四川省资阳市乐至中学2024届高二数学第二学期期末经典模拟试题含解析

四川省资阳市乐至中学2024届高二数学第二学期期末经典模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为（）A． B． C． D．2．焦点为的抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，则当取得最大值时，直线的方程为（）A．或 B．C．或 D．3．函数的导函数是（）A． B．C． D．4．若的展开式中的第五、六项二项式系数最大，则该展开式中常数项为（）A． B．84 C． D．365．函数的最小正周期是（）A． B． C． D．6．等比数列的前n项和，前2n项和，前3n项的和分别为A，B，C，则A． B．C． D．7．如果把个位数是，且恰有个数字相同的四位数叫做“伪豹子数”那么在由，，，，五个数字组成的有重复数字的四位数中，“伪豹子数”共有（）个A． B． C． D．8．已知（是实常数）是二项式的展开式中的一项，其中，那么的值为A． B． C． D．9．定义：如果一个向量列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量，那么这个向量列做等差向量列，这个常向量叫做等差向量列的公差.已知向量列是以为首项，公差的等差向量列.若向量与非零向量）垂直，则（）A． B． C． D．10．已知关于的方程的两根之和等于两根之积的一半，则一定是()A．直角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形11．已知有下列各式：，，成立，观察上面各式，按此规律若，则正数（）A． B． C． D．12．已知函数，其定义域是，则下列说法正确的是（）A．有最大值，无最小值B．有最大值，最小值C．有最大值，无最小值D．无最大值，最小值二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若对于任意x∈[1，4]，不等式0≤ax2+bx+4a≤4x恒成立，|a|+|a+b+25|的范围为_____．14．已知函数若关于的方程恰有4个不同的实数解，则的取值范围是_____．15．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值，则随机选取1部电影，这部电影没有获得好评的概率为_______.16．若（其中i为虚数单位），则z的虚部是________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆：的离心率为，焦距为．（1）求的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点（点，均在第一象限），为坐标原点，证明：直线，，的斜率依次成等比数列．18．（12分）已知函数（且，为自然对数的底数.）（1）当时，求函数在区间上的最大值；（2）若函数只有一个零点，求的值.19．（12分）某种设备随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加.现对一批该设备进行调查，得到这批设备自购入使用之日起，前五年平均每台设备每年的维护费用大致如下表：年份(年)12345维护费(万元)1.11.51.82.22.4（Ⅰ）求关于的线性回归方程；（Ⅱ）若该设备的价格是每台5万元，甲认为应该使用满五年换一次设备，而乙则认为应该使用满十年换一次设备，你认为甲和乙谁更有道理？并说明理由.(参考公式：.)20．（12分）已知数列满足，且≥（1）求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.21．（12分）已知空间向量a与b的夹角为arccos66，且|a|=2，|(1)求a，b为邻边的平行四边形的面积S；(2)求m,n的夹角22．（10分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:该兴趣小组确定的研究方案是:先用2、3、4、5月的4组数据求线性回归方程,再用1月和6月的2组数据进行检验.（1）请根据2、3、4、5月的数据,求出y关于x的线性回归方程；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?（参考公式:，）参考数据：11×25+13×29+12×26+8×16=1092，112+132+122+82=498.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】试题分析：函数f（x）=2x2–e|x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y轴对称，因为f(2)=8-e2,0<8-e2<1，所以排除A,B选项；当x∈[0,2]时，y'=4x-ex有一零点，设为2、A【解题分析】过作与准线垂直，垂足为，则，则当取得最大值时，必须取得最大值，此时直线与抛物线相切，可设切线方程为与联立，消去得，所以，得．则直线方程为或．故本题答案选．点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离，抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化，如果问题中涉及抛物线上的点到焦点或到准线的距离，那么用抛物线定义就能解决问题．本题就是将到焦点的距离转化成到准线的距离，将比值问题转化成切线问题求解．3、D【解题分析】

