陕西省汉中市西乡二中2024届高二数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析

陕西省汉中市西乡二中2024届高二数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，那么集合中满足条件的元素个数为()A．60 B．90 C．120 D．1302．已知X～B(5,14)，则A．54 B．72 C．33．若、、，且，则下列不等式中一定成立的是（）A． B． C． D．4．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（）A． B． C． D．5．若复数z满足，则在复平面内，z对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．现有60个机器零件，编号从1到60，若从中抽取6个进行检验，用系统抽样的方法确定所抽的编号可以是（）A．3，13，23，33，43，53B．2，14，26，38，40，52C．5，8，31，36，48，54D．5，10，15，20，25，307．下列选项中，说法正确的是（）A．命题“”的否定是“”B．命题“为真”是命题“为真”的充分不必要条件C．命题“若，则”是假命题D．命题“在中，若,则”的逆否命题为真命题8．已知复数且，则的范围为（）A． B．C． D．9．甲、乙独立地解决同一数学问题，甲解决这个问题的概率是1．8，乙解决这个问题的概率是1．6，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是()A．1．48 B．1．52 C．1．8 D．1．9210．二项式的展开式中的常数项是A．第10项 B．第9项 C．第8项 D．第7项11．从5种主料中选2种，8种辅料中选3种来烹饪一道菜，烹饪方式有5种，那么最多可以烹饪出不同的菜的种数为A．18 B．200 C．2800 D．3360012．已知函数，若有最小值，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的底面半径为_______.14．已知复数（i为虚数单位），则复数z的模为_____.15．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为．16．若从4名男生和3名女生中任选2人参加演讲比赛，则至少选出1名女生的概率为_______（结果用分数表示）．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若，求随机变量X的分布列与均值.18．（12分）学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)（1）求在1次游戏中,①摸出3个白球的概率;②获奖的概率;（2）求在2次游戏中获奖次数的分布列.19．（12分）设，（为自然对数的底数)．（1）记①讨论函数单调性；②证明当时，恒成立.（2）令设函数有两个零点，求参数的取值范围.20．（12分）如图，是正方形，是该正方体的中心，是平面外一点，平面，是的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面.21．（12分）已知椭圆:的离心率为，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆相交于，两点，若，求（为坐标原点）面积的最大值及此时直线的方程.22．（10分）已知x，y，z是正实数，且满足.(1)求的最小值；(2)求证：

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

从，且入手，可能取，分3种情况讨论种的个数，再求5个元素的排列个数，相加即可得到答案.【题目详解】因为，且，所以可能取，当时，中有1个1或，4四个所以元素个数为；当时，中有2个1，3个0，或1个1,1个，3个0，或2个，3个0，所以元素个数为，当时，中有3个1,2个0，或2个1,1个，2个0，或2个，1个1,2个0，或3个，2个0，元素个数为，故满足条件的元素个数为，故选：D【题目点拨】本题考查了分类讨论思想，考查了求排列数，对的值和对中的个数进行分类讨论是解题关键，属于难题.2、B【解题分析】

利用二项分布的数学期望，计算出EX，再利用期望的性质求出E【题目详解】∵X~B5,14，∴E故选：B。【题目点拨】本题考查二项分布的数学期望与期望的性质，解题的关键就是利用二项分布的期望公式以及期望的性质，考查计算能力，属于基础题。3、D【解题分析】

对，利用分析法证明；对，不式等两边同时乘以一个正数，不等式的方向不变，乘以0再根据不等式是否取等进行考虑；对，考虑的情况；对，利用同向不等式的可乘性.【题目详解】对，，因为大小无法确定，故不一定成立；对，当时，才能成立，故也不一定成立；对，当时不成立，故也不一定成立；对，，故一定成立.故选：D.【题目点拨】本题考查不等式性质的运用，考查不等式在特殊情况下能否成立的问题，考查思维的严谨性.4、B【解题分析】

根据函数单调性和奇偶性的性质分别对选项进行判断即可【题目详解】对于A，为奇函数，在区间为单调增函数，不满足题意；对于B,为偶函数，在区间上为单调递减的函数，故B满足题意；对于C,为偶函数，在区间上为周期函数，故C不满足题意；对于D,为偶函数，在区间为单调增函数，故D不满足题意；故答案选B【题目点拨】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质.5、D【解题分析】

由复数的基本运算将其化为形式，z对应的点为【题目详解】由题可知，所以z对应的点为，位于第四象限．故选D.【题目点拨】本题考查复数的运算以及复数的几何意义，属于简单题．6、A【解题分析】

由题意可知：606【题目详解】∵根据题意可知，系统抽样得到的产品的编号应该具有相同的间隔，且间隔是606【题目点拨】本题考查了系统抽样的原则.7、C【解题分析】对于A，命题“”的否定是“”，故错误；对于B，命题“为真”是命题“为真”的必要不充分条件，故错误；对于C，命题“若，则”在时，不一定成立，故是假命题，故正确；对于D，“在中，若，则或”为假命题，故其逆否命题也为假命题，故错误；故选C.8、C【解题分析】

转化为，设，即直线和圆有公共点，联立，即得解.【题目详解】由于设联立：由于直线和圆有公共点，故的范围为故选：C【题目点拨】本题考查了直线和圆，复数综合，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题.9、D【解题分析】1－1．2×1．4＝1．92，选D项．10、B【解题分析】展开式的通项公式Tr＋1＝，令＝0，得r＝8.展开式中常数项是第9项.选B.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.11、C【解题分析】

