省惠民县第二中学高二数学第二学期期末统考试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数的单调增区间为（）A． B．C． D．2．已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．3．定义在上的函数，满足为的导函数，且，若，且，则有（）A． B．C． D．不确定4．已知平面α与平面β相交,a是α内的一条直线,则（）A．在β内必存在与a平行的直线 B．在β内必存在与a垂直的直线C．在β内必不存在与a平行的直线 D．在β内不一定存在与a垂直的直线5．已知抛物线上一动点到其准线与到点M（0，4）的距离之和的最小值为，F是抛物线的焦点，是坐标原点，则的内切圆半径为A． B． C． D．6．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，骰子朝上的面的点数分别为，，则满足的概率为（）A． B． C． D．7．已知函数，若、，，使得成立，则的取值范围是（）．A． B． C． D．或8．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为.则在下雨条件下吹东风的概率为（）A． B． C． D．9．已知命题,；命题若，则，下列命题为真命题的是（）A． B． C． D．10．若函数f(x)=x2lnx与函数A．(-∞,1e2-1e11．若等比数列的各项均为正数，，，则（）A． B． C．12 D．2412．设,则()A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知非零向量，，满足：，且不等式恒成立，则实数的最大值为__________.14．设函数，若，则实数的取值范围是______.15．，，则__________.16．已知命题，命题.若命题是的必要不充分条件，则的取值范围是____；三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切x>0，y>0都有f＝f(x)－f(y)，当x>1时，有f(x)>0。(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性并证明；(3)若f(6)＝1，解不等式f(x＋3)－f<2；(4)若f(4)＝2，求f(x)在[1,16]上的值域。18．（12分）某饮料公司根据市场调查数据分析得到以下结果：如果某款饮料年库存积压率低于千分之一，则该款饮料为畅销产品，可以继续大量生产.如果年库存积压率高于千分之一，则说明需要调整生产计划.现公司2013—2018年的某款饮料生产，年销售利润及年库存积压相关数据如下表所示：年份201320142015201620172018年生产件数（千万件）3568911年销售利润（千万元）2240486882100年库存积压件数（千件）295830907580注：（1）从公司2013—2018年的相关数据中任意选取2年的数据，求该款饮料这2年中至少有1年畅销的概率.（2）公司根据上表计算出年销售利润与年生产件数的线性回归方程为.现公司计划2019年生产11千万件该款饮料，且预计2019年可获利108千万元.但销售部门发现，若用预计的2019年的数据与2013—2018年中畅销年份的数据重新建立回归方程，再通过两个线性回归方程计算出来的2019年年销售利润误差不超过4千万元，该款饮料的年库存积压率可低于千分之一.如果你是决策者，你认为2019年的生产和销售计划是否需要调整？请说明理由.19．（12分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球3次均未命中的概率为，甲投球未命中的概率恰是乙投球未命中的概率的2倍．（Ⅰ）求乙投球的命中率；（Ⅱ）若甲投球１次，乙投球２次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望．20．（12分）已知函数f(x)＝alnx＋(a∈R)．(1)当a＝1时，求f(x)在x∈[1，＋∞)内的最小值；(2)若f(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(3)求证ln(n＋1)>(n∈N*)．21．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线和曲线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于,两点，求.22．（10分）平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F，过F的动直线l交于M、N两点.（1）若l垂直于x轴，且线段MN的长为1，求的方程；（2）若，求线段MN的中点P的轨迹方程；（3）求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

先求出函数的定义域，然后求出函数的导函数，接着求当导函数大于零时，的取值范围，结合函数的定义域，最后写出单调增区间.【题目详解】函数的定义域为，，当时，函数单调递增，所以有或，而函数的定义域为，所以当时，函数单调递增，故本题选D.【题目点拨】本题考查了利用导数求函数单调增区间问题，解题的关系是结合定义域，正确求解导函数大于零这个不等式.2、D【解题分析】

由变形可得,可知函数在为增函数,由恒成立,求解参数即可求得取值范围.【题目详解】,即函数在时是单调增函数.则恒成立..令,则时,单调递减,时单调递增.故选:D.【题目点拨】本题考查构造函数,借助单调性定义判断新函数的单调性问题,考查恒成立时求解参数问题,考查学生的分析问题的能力和计算求解的能力,难度较难.3、A【解题分析】

函数满足，可得.由，易知，当时，，单调递减.由，则.当,则.当,则,，，即.故选A.4、B【解题分析】分析：由题意可得，是内的一条直线，则可能与平面和平面的交线相交，也有可能不相交，然后进行判断详解：在中，当与平面和平面的交线相交时，在内不存在与平行的直线，故错误在中，平面和平面相交，是内一条直线，由线面垂直的性质定理得在内必存在与垂直的直线，故正确在中，当与平面和平面的交线平行时，在内存在与平行的直线，故错误在中，由线面垂直的性质定理得在内必存在与垂直的直线，故错误故选点睛：本题主要考查的是空间中直线与平面之间的位置关系、直线与直线的位置关系，需要进行分类讨论，将可能出现的情况列举出来，取特例来判断语句的正确性5、D【解题分析】