根据导数的公式即可得到结论．【题目详解】解：由，得故选：D．【题目点拨】本题考查了导数的基本运算，属基础题．4、B【解题分析】

先由的展开式中的第五、六项二项式系数最大，求解n,写出通项公式，令，求出r代入，即得解.【题目详解】由于的展开式中的第五、六项二项式系数最大，故，二项式的通项公式为：令可得：故选：B【题目点拨】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.5、D【解题分析】

根据正切型函数的周期公式可求出函数的最小正周期.【题目详解】由题意可知，函数的最小正周期，故选D.【题目点拨】本题考查正切型函数周期的求解，解题的关键在于利用周期公式进行计算，考查计算能力，属于基础题.6、D【解题分析】分析：由等比数列的性质，可知其第一个项和，第二个项和，第三个项和仍然构成等比数列，化简即可得结果.详解：由等比数列的性质可知，等比数列的第一个项和，第二个项和，第三个项和仍然构成等比数列，则有构成等比数列，，即，，故选D.点睛：本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列前项和，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，是基础题.7、A【解题分析】

分相同数字为1，与不为1，再由分类计数原理求出答案。【题目详解】相同数不为1时，四位数的个位数是1，其他3个相同的数可能是2,3,4,5共4种相同数为1时，四位数的个位数是1，在2,3,4,5中选一个数放在十位或百位或千位上，共有种则共有种故选A【题目点拨】本题考查排列组合，分类计数原理，属于基础题。8、A【解题分析】

根据二项式定理展开式的通项公式，求出m，n的值，即可求出k的值．【题目详解】展开式的通项公式为Tt+1＝x5﹣t（2y）t＝2tx5﹣tyt，∵kxmyn（k是实常数）是二项式（x﹣2y）5的展开式中的一项，∴m+n＝5，又m＝n+1，∴得m＝3，n＝2，则t＝n＝2，则k＝2t224×10＝40，故选A．【题目点拨】本题主要考查二项式定理的应用，结合通项公式建立方程求出m，n的值是解决本题的关键．9、D【解题分析】

先根据等差数列通项公式得向量，再根据向量垂直得递推关系，最后根据累乘法求结果.【题目详解】由题意得，因为向量与非零向量）垂直，所以因此故选：D【题目点拨】本题考查等差数列通项公式、向量垂直坐标表示以及累乘法，考查综合分析求解能力，属中档题.10、B【解题分析】分析：根据题意利用韦达定理列出关系式，利用两角和与差的余弦函数公式化简得到A=B，即可确定出三角形形状．详解：设已知方程的两根分别为x1，x2，根据韦达定理得：x1+x2=cosAcosB，x1x2=2sin2=1﹣cosC，∵x1+x2=x1x2，∴2cosAcosB=1﹣cosC，∵A+B+C=π，∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB，∴cosAcosB+sinAsinB=1，即cos（A﹣B）=1，∴A﹣B=0，即A=B，∴△ABC为等腰三角形．故选B．点睛：此题考查了三角形的形状判断，涉及的知识有：根与系数的关系，两角和与差的余弦函数公式，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．11、C【解题分析】

观察上面各式,,,,类比推理即可得到结果.【题目详解】由题,观察上面各式可得,,,则,所以,故选:C【题目点拨】本题考查类比推理,考查理解分析能力.12、A【解题分析】

先化简函数，再根据反比例函数单调性确定函数最值取法【题目详解】因为函数，所以在上单调递减，则在处取得最大值，最大值为，取不到函数值，即最小值取不到.故选A.【题目点拨】本题考查反比例函数单调性以及利用函数单调性求最值，考查分析判断求解能力，属基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、[25，57]【解题分析】

