2024届四川省成都航天中学数学高二下期末质量检测模拟试题含解析

2024届四川省成都航天中学数学高二下期末质量检测模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知实数满足，则下列说法错误的是（）A． B．C． D．2．设实数，则下列不等式一定正确的是()A． B．C． D．3．定义运算，，例如，则函数的值域为（）A． B． C． D．4．函数图象交点的横坐标所在区间是()A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（1，5）5．命题“”的否定是（）A． B．C． D．6．若角为三角形的一个内角，并且，则（）A． B． C． D．7．设则（）A．都大于2 B．至少有一个大于2C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于28．已知将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则在上的值域为（）A． B． C． D．9．推理“①圆内接四边形的对角和为；②等腰梯形是圆内接四边形；③”中的小前提是（）A．① B．② C．③ D．①和②10．已知函数，若方程有五个不同的实数根，则的取值范围是（）A．（0，+∞） B．（0，1） C．（－∞，0） D．（0，）11．设有个不同颜色的球，放入个不同的盒子中，要求每个盒子中至少有一个球，则不同的放法有（）A．种 B．种C．种 D．种12．函数（，e是自然对数的底数，）存在唯一的零点，则实数a的取值范围为()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在复数范围内，方程的根为________.14．如图，矩形中曲线的方程分别为，，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为____.15．若一组数据x1，x2，x3，…，xn的总体方差为3，则另一组数据2x1，2x2，2x3，…，2xn的总体方差为_____．16．北纬圈上有A，B两点，该纬度圈上劣弧长为（R为地球半径），则A，B两点的球面距离为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数/(x.（1）当时，求在最小值；（2）若存在单调递减区间，求的取值范围；（3）求证：.18．（12分）在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是:每场投6个球,至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖;否则不获奖.已知教师甲投进每个球的概率都是.(Ⅰ)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X,求X的分布列及数学期望；(Ⅱ)求教师甲在一场比赛中获奖的概率.19．（12分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为，，……，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．（1）根据频率分布直方图，求重量超过克的产品数量．（2）在上述抽取的件产品中任取件，设为重量超过克的产品数量，求的分布列．（3）从流水线上任取件产品，求恰有件产品合格的重量超过克的概率．20．（12分）如图，是圆柱的底面直径且，是圆柱的母线且，点是圆柱底面面圆周上的点.（1）求证：平面；（2）当三棱锥体积最大时，求二面角的大小；（结果用反三角函数值表示）（3）若，是的中点，点在线段上，求的最小值.21．（12分）设且，函数.（1）当时，求曲线在处切线的斜率；（2）求函数的极值点．22．（10分）已知函数的定义域为.（1）求实数的取值范围；（2）设实数为的最大值，若实数满足，求的最小值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

设，证明单调递增，得到，构造函数根据单调性到正确，取，，则不成立，错误，得到答案.【题目详解】设，则恒成立，故单调递增，，即，即，.取，，则不成立，错误；设，则恒成立，单调递增，故，就，正确；同理可得：正确.故选：.【题目点拨】本题考查了根据函数的单调性比较式子大小，意在考查学生对于函数性质的综合应用.2、D【解题分析】

对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【题目详解】解：由于a＞b＞0，，A错；当0＜c＜1时，ca＜cb；当c＝1时，ca＝cb；当c＞1时，ca＞cb，故ca＞cb不一定正确，B错；a＞b＞0，c＞0，故ac﹣bc＞0，C错．，D对；故选D．【题目点拨】本题考查不等式的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．3、D【解题分析】分析：欲求函数y=1*2x的值域，先将其化成分段函数的形式，再画出其图象，最后结合图象即得函数值的取值范围即可．详解：当1≤2x时，即x≥0时，函数y=1*2x=1当1＞2x时，即x＜0时，函数y=1*2x=2x∴f（x）=由图知，函数y=1*2x的值域为：（0，1]．故选D．点睛：遇到函数创新应用题型时，处理的步骤一般为：①根据“让解析式有意义”的原则，先确定函数的定义域；②再化简解析式，求函数解析式的最简形式，并分析解析式与哪个基本函数比较相似；③根据定义域和解析式画出函数的图象④根据图象分析函数的性质．4、C【解题分析】

试题分析：设的零点在区间与图象交点的横坐标所在区间是，故选C．考点：曲线的交点．【方法点晴】本题考曲线的交点，涉及数形结合思想、函数与方程思想和转化化归思想，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、综合程度高，属于较难题型．5、A【解题分析】

根据全称命题的否定形式书写.【题目详解】根据全称命题的否定形式可知“”的否定是“”.故选A.【题目点拨】本题考查全称命题的否定形式，属于简单题型.6、A【解题分析】分析：利用同角关系，由正切值得到正弦值与余弦值，进而利用二倍角余弦公式得到结果.详解：∵角为三角形的一个内角，且，∴∴故选：A点睛：本题考查了同角基本关系式，考查了二倍角余弦公式，考查了计算能力，属于基础题.7、C【解题分析】