由抛物线的定义将到准线的距离转化为到焦点的距离，到其准线与到点M（0，4）的距离之和的最小值，也即为最小，当三点共线时取最小值．所以，解得，由内切圆的面积公式，解得．故选D．6、B【解题分析】

先化简，得到或.利用列举法和古典概型概率计算公式可计算出所求的概率.【题目详解】由，有，得或，则满足条件的为，，，，，，，，，所求概率为．故选B.【题目点拨】本小题主要考查对数运算，考查列举法求得古典概型概率有关问题，属于基础题.7、B【解题分析】

对的范围分类讨论，当时，函数在上递增，在上递减，即可判断：、，，使得成立.当时，函数在上单调递增，即可判断：一定不存在、，，使得成立，问题得解.【题目详解】当时，，函数在上递增，在上递减，则：、，，使得成立.当时，，函数在上递增，在也递增，又，所以函数在上单调递增，此时一定不存在、，，使得成立.故选：B【题目点拨】本题主要考查了分类思想及转化思想，还考查了函数单调性的判断，属于难题。8、C【解题分析】

在下雨条件下吹东风的概率=既吹东风又下雨的概率下雨的概率【题目详解】在下雨条件下吹东风的概率为，选C【题目点拨】本题考查条件概率的计算，属于简单题．9、B【解题分析】解：命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命题；取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题．∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题．故选B．10、B【解题分析】

通过参数分离得到a=lnx2x-x2lnx【题目详解】若函数f(x)=x2lnx2ln设t=t=lnxx⇒t'=1-lnx画出图像：a=t2-

a=t2-t1t2=故答案为B【题目点拨】本题考查了函数的零点问题，参数分离换元法是解题的关键.11、D【解题分析】

由，利用等比中项的性质，求出，利用等比数列的通项公式即可求出．【题目详解】解：数列是等比数列，各项均为正数，，所以，所以．所以，故选D．【题目点拨】本题考查了等比数列的通项公式，等比中项的性质，正确运算是解题的关键，属于基础题．12、C【解题分析】分析：由题意将替换为，然后和比较即可.详解：由题意将替换为，据此可得：.本题选择C选项.点睛：本题主要考查数学归纳法中由k到k+1的计算方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4.【解题分析】

法一：采用数形结合，可判断的终点是在以AB为直径的圆上，从而分离参数转化成恒成立问题即可得到答案.法二：（特殊值法）可先设，，，利用找出的轨迹，从而将不等式恒成立问题转化为函数问题求解.【题目详解】法一：作出相关图形，设,，由于，所以，且这两个向量共起点，所以的终点是在以AB为直径的圆上，可设，所以由图可知，，所，等价于,,所以，答案为4.法二：（特殊值法）不妨设，，，则，，，由于可得整理得，可得圆的参数方程为：，则相当于恒成立，即求得，即求的最大值即可，，所以，因此.故答案为4.【题目点拨】本题主要考查向量的相关运算，参数方程的运用，不等式恒成立问题，意在考查学生的综合转化能力，逻辑推理能力，计算能力，难度较大.14、【解题分析】

由题意画出图形，结合可得满足的实数m的取值范围．【题目详解】作出函数的图象如图，

由图可知，满足的实数m的取值范围是．

故答案为：．【题目点拨】本题考查分段函数的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．15、2【解题分析】分析：由，可得，直接利用对数运算法则求解即可得，计算过程注意避免计算错误.详解：由，可得，则，故答案为.点睛：本题主要考查指数与对数的互化以及对数的运算法则，意在考查对基本概念与基本运算掌握的熟练程度.16、【解题分析】

求得命题，又由命题是的必要不充分条件，所以是的真子集，得出不等式组，即可求解，得到答案．【题目详解】由题意，命题，命题.又由命题是的必要不充分条件，所以是的真子集，设，则满足，解得，经验证当适合题意，所以的取值范围是．【题目点拨】本题主要考查了分式不等式的求解，以及利用充要条件求解参数问题，其中解答中正确求解集合A，再根集合的包含关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)1,(2)见解析(3)(4)【解题分析】

