2024届浙江省丽水四校高二数学第二学期期末统考试题含解析

2024届浙江省丽水四校高二数学第二学期期末统考试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．双曲线的渐近线方程是A． B．C． D．2．某班4名同学参加数学测试，每人通过测试的概率均为，且彼此相互独立，若X为4名同学通过测试的人数，则D（X）的值为（）A．1 B．2 C．3 D．43．若，满足约束条件，则的最大值为（）A． B． C．5 D．64．已知，设的展开式的各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则展开式中的系数为（）A．-250 B．250 C．-500 D．5005．在数列中，，则等于（）A．9 B．10 C．27 D．816．设，随机变量的分布列如图，则当在内增大时，（）A．减小 B．增大C．先减小后增大 D．先增大后减小7．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（）A． B． C． D．8．设随机变量X的分布列如下：则方差D(X)＝（）．A． B． C． D．9．函数的单调递增区间为(

)A． B． C． D．10．已知定义域为的函数满足‘’，当时，单调递减，如果且，则的值（）A．等于0 B．是不等于0的任何实数C．恒大于0 D．恒小于011．设为等差数列的前项和，若，，则A． B． C． D．12．设平面向量，则与垂直的向量可以是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，，则________14．甲乙两名选手进行一场羽毛球比赛，采用三局二胜制，先胜两局者赢得比赛，比赛随即结束，已知任一局甲胜的概率为，若甲赢得比赛的概率为，则取得最大值时______15．某校为了解高二年级学生对教师教学的意见，打算从高二年级500名学生中用系统抽样的方法抽取50名进行调查，记500名学生的编号依次为1,2,…，500,若抽取的前两个号码为6,16,则抽取的最大号码为________.16．已知函数f（x）＝x3﹣3x+1，则函数y＝f（x）的单调递减区间是_____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在上为减函数，求实数的取值范围.18．（12分）如图，底面是边长为的正方形，⊥平面，∥，，与平面所成的角为．（1）求证：平面⊥平面；（2）求二面角的余弦值．19．（12分）“公益行”是由某公益慈善基金发起并主办的一款将用户的运动数据转化为公益步数的捐助公益项目的产品，捐助规则是满10000步方可捐助且个人捐出10000步等价于捐出1元，现粗略统计该项目中其中200名的捐助情况表如下：捐款金额(单位：元)捐款人数4152261035(1)将捐款额在200元以上的人称为“健康大使”，请在现有的“健康大使”中随机抽取2人，求捐款额在之间人数的分布列；(2)为鼓励更多的人来参加这项活动，该公司决定对捐款额在100元以上的用户实行红包奖励，具体奖励规则如下：捐款额在的奖励红包5元；捐款额在的奖励红包8元；捐款额在的奖励红包10元；捐款额大于250的奖励红包15元.已知该活动参与人数有40万人，将频率视为概率，试估计该公司要准备的红包总金额.20．（12分）如图，矩形所在的平面与直角梯形所在的平面成的二面角，，，，，，.（1）求证：面；（2）在线段上求一点，使锐二面角的余弦值为.21．（12分）已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最大值和最小值．22．（10分）某运动员射击一次所得环数的分布列如下：89111．41．41．2现进行两次射击，且两次射击互不影响，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为．（1）求该运动员两次命中的环数相同的概率；（2）求的分布列和数学期望．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

由双曲线方程求得，由渐近线方程为求得结果.【题目详解】由双曲线方程得：，渐近线方程为：本题正确选项：【题目点拨】本题考查双曲线渐近线的求解，属于基础题.2、A【解题分析】

由题意知X～B（4，），根据二项分布的方差公式进行求解即可．【题目详解】∵每位同学能通过该测试的概率都是，且各人能否通过测试是相互独立的，∴X～B（4，），则X的方差D（X）＝4（1）＝1，故选A．【题目点拨】本题主要考查离散型随机变量的方差的计算，根据题意得到X～B（4，）是解决本题的关键．3、C【解题分析】