由基本不等式，a，b都是正数可解得．【题目详解】由题a，b，c都是正数，根据基本不等式可得，若，，都小于2，则与不等式矛盾，因此，至少有一个不小于2；当，，都等于2时，选项A，B错误，都等于3时，选项D错误．选C.【题目点拨】本题考查了基本不等式，此类题干中有多个互为倒数的项，一般都可以先用不等式求式子范围，再根据题目要求解题．8、B【解题分析】解析：因，故，因，故，则，所以，应选答案B．9、B【解题分析】

由演绎推理三段论可知,①是大前提；②是小前提；③是结论．【题目详解】由演绎推理三段论可知,①是大前提；②是小前提；③是结论，故选B．【题目点拨】本题主要考查演绎推理的一般模式．10、D【解题分析】

由方程的解与函数图象的交点关系得：方程有五个不同的实数根等价于的图象与的图象有5个交点，作图可知，只需与曲线在第一象限有两个交点即可。利用导数求过某点的切线方程得：过原点的直线与相切的直线方程为，即所求的取值范围为，得解．【题目详解】设，则的图象与的图象关于原点对称，方程有五个不同的实数根等价于函数的图象与的图象有5个交点，由图可知，只需与曲线在第一象限有两个交点即可，设过原点的直线与切于点，，由，则过原点的直线与相切，，又此直线过点，所以，所以，即（e），即过原点的直线与相切的直线方程为，即所求的取值范围为，故选．【题目点拨】本题主要考查了方程的解与函数图象的交点个数问题的关系应用及利用导数求切线方程。11、D【解题分析】

要求每个盒子中至少有一个球，可将两个颜色的球捆绑在一起．再全排列．【题目详解】将两个颜色的球捆绑在一起，再全排列得选D【题目点拨】将两个颜色的球捆绑在一起．再全排列．本题为选择题还可取特值：令n=1,只有一种放法，排除AB，令n=2有6中放法，选D12、A【解题分析】

函数，是自然对数的底数，存在唯一的零点等价于函数与函数只有唯一一个交点，由，，可得函数与函数唯一交点为，的单调，根据单调性得到与的大致图象，从图形上可得要使函数与函数只有唯一一个交点，则，即可解得实数的取值范围．【题目详解】解：函数，是自然对数的底数，存在唯一的零点等价于：函数与函数只有唯一一个交点，，，函数与函数唯一交点为，又，且，，在上恒小于零，即在上为单调递减函数，又是最小正周期为2，最大值为的正弦函数，可得函数与函数的大致图象如图：要使函数与函数只有唯一一个交点，则，，，，解得，又，实数的范围为．故选：．【题目点拨】本题主要考查了零点问题，以及函数单调性，解题的关键是把唯一零点转化为两个函数的交点问题，通过图象进行分析研究，属于难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据复数范围求根公式求解【题目详解】因为，所以方程的根为故答案为：【题目点拨】本题考查复数范围解实系数一元二次方程，考查基本分析求解能力，属基础题.14、【解题分析】

运用定积分可以求出阴影部分的面积，再利用几何概型公式求出在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率.【题目详解】解:阴影部分的面积为，故所求概率为【题目点拨】本题考查了几何概型，正确运用定积分求阴影部分的面积是解题的关键.15、12【解题分析】

先设这组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，则另一组数据的平均数为，再根据已知方差以及方差公式可得答案.【题目详解】设这组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，则另一组数据2x1，2x2，2x3，…，2xn的平均数为，依题意可得，所以所求方差.故答案为：.【题目点拨】本题考查了利用方差公式求一组数据的方差，关键是根据两组数据的平均数的关系解决，属于基础题.16、【解题分析】

