安徽定远示范高中2024届数学高二第二学期期末调研试题含解析

安徽定远示范高中2024届数学高二第二学期期末调研试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，则△ABC的内切圆半径为.将此结论类比到空间四面体：设四面体的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，体积为V，则四面体的内切球半径为r＝（）A． B．C． D．2．函数的单调递减区间是（）A． B． C．， D．，3．设随机变量，若，则()A． B． C． D．4．甲，乙，丙，丁四人参加完某项比赛，当问到四人谁得第一时，回答如下：甲：“我得第一名”；乙：“丁没得第一名”；丙：“乙没得第一名”；丁：“我得第一名”.已知他们四人中只有一个说真话，且只有一人得第一.根据以上信息可以判断得第一名的人是（）A．甲B．乙C．丙D．丁5．“”是“函数在区间内单调递减”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也必要条件6．的展开式中的系数为（）A．1 B．9 C．10 D．117．即将毕业，4名同学与数学老师共5人站成一排照相，要求数学老师站中间，则不同的站法种数是A．120 B．96 C．36 D．248．设是偶函数的导函数，当时，，则不等式的解集为（）A． B．C． D．9．甲乙两人有三个不同的学习小组，，可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（）A．B．C．D．10．将两颗骰子各掷一次，设事件A为“两颗骰子向上点数不同”，事件B为“至少有一颗骰上点数为3点”则（）A． B． C． D．11．某班级有男生人，女生人，现选举名学生分别担任班长、副班长、团支部书记和体育班委.男生当选的人数记为，则的数学期望为（）A． B． C． D．12．分配名工人去个不同的居民家里检查管道，要求名工人都分配出去，并且每名工人只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有（）A．种 B．种 C．种 D．种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设随机变量的分布列（其中），则___．14．已知函数，则函数的值域为__________15．已知，，若向量与共线，则在方向上的投影为______.16．五名毕业生分配到三个公司实习，每个公司至少一名毕业生，甲、乙两名毕业生不到同一个公司实习，则不同的分配方案有__种．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知，.（1）求证：；（2）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，的数学期望达到最大值？19．（12分）已知函数．（1）当，求函数的图象在点处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间．20．（12分）有名学生排成一排，求分别满足下列条件的排法种数，要求列式并给出计算结果.（1）甲不在两端；（2）甲、乙相邻；（3）甲、乙、丙三人两两不得相邻；（4）甲不在排头，乙不在排尾。21．（12分）甲、乙两企业生产同一种型号零件，按规定该型号零件的质量指标值落在内为优质品.从两个企业生产的零件中各随机抽出了件，测量这些零件的质量指标值，得结果如下表：甲企业：分组频数5乙企业：分组频数55（1）已知甲企业的件零件质量指标值的样本方差，该企业生产的零件质量指标值X服从正态分布，其中μ近似为质量指标值的样本平均数（注：求时，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），近似为样本方差，试根据企业的抽样数据，估计所生产的零件中，质量指标值不低于的产品的概率.（精确到）（2）由以上统计数据完成下面列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为两个企业生产的零件的质量有差异.甲厂乙厂总计优质品非优质品总计附：参考数据：，参考公式：若，则，，；22．（10分）已知椭圆：的焦距为，点在椭圆上.（1）求椭圆方程；（2）设直线：与椭圆交于，两点，且直线，，的斜率之和为0.①求证：直线经过定点，并求出定点坐标；②求面积的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可.【题目详解】设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为：，所以.故选：C【题目点拨】本题主要考查了类比推理的应用，属于中档题.2、A【解题分析】

函数的单调减区间就是函数的导数小于零的区间，可以求出函数的定义域，再算出函数的导数，最后解不等式，可得出函数的单调减区间．【题目详解】解：因为函数，所以函数的定义域为，求出函数的导数：，；令，，解得，所以函数的单调减区间为故选：．【题目点拨】本题考查了利用导数研究函数的单调性，属于简单题，在做题时应该避免忽略函数的定义域而导致的错误．3、B【解题分析】

