2024届北京市人民大学附属中学数学高二第二学期期末监测试题含解析

2024届北京市人民大学附属中学数学高二第二学期期末监测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知与之间的一组数据，则与的线性回归方程必过点（）A． B． C． D．2．已知线性回归方程相应于点的残差为，则的值为（）A．1 B．2 C． D．3．已知两个不同的平面α，β和两条不同的直线a，b满足a⊄α,b⊄β，则“a∥b”是“α∥β”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．将点的极坐标化成直角坐标是(

)A． B． C． D．5．已知函数在有极大值点，则的取值范围为（）A． B． C． D．6．若随机变量服从正态分布，则（）附：，．A．1．3413 B．1．2718 C．1．1587 D．1．12287．三位女歌手和她们各自的指导老师合影，要求每位歌手与她们的老师站一起，这六人排成一排，则不同的排法数为（）A．24 B．48 C．60 D．968．正边长为2，点是所在平面内一点，且满足，若，则的最小值是（）A． B． C． D．9．设，，，则()A． B． C． D．10．设x0是函数f（x）＝lnx+x﹣4的零点，则x0所在的区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）11．某城市关系要好的，，，四个家庭各有两个小孩共人，分别乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐名（乘同一辆车的名小孩不考虑位置），其中户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的名小孩恰有名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（）A．种 B．种 C．种 D．种12．在200件产品中有3件次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（）A．种 B．种 C．种 D．种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若展开式的各二项式系数和为16，则展开式中奇数项的系数和为______.14．已知函数，则=______．15．引入随机变量后，下列说法正确的有：__________（填写出所有正确的序号）.①随机事件个数与随机变量一一对应；②随机变量与自然数一一对应；③随机变量的取值是实数.16．若函数在区间上为单调增函数，则的取值范围是__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知f(x)=ln（1）若a=1，求函数H(x)=f(x)-g(x)的单调区间；（2）若函数H(x)=f(x)-g(x)在其定义域上不单调，求实数a的取值范围；18．（12分）已知函数，.（1）解关于的不等式；（2）若函数在区间上的最大值与最小值之差为5，求实数的值；（3）若对任意恒成立，求实数的取值范围.19．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1=．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．20．（12分）对任意正整数n，设表示n的所有正因数中最大奇数与最小奇数的等差中项，表示数列的前n项和.（1）求，，，，的值；（2）是否存在常数s，t，使得对一切且恒成立？若存在，求出s，t的值，并用数学归纳法证明；若不存在，请说明理由.21．（12分）阅读：已知a、b∈(0,+∞)，a+b=1，求y=1解法如下：y=1当且仅当ba=2a则y=1a+应用上述解法，求解下列问题：（1）已知a,b,c∈(0,+∞)，a+b+c=1，求y=1（2）已知x∈(0,12)（3）已知正数a1、a2、a3求证：S=a22．（10分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面，，为的中点.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

计算出和，即可得出回归直线必过的点的坐标.【题目详解】由题意可得，，因此，回归直线必过点，故选：C.【题目点拨】本题考查回归直线必过的点的坐标，解题时要熟悉“回归直线过样本中心点”这一结论的应用，考查结论的应用，属于基础题.2、B【解题分析】

根据线性回归方程估计y，再根据残差定义列方程，解得结果【题目详解】因为相对于点的残差为，所以，所以，解得，故选B【题目点拨】本题考查利用线性回归方程估值以及残差概念，考查基本分析求解能力，属基础题.3、D【解题分析】

分别判断充分性和必要性得到答案.【题目详解】如图所示：既不充分也不必要条件.故答案选D【题目点拨】本题考查了充分必要条件，举出反例可以简化运算.4、A【解题分析】本题考查极坐标与直角坐标的互化由点M的极坐标，知极坐标与直角坐标的关系为，所以的直角坐标为即故正确答案为A5、C【解题分析】分析：令，得，，整理得，问题转化为求函数在山过的值域问题，令，则即可.详解：令，得，，整理得，令，则，则令，则在单调递减，∴，∴，经检验，满足题意．故选C．点睛：本题主要考查导数的综合应用极值和导数的关系，要求熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、把问题等价转化等是解题的关键．综合性较强，难度较大．6、C【解题分析】

根据正态曲线的对称性，以及，可得结果.【题目详解】，故选：C【题目点拨】本题考查正态分布，重点把握正态曲线的对称性，属基础题.7、B【解题分析】

先将三位女歌手和她们各自的指导老师捆绑在一起，记为三个不同元素进行全排，再将各自女歌手和她的指导老师进行全排，运算即可得解.【题目详解】解：先将三位女歌手和她们各自的指导老师捆绑在一起，记为三个不同元素进行全排，再将各自女歌手和她的指导老师进行全排，则不同的排法数，故选：B.【题目点拨】本题考查了排列组合中的相邻问题，重点考查了捆绑法，属基础题.8、A【解题分析】分析：建立直角坐标系后求出各点坐标，用坐标表示详解：如图：以为原点，所在直线为轴，过点垂直于为轴则，，设，则点轨迹为由可得：故当时，故选点睛：本题主要考查的是平面向量的基本定理．设不共线的两个向量为基底，求参量和的最值，本题的解法较多，可以通过建立空间直角坐标系，求交点坐标建立数量关系，也可以用等和线来解．9、C【解题分析】

分别求出，，的范围，从而得到答案．【题目详解】根据指数函数图像可得，，；由于，则，则；所以；故答案选C【题目点拨】本题考查指数、对数值的大小比较，解题的关键利用指数对数的运算法则求出值的范围，属于中档题．10、C【解题分析】

