江西省宁师中学、瑞金二中2024届数学高二第二学期期末预测试题含解析

江西省宁师中学、瑞金二中2024届数学高二第二学期期末预测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在“一带一路”的知识测试后甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲:我的成绩最高.乙:我的成绩比丙的成绩高丙:我的成绩不会最差成绩公布后,三人的成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序可能为（）A．甲、丙、乙 B．乙、丙、甲C．甲、乙、丙 D．丙、甲、乙2．设函数满足：，，则时，（）A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，又无极小值3．已知函数，且，则=（）A． B．2 C．1 D．04．已知函数在上恒不大于0，则的最大值为（）A． B． C．0 D．15．在中，角的对边分别是，若，则（）A．5 B． C．4 D．36．若定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则（）.A．函数有1个极大值，2个极小值B．函数有2个极大值，3个极小值C．函数有3个极大值，2个极小值D．函数有4个极大值，3个极小值7．已知定义在上的可导函数的导函数为，对任意实数均有成立，且是奇函数，不等式的解集是（）A． B． C． D．8．的展开式中的项的系数是()A． B． C． D．9．设集合，集合，则（）A． B． C． D．10．已知，，则（）A． B． C． D．11．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，骰子朝上的面的点数分别为，，则满足的概率为（）A． B． C． D．12．复数(i为虚数单位)的共轭复数是A．1+i B．1−i C．−1+i D．−1−i二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知集合则_______.14．已知点分别是双曲线：的左右两焦点，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于两点，若是以为顶角的等腰三角形，其中，则双曲线离心率的取值范围为______.15．设正方形的中心为，在以五个点、、、、为顶点的三角形中任意取出两个，则它们面积相等的概率为________16．已知函数，若的所有零点之和为1，则实数的取值范围为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）(1)设集合}，，且，求实数m的值.(2)设，是两个复数，已知，，且·是实数，求.18．（12分）2019年高考前夕某地天空出现了一朵点赞云，为了将这朵祥云送给马上升高三的各位学子，现以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线的直角坐标方程：（2）点为曲线上任意一点，点为曲线上任意一点，求的最小值。19．（12分）随着“互联网＋交通”模式的迅猛发展，“共享助力单车”在很多城市相继出现．某“共享助力单车”运营公司为了解某地区用户对该公司所提供的服务的满意度，随机调查了100名用户，得到用户的满意度评分，现将评分分为5组，如下表：组别一二三四五满意度评分[0，2）[2，4）[4，6）[6，8）[8，10]频数510a3216频率0.05b0.37c0.16(1)求表格中的a，b，c的值；(2)估计用户的满意度评分的平均数；(3)若从这100名用户中随机抽取25人，估计满意度评分低于6分的人数为多少？20．（12分）设集合，其中.（1）写出集合中的所有元素；（2）设，证明“”的充要条件是“”（3）设集合，设，使得，且，试判断“”是“”的什么条件并说明理由.21．（12分）为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”．分数[50,59)[60,69)[70,79)[80,89)[90,100]甲班频数56441乙班频数13655（1）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断“成绩优良与教学方式是否有关”?甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总计现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核．在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为，求的分布列及数学期望．附：．临界值表22．（10分）一辆汽车前往目的地需要经过个有红绿灯的路口.汽车在每个路口遇到绿灯的概率为（可以正常通过），遇到红灯的概率为（必须停车）.假设汽车只有遇到红灯或到达目的地才停止前进，用随机变量表示前往目的地途中遇到红灯数和绿灯数之差的绝对值.（1）求汽车在第个路口首次停车的概率；（2）求的概率分布和数学期望.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

假设一个人预测正确，然后去推导其他两个人的真假，看是否符合题意．【题目详解】若甲正确，则乙丙错，乙比丙成绩低，丙成绩最差，矛盾；若乙正确，则甲丙错，乙比丙高，甲不是最高，丙最差，则成绩由高到低可为乙、甲、丙；若丙正确，则甲乙错，甲不是最高，乙比丙低，丙不是最差，排序可为丙、甲、乙．A、B、C、D中只有D可能．故选D．【题目点拨】本题考查合情推理，抓住只有一个人预测正确是解题的关键，属于基础题．2、B【解题分析】