根据，可以求出的值，利用二项分布的方差公式直接求出的值.【题目详解】解:，解得，，故选B.【题目点拨】本题考查了二项分布的方差公式，考查了数学运算能力.4、B【解题分析】分析：分别假设甲、乙、丙、丁得第一名，逐一分析判断即可.详解：若甲得第一名，则甲、乙、丙说了真话，丁说了假话，不符合题意；若乙得第一名，则乙说了真话，甲、丙、丁说了假话，符合题意；若丙得第一名，则乙、丙说了真话，甲、丁说了假话，不符合题意；若丁得第一名，则丙、丁说了真话，甲、乙说了假话，不符合题意点睛：本题考查推理论证，考查简单的合情推理等基础知识，考查逻辑推理能力，属于基础题．5、A【解题分析】

利用二次函数的单调性可得a的取值范围，再利用简易逻辑的判定方法即可得出．【题目详解】函数f（x）=x2﹣2ax﹣2=（x﹣a）2﹣a2﹣2在区间（﹣∞，2]内单调递减，∴2≤a．∴“a＞3”是“函数f（x）=x2﹣2ax﹣2在区间（﹣∞，2]内单调递减”的充分非必要条件．故选：A．【题目点拨】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．6、D【解题分析】

根据组合的知识可求展开式的含和的项，分别乘以的常数项和一次项，合并同类项即可求解.【题目详解】因为展开式中含项的系数为,含项的系数为,乘以后含项的系数为，故选D.【题目点拨】本题主要考查了用组合知识研究二项展开式的特定项的系数，属于中档题.7、D【解题分析】分析：数学老师位置固定，只需要排学生的位置即可.详解：根据题意得到数学老师位置固定，其他4个学生位置任意，故方法种数有种，即24种.故答案为：D.点睛：解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．8、B【解题分析】

设，计算，变换得到，根据函数的单调性和奇偶性得到，解得答案.【题目详解】由题意，得，进而得到，令，则，，.由，得，即.当时，，在上是增函数.函数是偶函数，也是偶函数，且在上是减函数，，解得，又，即，.故选：.【题目点拨】本题考查了利用函数的奇偶性和单调性解不等式，构造函数，确定其单调性和奇偶性是解题的关键.9、A【解题分析】依题意，基本事件的总数有种，两个人参加同一个小组，方法数有种，故概率为.10、D【解题分析】

用组合数公式计算事件A和事件AB包含的基本事件个数，代入条件概率公式计算．【题目详解】解：两颗骰子各掷一次包含的基本事件的个数是1．事件A包含的基本事件个数有，则．事件AB包含的基本事件个数为10，则．所以在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为：，故选：D．【题目点拨】本题考查条件概率，属于基础题．11、C【解题分析】分析：先写出的取值，再分别求的概率，最后求的数学期望.详解：由题得所以故答案为：C点睛：（1）本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)离散型随机变量的数学期望12、C【解题分析】

根据题意，分析可得，必有2名水暖工去同一居民家检查；分两步进行，①先从4名水暖工中抽取2人，②再将这2人当做一个元素，与其他2人，共3个元素，分别分配到3个不同的居民家里，由分步计数原理，计算可得答案.【题目详解】解：根据题意，分配4名水暖工去3个不同的居民家里，要求4名水暖工都分配出去，且每个居民家都要有人去检查；

则必有2名水暖工去同一居民家检查，

即要先从4名水暖工中抽取2人，有种方法，

再将这2人当做一个元素，与其他2人，共3个元素，分别分配到3个不同的居民家里，有种情况，

由分步计数原理，可得共种不同分配方案，

故选：C.【题目点拨】本题考查排列、组合的综合应用，注意一般顺序是先分组（组合），再排列，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据概率和为列方程，解方程求得的值.【题目详解】依题意，解得.故填【题目点拨】本小题主要考查随机变量分布列概率和为，考查方程的思想，属于基础题.14、【解题分析】