画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可【题目详解】解：变量，满足约束条件的可行域如图所示：目标函数是斜率等于1、纵截距为的直线，当直线经过可行域的点时，纵截距取得最小值，则此时目标函数取得最大值，由可得，目标函数的最大值为：5故选C．【题目点拨】本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应用．4、A【解题分析】

分别计算各项系数之和为，二项式系数之和为，代入等式得到，再计算的系数.【题目详解】的展开式取得到二项式系数之和为取值为-250故答案选A【题目点拨】本题考查了二项式定理，计算出的值是解题的关键.5、C【解题分析】

利用题设中递推公式，构造等比数列，求得等比数列的通项公式，即可求解.【题目详解】由题意，在数列中，，即可得数列表示首项，公比的等比数列，所以，故选C.【题目点拨】本题主要考查了等比数列的定义，以及等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列的定义和等比数列的通项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6、D【解题分析】

先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.【题目详解】，，，∴先增后减，因此选D.【题目点拨】7、D【解题分析】分析：分别判断函数的奇偶性和单调性，即可得到结论．详解：A．函数为奇函数，不满足条件．B．y=﹣x2+1是偶函数，当x＞0时，函数为减函数，不满足条件．C.是偶函数又在上单调递减，故不正确.D．y=|x|+1是偶函数，当x＞0时，y=x+1是增函数，满足条件．故选D．点睛：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合函数奇偶性和单调性的定义和函数的性质是解决本题的关键．8、B【解题分析】分析：先求出的值，然后求出，利用公式求出详解：故选点睛：本题考查了随机变量的分布列的相关计算，解答本题的关键是熟练掌握随机变量的期望与方差的计算方法9、D【解题分析】

先求出函数的定义域，然后根据复合函数的单调性满足“同增异减”的结论求解即可．【题目详解】由可得或，∴函数的定义域为．设，则在上单调递减，又函数为减函数，∴函数在上单调递增，∴函数的单调递增区间为．故选D．【题目点拨】（1）复合函数的单调性满足“同增异减”的结论，即对于函数来讲，它的单调性依赖于函数和函数的单调性，当两个函数的单调性相同时，则函数为增函数；否则函数为减函数．（2）解答本题容易出现的错误是忽视函数的定义域，误认为函数的单调递增区间为．10、D【解题分析】

由且，不妨设，，则，因为当时，单调递减，所以，又函数满足，所以，所以，即.故选：D.11、B【解题分析】分析：首先设出等差数列的公差为，利用等差数列的求和公式，得到公差所满足的等量关系式，从而求得结果，之后应用等差数列的通项公式求得，从而求得正确结果.详解：设该等差数列的公差为，根据题中的条件可得，整理解得，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与的关系，从而求得结果.12、D【解题分析】分析：先由平面向量的加法运算和数乘运算得到，再利用数量积为0进行判定．详解：由题意，得，因为，，，，故选D．点睛：本题考查平面向量的坐标运算、平面向量垂直的判定等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

先用同角三角函数平方和关系求出，再利用商关系求出，最后利用二倍角的正切公式求出的值.【题目详解】因为，，所以，.【题目点拨】本题考查了同角三角函数的平方和关系和商关系，考查了二倍角的正切公式.14、【解题分析】

利用表示出，从而将表示为关于的函数，利用导数求解出当时函数的单调性，从而可确定最大值点.【题目详解】甲赢得比赛的概率：，令，则，令，解得：当时，；当时，即在上单调递增；在上单调递减当时，取最大值，即取最大值本题正确结果：【题目点拨】本题考查利用导数求解函数的最值问题，关键是根据条件将表示为关于变量的函数，同时需要注意函数的定义域.15、496【解题分析】