先求出北纬圈所在圆的半径，是、两地在北纬圈上对应的圆心角，得到线段的长，设地球的中心为，解三角形求出的大小，利用弧长公式求、这两地的球面距离．【题目详解】解：北纬圈所在圆的半径为，它们在纬度圈上所对应的劣弧长等于为地球半径），是、两地在北纬圈上对应的圆心角），故，线段，，、这两地的球面距离是，故答案为：．【题目点拨】本题考查球的有关经纬度知识，球面距离，弧长公式，考查空间想象能力，逻辑思维能力，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）1；（2）；（3）见解析【解题分析】分析：（I）可先求f′（x），从而判断f（x）在x∈[1，+∞）上的单调性，利用其单调性求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）求h′（x），可得若f（x）存在单调递减区间，需h′（x）＜0有正数解．从而转化为：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．通过对a分a=0，a＜0与当a＞0三种情况讨论解得a的取值范围；（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即.，再构造函数，令，有，从而，问题可解决；（法二）可用数学归纳法予以证明．当n=1时，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1⇒，成立；设时，命题成立，即，，再去证明n=k+1时，即可（需用好归纳假设）．详解：（1），定义域为.∵∴在上是增函数..（2）因为因为若存在单调递减区间，所以有正数解.即有有解.①当时，明显成立.②当时，开口向下的抛物线，总有有解；③当时，开口向上的抛物线，即方程有正跟.当时，；，解得.综合①②③知：.综上所述：的取值范围为.（3）（法一）根据（1）的结论，当时，，即.令，则有，∴.∵，∴.（法二）当时，.∵，∴，即时命题成立.设当时，命题成立，即.∴时，根据（1）的结论，当时，，即.令，则有，则有，即时命题也成立.因此，由数学归纳法可知不等式成立.点睛：本题考查函数的导数的应用，考查最值的求法，数学归纳法的应用，考查转化思想以及计算能力．函数在一个区间上单调递增，则函数的导函数大于等于0恒成立，函数在一个区间上存在单调增区间，则函数的导函数在这个区间上大于0有解.18、(Ⅰ)X的分布列X

0

1

2

3

4

5

6

P

数学期望；(Ⅱ).【解题分析】

试题分析：(Ⅰ)先定出X的所有可能取值，易知本题是6个独立重复试验中成功的次数的离散概率分布，即为二项分布.由二项分布公式可得到其分布列以及期望.(Ⅱ)根据比赛获胜的规定，教师甲前四次投球中至少有两次投中，后两次必须投中，即可能的情况有1.前四次投中2次（六投四中）；2.前四次投中3次（六投五中）3.前四次都投中（六投六中）.其中第1种情况有种可能，第2中情况有（或）种可能.将上述三种情况的概率相加即得到教师甲获胜的概率.试题解析：(Ⅰ)X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.依条件可知，X的分布列为：X

0

1

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4

5

6

P

.或因为，所以.即的数学期望为4.7分(Ⅱ)设教师甲在一场比赛中获奖为事件A，则答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为.考点：1.二项分布；2.离散型随机变量的分布列与期望；3.随机事件的概率.19、（1）件；（2）（3）【解题分析】

（1）根据频率分布直方图得到超过克的频率，再求出产品数量；（2）先得到可取的值，再分别计算每个值的概率，写出分布列；（3）根据题意得到所取的件产品中，件超过克，件不超过克，从而得到所求的概率.【题目详解】（1）根据频率分布直方图可知：重量超过克的频率为：，所以重量超过克的产品数量为（件）（2）可取的值为，，，，所以的分布列为：（3）利用样本估计总体，该流水线上重量超过克的概率为，令为任取5件产品中重量超过克的产品数量，则所以所求概率为.【题目点拨】本题考查根据频率分布直方图求频数，随机变量的分布列，求随机事件的概率，属于简单题.20、（1）详见解析；（2）；（3）.【解题分析】

（1）根据圆柱性质可得,由圆的性质可得,即可证明平面;（2）先判断当三棱锥体积最大时的位置.过底面圆心作,即可得二面角的平面角为,根据所给线段关系解三角形即可求得,进而用反三角函数表示出即可.（3）将绕旋转到使其共面,且在的反向延长线上,结合余弦定理即可求得的最小值,也就是的最小值.【题目详解】（1）证明:因为是圆柱的母线,平面所以又因为是圆柱的底面直径所以,即又因为所以平面（2）当三棱锥体积最大时,底面积最大,所以到的距离最大,此时为设底面圆的圆心为,连接则,又因为所以平面因为,所以取中点,则过O作,垂足为则,所以为中点连接,由平面可知所以为二面角的平面角在中,,,所以则二面角的大小为（3）将绕旋转到使其共面,且在的反向延长线上,如下图所示:因为,,,,在中,由余弦定理可知则所以的最小值为【题目点拨】本题考查了线面垂直的判定,二面角的平面角作法及求法,空间中最短距离的求法,综合性较强,属于中档题.21、(1).(2)见解析.【解题分析】试题分析：（1）由已知中函数，根据a=2，我们易求出f（3）及f′（3）的值，代入即可得到切线的斜率k=f′（3）．（2）由已知我们易求出函数的导函数，令导函数值为0，我们则求出导函数的零点，根据m＞0，我们可将函数的定义域分成若干个区间，分别在每个区间上讨论导函数的符号，即可得到函数函数f（x）的极值点．试题解析：(1)由已知得x>0.当a＝2时，f′(x)＝x－3＋，f′(3)＝，所以曲线y＝f(x)在(3，f(3))处切线的斜率为.(2)f′(x)＝x－(a＋1)＋＝＝.由f′(x)＝0，得x＝1或x＝a