化为，时，，时，，从而可得结果.【题目详解】,当时，，当时，，函数，则函数的值域为,故答案为.【题目点拨】本题考查函数的值域，属于中档题.求函数值域的常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法：常用代数或三角代换法，用换元法求值域时需认真分析换元参数的范围变化；③不等式法：借助于基本不等式求函数的值域，用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”；④单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的值域，⑤图象法：画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值.15、【解题分析】

,由向量与共线，得，解得，则在方向上的投影为，故答案为.16、1．【解题分析】

将5人按照1,1,3和2,2,1分组，分别得到总的分组数，再减去甲乙在同一组的分组数，然后在对所得到的的分组情况进行全排列，得到答案.【题目详解】先将五名毕业生分成3组，按照1,1,3的方式来分，有，其中甲乙在同一组的情况有，所以甲乙不在同一组的分法有种，按照2,2,1的方式来分，有，其中甲乙在同一组的情况有，所以甲乙不在同一组的分法有种，所以符合要求的分配方案有种，故答案为.【题目点拨】本题考查排列组合中的分组问题，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．【解题分析】试题分析：(1)由题意结合柯西不等式的结论即可证得题中的结论；(2)结合(1)的结论可得绝对值不等式，零点分段求解绝对值不等式可得实数的取值范围为.试题解析：(Ⅰ)证明:由柯西不等式得,,的取值范围是.(Ⅱ)由柯西不等式得.若不等式对一切实数恒成立,则,其解集为,即实数的取值范围为.18、（1）分布列见解析；（2）520.【解题分析】分析：（1）根据题意所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知，，；（2）分两种情况：当时，当时，分别得到利润表达式.详解：（1）由题意知，所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知，，.因此的分布列为0.20.40.4（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑当时，若最高气温不低于25，则；若最高气温位于区间，则；若最高气温低于20，则因此当时，若最高气温不低于20，则，若最高气温低于20，则，因此所以时，的数学期望达到最大值，最大值为520元.方法点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得.19、（1）；（2）见解析．【解题分析】

试题分析：（Ⅰ）由，求出函数的导数，分别求出，，即可求出切线方程；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论的范围，即可求出函数的单调区间试题解析：（Ⅰ）当时，∴∴，；∴函教的图象在点处的切线方程为.（Ⅱ）由题知，函数的定义域为，，令，解得，，①当时，所以，在区间和上；在区间上，故函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.②当时，恒成立，故函数的单调递增区间是.③当时，，在区间，和上；在上，故函数的单调递增区间是，，单调递减区间是④当时，，时，时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是⑤当时，，函数的单调递增区间是，单调递减区间是，综上，①时函数的单调递增区间是和，单调递减区间是②时，函数的单调递增区间是③当时，函数的单调递增区间是，，单调递减区间是④当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是点睛：确定单调区间的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数，令，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)把函数的间断点(即的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间；(4)确定在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性.20、（1）30240（2）10080（3）14400（4）30960【解题分析】

（1）先把甲安排到中间6个位置的一个，再对剩下位置全排列；（2）把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素，再和另外6人全排列；（3）把甲乙丙3人插入到另外5人排列后所形成的6个空中的三个空，结合公式求解；（4）可采用间接法得到；【题目详解】（1）假设8个人对应8个空位，甲不站两端，有6个位置可选，则其他7个人对应7个位置，故有：种情况（2）把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素，再和另外6人全排列，故有种情况；（3）把甲乙丙3人插入到另外5人排列后所形成的6个空中的三个空，故有种情况；（4）利用间接法，用总的情况数减去甲在排头、乙在排尾的情况数，再加上甲在排头同时乙在排尾的情况，故有种情况【题目点拨】本题考查排列组合的应用，先根据已知条件找