先把不等式变形为﹣b≤a（x）≤4﹣b恒成立，结合f（x）＝x最值，找到的限制条件，结合线性规划的知识可得.【题目详解】对于任意x∈[1，4]，不等式0≤ax2+bx+4a≤4x恒成立，可得当x∈[1，4]时，不等式﹣b≤a（x）≤4﹣b恒成立，设f（x）＝x，x∈[1，4]；可得x∈[1，2]时f（x）递减，x∈[2，4]时f（x）递增，可得时取得最小值4，或时取得最大值5，所以f（x）的值域为[4，5]；所以原不等式恒成立，等价于，即，设，则，所以，所以目标函数z＝|a|+|a+b+25|＝|y﹣x|+|4x+3y+25|＝|y﹣x|+4x+3y+25，当y≥x时，目标函数z＝3x+4y+25，画出不等式组表示的平面区域，如图，由图可知x＝0，y＝0时zmin＝25，x＝4，y＝5时zmax＝57；当y＜x时，目标函数z＝5x+2y+25，如图，由图可知x＝0，y＝0时zmin＝25，x＝4，y＝4时zmax＝53；综上可得，|a|+|a+b+25|的范围是[25，57]．【题目点拨】本题主要考查不等式恒成立问题及利用线性规划知识求解范围问题，恒成立问题一般是转化为最值问题，线性规划问题通常借助图形求解，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.14、【解题分析】

先求得的零点，由此判断出方程恰有2个不同的实数解，结合图像求得的取值范围.【题目详解】有两个零点，画出图像如下图所示，依题意恰有4个不同的实数解，则方程恰有2个不同的实数解，由图可知，故的取值范围为．故答案为：【题目点拨】本小题主要考查根据分段函数图像以及方程零点个数求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.15、【解题分析】

首先根据好评率求获得好评的电影部数，再求总的电影部数，最后求比值.【题目详解】获得好评的电影部数：共有部电影，所以没有获得好评的电影概率为：.故答案为：【题目点拨】本题考查用统计的知识解决实际问题，意在考查分析数据，应用数据的能力，属于基础题型.16、3【解题分析】

直接根据虚部定义即可求出．【题目详解】解：z＝﹣2+3i（其中i为虚数单位），则z的虚部是3，故答案为：3【题目点拨】本题考查了虚数的概念，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1).(2)见解析.【解题分析】

（1）根据题中条件，得到，再由，求解，即可得出结果；（2）先设直线的方程为，，,联立直线与椭圆方程，结合判别式、韦达定理等，表示出，只需和相等，即可证明结论成立.【题目详解】（1）由题意可得，解得，又，所以椭圆方程为.（2）证明：设直线的方程为，，,由，消去，得则，且，故即直线，，的斜率依次成等比数列.【题目点拨】本题主要考查求椭圆的标准方程，以及椭圆的应用，熟记椭圆的标准方程以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.18、(1).（2）时函数只有一个零点.【解题分析】试题分析：(1)由导函数的解析式可得．(2)由，得，分类讨论和两种情况可得．试题解析：（Ⅰ）当时，，，令，解得，时，；时，，∴，而，，即．（Ⅱ），，令，得，则①当时，，极小值所以当时，有最小值，因为函数只有一个零点，且当和时，都有，则，即，因为当时，，所以此方程无解．②当时，，极小值所以当时，有最小值，因为函数只有一个零点，且当和时，都有，所以，即（）（*）设，则，令，得，当时，；当时，；所以当时，，所以方程（*）有且只有一解．综上，时函数只有一个零点．点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．19、（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.【解题分析】

（Ⅰ）先算出，再由公式分别算，和线性回归方程。（Ⅱ）分别算出五年与十年的每台设备的平均费用，费用越小越好。【题目详解】(1)，所以回归方程为.（Ⅱ）若满五年换一次设备，则由（Ⅰ）知每年每台设备的平均费用为：（万元），若满十年换一次设备，则由（Ⅰ）知每年每台设备的平均费用大概为：（万元），因为，所以甲更有道理．【题目点拨】求线性回归直线方程的步骤（1）用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系；（2）求系数：公式有两种形式，即。当数据较复杂时，题目一般会给出部分中间结果，观察这些中间结果来确定选用公式的哪种形式求；（3）求：.；（4）写出回归直线方程．20、(1)见解析;(2).【解题分析】分析：（1）两边同时除以，构造的递推表达式，求解通项公式。（2）用裂项相消法求解。详解：