由函数的解析式可得，再根据函数的零点的判定定理，求得函数的零点所在的区间，得到答案．【题目详解】因为是函数的零点，由，所以函数的零点所在的区间为，故选C．【题目点拨】本题主要考查了函数的零点的判定定理的应用，其中解答中熟记零点的存在定理，以及对数的运算性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11、B【解题分析】若A户家庭的李生姐妹乘坐甲车,即剩下的两个小孩来自其他的2个家庭,有种方法.若A户家庭的李生姐妹乘坐乙车,那来自同一家庭的2名小孩来自剩下的3个家庭中的一个,有.所以共有12+12=24种方法.本题选择B选项.点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．12、D【解题分析】分析：据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，由组合数公式分别求得两种情况下的抽法数，进而相加可得答案．详解：根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，“有2件次品”的抽取方法有C32C1973种，“有3件次品”的抽取方法有C33C1972种，则共有C32C1973+C33C1972种不同的抽取方法，故选：D．点睛：本题考查组合数公式的运用，解题时要注意“至少”“至多”“最多”“最少”等情况的分类讨论．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、353【解题分析】分析：由题意可得，由此解得，分别令和，两式相加求得结果．详解：由题意可得，由此解得，即则令得令得，两式相加可得展开式中奇数项的系数和为即答案为353.点睛：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中奇数项的系数和，解题时注意赋值法的应用，属于中档题．14、【解题分析】

先求内层函数值，再求外层函数值.【题目详解】根据题意，函数，则，则；故答案为．【题目点拨】本题主要考查分段函数求值问题，分段函数的求值问题主要是利用“对号入座”策略.15、③【解题分析】

要判断各项中对随机变量描述的正误，需要牢记随机变量的定义.【题目详解】引入随机变量,使我们可以研究一个随机实验中的所有可能结果，所以随机变量的取值是实数，故③正确.【题目点拨】本题主要考查随机变量的相关定义，难度不大.16、[1，＋∞)【解题分析】函数在区间上为单调增函数等价于导函数在此区间恒大于等于0，故三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）H(x)单增区间为(0,1)，单减区间为(1,+∞)（2）a>0【解题分析】

（1）求出导函数H'(x)，由H'(x)>0确定增区间，由H'(x)<0确定减区间；（2）H'(x)在定义域内有零点，且在零点两侧符号相反．由此可求参数a的取值范围．【题目详解】（1）定义域x∈(0,+∞)，∵a=1,H(x)=f(x)-g(x)=∴∴H(x)单增区间为(0,1)，单减区间为(1,+∞)（2）∵H(x)=∵H(x)在(0,+∞)上不单调.∴H'(x)=0H'(x)=0得∴2a>0即a>0【题目点拨】本题考查用导数研究函数的单调性．函数f(x)的导函数是f'(x)，一般由f'(x)>0确定增区间，由f'(x)<0确定减区间，若f'(x)在区间(a,b)内有零点，且在零点两侧符号相反，则f(x)在(a,b)上不单调．18、（1）；（2）；（3），【解题分析】

（1）令由得进而求解；（2）由（1）知在上单调递增，进而求解；（3）根据指数函数的图象特征，将不等式恒成立转化为函数图象的交点问题．【题目详解】（1）令，则，解得，即（2）由（1）知，，在上单调递增，，，解得或（舍。（3），即令，，由和函数图象可知，对，恒成立，，在，为增函数，且图象是由向右平移3个单位得到的，所以在，恒成立，只需，即，的取值范围为，.【题目点拨】本题考查指数型不等式、二次函数的图象和性质、不等式恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.19、（1）；（2）.【解题分析】

(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；(2)解法一：由题意首先确定直线的方程，联立直线方程与圆的方程，确定点B的坐标，联立直线BF2与椭圆的方程即可确定点E的坐标；解法二：由题意利用几何关系确定点E的纵坐标，然后代入椭圆方程可得点E的坐标.【题目详解】（1）设椭圆C的焦距为2c.因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因为DF1=，AF2⊥x轴，所以DF2=，因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.由b2=a2-c2，得b2=3.因此，椭圆C的标准方程为.（2）解法一：由（1）知，椭圆C：，a=2，因为AF2⊥x轴，所以点A的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程(x-1)2+y2=16，解得y=±4.因为点A在x轴上方，所以A(1，4).又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.由，得，解得或.将代入，得，因此.又F2(1，0)，所以直线BF2：.由，得，解得或.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.将代入，得.因此.解法二：由（1）知，椭圆C：.如图，连结EF1.因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，从而∠BF1E=∠B.因为F2A=F2B，所以∠A=∠B，所以∠A=∠BF1E，从而EF1∥F2A.因为AF2⊥x轴，所以EF1⊥x轴.因为F1(-1，0)，由，得.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.因此.【题目点拨】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.20、（1），，，，；（2），见解析.【解题分析】

（1）根据定义计算即可；（2）先由，，确定出s，t的值，再利用数学归纳法证明.【题目详解】（1）1的最大正奇因数为1，最小正奇因数为1，所以，2的最大正奇因数为1，最小正奇因数为1，所以，3的最大正奇因数为3，最小正奇因数为1，所以，4的最大正奇因数为1，最小正奇因数为1，所以，5的最大正奇因数为5，最小正奇因数为1，所以.（2）由（1）知，，，，所以，解得.下面用数学归纳法证明：①当时，，成立；②假设当（，）时，结论成立，即，那么当时，易知当n为奇数时，；当n为偶数时，.所以.所以当时，结论成立.综合①②可知，对一切且恒成立.【题目点拨】本题考查数列