根据组合定义以及分布计数原理列式求解.【题目详解】从5种主料中选2种，有种方法,从8种辅料中选3种，有种方法,根据分布计数原理得烹饪出不同的菜的种数为，选C.【题目点拨】求解排列、组合问题常用的解题方法：分布计数原理与分类计数原理，具体问题可使用对应方法：如(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.12、C【解题分析】

求出原函数的导函数，函数有最小值，则导函数在小于0有解，于是转化为斜率问题求解得到答案.【题目详解】根据题意，得，若有最小值，即在上先递减再递增，即在先小于0，再大于0，令，得：，令，只需的斜率大于过的的切线的斜率即可，设切点为，则切线方程为：，将代入切线方程得：，故切点为，切线的斜率为1，只需即可，解得：，故答案为C.【题目点拨】本题主要考查函数的最值问题，导函数的几何意义，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力，难度较大.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解题分析】

先根据侧面展开是面积为的半圆算出圆锥的母线，再根据侧面展开半圆的弧长即底面圆的周长求解.【题目详解】如图所示：设圆锥的半径为r，高为h，母线长为l，因为圆锥的侧面展开图是半径为l，面积为的半圆面，所以，解得，因为侧面展开半圆的弧长即底面圆的周长，所以，故圆锥的底面半径.【题目点拨】本题考查圆锥的表面积的相关计算.主要依据侧面展开的扇形的弧长即底面圆的半径，扇形的弧长和面积计算公式.14、【解题分析】

直接利用复数代数形式的四则运算化简复数z，再由复数模的公式计算得答案．【题目详解】，则复数z的模为．故答案为．【题目点拨】本题考查了复数代数形式的运算，考查了复数模的求法，是基础题．15、．【解题分析】试题分析：老师必须站在正中间,则老师的位置是指定的；甲同学不与老师相邻，则甲同学站两端，故不同站法种数为：，故填：．考点：排列组合综合应用．16、.【解题分析】分析：从4名男生和3名女生中任选2人参加演讲比赛，则所有可能结果共有种，设事件A“所选2人都是男生”，则A事件“所选2人都是男生”包含的基本事件个数有种，即可求出A事件的概率，从而利用即可.详解：从4名男生和3名女生中任选2人参加演讲比赛，则所有可能结果共有种，设事件A“所选2人都是男生”，则A事件“所选2人都是男生”包含的基本事件个数有种，，故至少选出1名女生的概率为.故答案为：.点睛：本题考查概率的求法，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式、对立事件概率计算公式的合理运用.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、见解析【解题分析】

根据该毕业生得到面试的机会为0时的概率，求出乙、丙公司面试的概率，根据题意得到X的可能取值，结合变量对应的事件写出概率得出分布列及期望．【题目详解】∵P（X＝0），∴，∴p，由题意知X为该毕业生得到面试的公司个数，则X的可能取值是0，1，2，3，P（X＝1）P（X＝2），P（X＝3）＝1，X0123P∴E（X），【题目点拨】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，准确计算是关键，是一个基础题．18、（I）（i）；（ii）（II）X的分布列见解析，数学期望【解题分析】解：(1)①设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i＝0,1,2,3)，则P(A3)＝·＝.②设“在一次游戏中获奖”为事件B，则B＝A2∪A3，又P(A2)＝＋·＝，且A2，A3互斥，所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝.(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝2＝，P(X＝1)＝C21·＝，P(X＝2)＝2＝，所以X的分布列是X

0

1

2

P

X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.19、（1）①在为减函数，在上为增函数②见证明；（2）【解题分析】

（1）①对函数求导，判断其单调性即可。②转化成证明的问题，从而证明在时的最小值大于0。（2）首先对求导数，讨论其单调性，结合图像即可得到有两个零点时的取值范围。【题目详解】（1）①由题意得所以因为所以当时为增函数，当时为减函数②证明:当时,恒成立,等价于证明当时,恒成立。因为，因为，则。因为，所以，所以在上为增函数。因为，所以在上为增函数。又因为，所以（2）当时，为增函数。，为减函数。有两个零点当时，令当时在和上为增函数，在上为减函数。此时有三个零点（舍弃）当同理可得有三个零点（舍弃）当时，，此时有两个零点。综上所述【题目点拨】本题主要考查了根据导数判断单调性以及函数恒成立问题，在解决第二问函数零点问题时，转化成判断函数单调性以及极值的问题。属于难题。20、证明见解析．【解题分析】试题分析：（1）要证与平面平行，而过的平面与平面的交线为，因此只要证即可，这可由中位线定理得证；（2）要证垂直于平面，就是要证与平面内两条相交直线垂直，正方形中对角线与是垂直的，因此只要再证，这由线面垂直的性质或定义可得．试题解析：证明：（1）连接，∵四边形为正方形，∴为的中点，∵是的中点，∴是的中位线.∴，∵平面，平面，∴平面.（2）∵平面，平面，∴，∵四边形是正方形，∴，∵，平面，平面，∴平面.考点：线面平行与线面垂直的判断．21、（1）；（2）的最大值为，【解题分析】

（1）根据椭圆的离心率和经过的点，以及列方程组，解方程组求得的值，进而求得椭圆方程.（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理，根据列方程，得到的关系式.求出面积的表达式，利用配方法求得面积的最大值，进而求得直线的方程.【题目详解】（1）由题意解得故椭圆的方程为.（2）因为，若直线斜率不存在，则直线过原点，，，不能构成三角形，所以直线的斜率一定存在，设直线的方程为，设，，由，得，所以，.因为，所以，即，得，显然，所以.又，得，点到直线的距离.因为面积，所以，所以当时，有最大值8，即的最大值为，此时，所以直线的方程为.【题目点拨】本小题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置