通过系统抽样的特征，即可计算出最大编号.【题目详解】由于间距为，而前两个号码为6,16,则编号构成是以6为首项，10为公差的等差数列，因此最大编号为，故答案为496.【题目点拨】本题主要考查系统抽样的相关计算，难度不大.16、【解题分析】

求得函数的导数，利用导数的符号，即可求解，得到答案．【题目详解】由题意，函数，则，令，即，解得，所以函数的单调递减区间为，故答案为：．【题目点拨】本题主要考查了利用研究函数的单调性，求解函数的单调区间，其中解答中熟记导数与原函数的关系式解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）在和上为增函数，在上为减函数；（2）【解题分析】

（1）将代入，求出，令，解不等式可得增区间，令，解不等式可得减区间.（2）根据题意可得在上恒成立，分离参数可得，只需即可.【题目详解】（1）当时，，，令，可得或；令，.所以在和上为增函数；在上为减函数.（2）由于在上为减函数，在上恒成立，即，令，可设，于是所以，的取值范围是.【题目点拨】本题考查了导数在研究函数单调性中的应用，解题的关键是求出导函数，属于中档题.18、（1）见解析；（2）.【解题分析】

（1）DE⊥平面ABCD，可得到DE⊥AC，又因为底面为正方形所以得到AC⊥BD，进而得到线面垂直;(2)建立坐标系得到面BEF和面BDE的法向量，根据法向量的夹角的求法得到夹角的余弦值，进而得到二面角的余弦值.【题目详解】（1）证明：DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD．DE⊥AC．又底面ABCD是正方形，AC⊥BD，又BD∩DE=D，AC⊥平面BDE，又AC⊂平面ACE，平面ACE⊥平面BDE．（2）以D为坐标原点，DA、DC、DE所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，BE与平面ABCD所成的角为45°，即∠EBD=45°，DE=BD=AD=，CF=DE=．A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），E（0，0，），F（0，3，），=（﹣3，0，），=（0，3，），设平面BEF的一个法向量为=（，，），则，即，令=，则=（2，4，）．又AC⊥平面BDE，=（﹣3，3，0）为平面BDE的一个法向量．cos＜＞===．∴二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．【题目点拨】本题考查平面和平面垂直的判定和性质．在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直，或者可以通过建系的方法求两个面的法向量使得两个面的法向量互相垂直即可.19、(1)答案见解析；(2)大约为63万元.【解题分析】试题分析：(1)的所有情况是0，1，2，结合超几何分布的概率公式即可求得分布列；(2)结合分布列考查平均值，据此可得该公司要准备的红包总额大约为63万元.试题解析：(1)捐款额在之间人数的所有情况是0，1，2，，，，所以捐款额在之间人数的分布列为：012(2)设红包金额为，可得的分布列为：0581015所以.又.故该公司要准备的红包总额大约为63万元.20、（1）见解析；（2）为线段的中点.【解题分析】

（1）利用面面平行的判定定理证明出平面平面，再利用平面与平面平行的性质得出平面；（2）由，，由二面角的定义得出，证明出平面平面，过点在平面内作，可证明出平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系，设点的坐标为，利用向量法结合条件锐二面角的余弦值为求出的值，由此确定点的位置.【题目详解】（1）在矩形中，，又平面，平面，平面，同理可证平面，，、平面，平面平面，平面，平面；（2）在矩形中，，又，则矩形所在平面与直角梯形所在平面所成二面角的平面角为，即.又，平面，作于，平面，，又，、平面，平面.作于，，，，，，，.以为原点，、所在直线分别为轴、轴如图建立空间直角坐标系，则、，设.则，，设平面的一个法向量为，则，即，取，则，，则平面的一个法向量为..又平面的一个法向量为，，解得或（舍去）.此时，，即所求点为线段的中点.【题目点拨】本题考查直线与平面平行的证明，以及二面角的计算，解题时要注意二面角的定义，本题考查二面角的动点问题，一般要建立空间直角坐标系，将问题转化为空间向量进行