（1）利用赋值法令x=y，进行求解即可．（2）利用抽象函数的关系，结合函数单调性的定义进行证明即可．（3）利用函数单调性的性质将不等式进行转化求解即可．（4）根据（2）的结论，将值域问题转化为求最值，根据f（4）=2，结合f（）=f（x）﹣f（y），赋值x=16，y=4，代入即可求得f（16），从而求得f（x）在[1，16]上的值域【题目详解】（1）令x=y，f（1）=f（）=f（x）﹣f（x）=1，x＞1（2）设1＜x1＜x2，则由f（）=f（x）﹣f（y），得f（x2）﹣f（x1）=f（），∵＞1，∴f（）＞1．∴f（x2）﹣f（x1）＞1，即f（x）在（1，+∞）上是增函数（3）∵f（6）=f（）=f（36）﹣f（6），∴f（36）=2，原不等式化为f（x2+3x）＜f（36），∵f（x）在（1，+∞）上是增函数，∴解得1＜x＜．故原不等式的解集为（1，）（4）由（2）知f（x）在[1，16]上是增函数．∴f（x）min=f（1）=1，f（x）max=f（16）．∵f（4）=2，由f（）=f（x）﹣f（y），知f（）=f（16）﹣f（4），∴f（16）=2f（4）=4，∴f（x）在[1，16]上的值域为[1，4]【题目点拨】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法以及结合函数单调性的定义将不等式进行转化是解决本题的关键，属于中档题．18、（1）；（2）不需要调整.【解题分析】

（1）计算出每年的年度库存积压率，可知13，15，17，18年畅销，14，16年不畅销；列举出所有年份中任取2年的取法共15种，其中2年均为不畅销的取法仅有1种，故根据古典型及对立事件的概率可求得结果；2）数据重组后依据公式计算出新的回归直线方程，并求出2019年的年销售利润预估值；再计算出原回归直线方程的2019年的年销售利润预估值，可知两值相差3.66千万元，由此可得结论【题目详解】（1）公司年年度存积压率分别为：，，，，，则该饮品在13，15，17，18年畅销记为，，，，14，16年不畅销记为，任取2年的取法有：，，，，，，，，，，，，，，共15种.其中2年均不畅销的取法是，共1种∴该款饮料这年中至少有1年畅销的概率为：（2）由题意得，2019年数据与2013，2015，2017，2018年数据重组如下表：年份20132015201720182019年生产件数（千万件）3691111年销售利润（千万元）224882100108经计算得，∵，∴∴当时，，此时预估年销售利润为103.26千万元将代入中得，，此时预估年销售利润为99.6千万元∵，故认为2019年的生产和销售计划不需要调整.【题目点拨】本题考查了概率的计算，回归方程，意在考查学生的计算能力和解决问题的能力.19、（1）（2）分布列见解析，【解题分析】【试题分析】（1）依据题设条件运用对立事件及独立事件的概率公式建立方程求解；（2）先求出，，的概率，再写出概率分布表，运用数学期望的计算公式计算：解：设“甲投球一次命中”为事件，“乙投球一次命中”为事件.（Ⅰ）由题意得：，解得，所以乙投球的命中率为．（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知，甲投球的命中率为，则有，，，，可能的取值为0，1,2,3，故，，，，的分布列为：0123的数学期望．点睛：随机变量的概率及分布是高中数学中的选修内容，也是高考考查的重要考点。解答本题的第一问时，充分依据题设条件借助方程思想，运用对立事件及独立事件的概率公式建立方程，然后通过解方程求出其概率是；解答第二问时，先分别求出，，的概率，再写出概率分布表，然后运用数学期望的计算公式求出使得问题获解。20、（1）最小值为f(1)＝1.（2）a<.（3）见解析【解题分析】试题分析：（1）可先求f′（x），从而判断f（x）在x∈[1，+∞）上的单调性，利用其单调性求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（2）求h′（x），可得，若f（x）存在单调递减区间，需h′（x）＜0有正数解．从而转化为：有x＞0的解．通过对a分a=0，a＜0与当a＞0三种情况讨论解得a的取值范围；（3）可用数学归纳法予以证明．当n=1时，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1⇒，即时命题成立；设当n=k时，命题成立，即成立，再去证明n=k+1时，成立即可（需用好归纳假设）．试题解析：（1），定义域为．在上是增函数．．（2）因为因为若存在单调递减区间，所以有正数解．即有的解当时，明显成立．②当时，开口向下的抛物线，总有的解；③当时，开口向上的抛物线，即方程有正根．因为，所以方程有两正根．当时，；，解得．综合①②③知：．或：有的解即有的解，即有的解，的最大值，（3）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当时，，即．令，则有，．，．(法二)当时，．，，即时命题成立．设当时，命题成立，即．时，．根据（Ⅰ）的结论，当时，，即．令，则有，则有，即时命题也成立．因此，由数学归纳法可知不等式成立．考点：1．利用导数求闭区间上函数的最值