首先构造函数，由已知得，从而有，令，求得，这样可确定是增函数，由可得的正负，确定的单调性与极值．【题目详解】，令，则，所以，令，则，即，当时，，单调递增，而，所以当时，，，单调递减；当时，，，单调递增；故有极小值，无极大值，故选B.【题目点拨】本题考查用导数研究函数的极值，解题关键是构造新函数，，求导后表示出，然后再一次令，确定单调性，确定正负，得出结论．3、D【解题分析】

求出函数的导数，结合条件，可求出实数的值．【题目详解】因为，所以，解得，故选D．【题目点拨】本题考查导数的计算，考查导数的运算法则以及基本初等函数的导数，考查运算求解能力，属于基础题．4、A【解题分析】

先求得函数导数，当时，利用特殊值判断不符合题意.当时，根据的导函数求得的最大值，令这个最大值恒不大于零，化简后通过构造函数法，利用导数研究所构造函数的单调性和零点，并由此求得的取值范围，进而求得的最大值.【题目详解】，当时，，则在上单调递增，，所以不满足恒成立；当时，在上单调递增，在上单调递减，所以，又恒成立，即.设，则.因为在上单调递增，且，，所以存在唯一的实数，使得，当时，；当时，，所以，解得，又，所以，故整数的最大值为.故选A.【题目点拨】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查构造函数法，考查零点存在性定理，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.5、D【解题分析】

已知两边及夹角，可利用余弦定理求出．【题目详解】由余弦定理可得：，解得.故选D.【题目点拨】本题主要考查利用正余弦定理解三角形，注意根据条件选用合适的定理解决．6、B【解题分析】

利用函数取得极大值的充分条件即可得出．【题目详解】解：只有一个极大值点．当时，，当时，．当时，，时，，时，，且，，，，，函数在，处取得极大值．，，处取得极小值．故选：B．【题目点拨】本题考查极值点与导数的关系，熟练掌握函数取得极大值的充分条件是解题的关键，属于基础题．7、A【解题分析】

构造函数，利用导数和已知条件判断出在上递增，由此求解出不等式的解集.【题目详解】要求解的不等式等价于，令，，所以在上为增函数，又因为是奇函数，故，所以，所以所求不等式等价于，所以解集为，故选A.【题目点拨】本小题主要考查构造函数法解不等式，考查导数的运算，考查利用导数判断函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.8、B【解题分析】

试题分析：的系数,由的次项乘以,和的2次项乘以的到,故含的是,选.考点：二项式展开式的系数.【方法点睛】二项式展开式在高考中是一个常考点.两个式子乘积相关的二项式展开式,首先考虑的是两个因式相乘,每个项都要相互乘一次,这样就可以分解成乘以常数和乘以一次项两种情况,最后将两种情况球出来的系数求和.如要求次方的系数,计算方法就是,也就是说,有两个是取的,剩下一个就是的.9、C【解题分析】分析：解不等式，得到和，由集合的交集运算可得到解。详解：解绝对值不等式，得；由对数函数的真数大于0，得根据集合的运算得所以选C点睛：本题考查了解绝对值不等式，对数函数的定义域，集合的基本运算，是基础题。10、C【解题分析】

由两角和的正切公式得出，结合平方关系求出，即可得出的值.【题目详解】，即由平方关系得出，解得：故选：C【题目点拨】本题主要考查了两角和的正切公式，平方关系，属于中档题.11、B【解题分析】

先化简，得到或.利用列举法和古典概型概率计算公式可计算出所求的概率.【题目详解】由，有，得或，则满足条件的为，，，，，，，，，所求概率为．故选B.【题目点拨】本小题主要考查对数运算，考查列举法求得古典概型概率有关问题，属于基础题.12、B【解题分析】分析：化简已知复数z，由共轭复数的定义可得．详解：化简可得z=∴z的共轭复数为1﹣i.故选B．点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

先求出集合A，再求得解.【题目详解】由题得所以.故答案为【题目点拨】本题主要考查集合的补集运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.14、【解题分析】分析：根据双曲线的定义，可求得，设，由余弦定理可得，，进而可得结果.详解：如图，，又，则有，不妨假设，则有，可得，中余弦定理，，，即，故答案为.点睛：本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求离心率范围问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于的等式，最后解出的值.15、【解题分析】

先确定以五个点、、、、为顶点的三角形的个数，再确定从中取出两个的事件数，从中取出两个面积相等的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.【题目详解】以五个点、、、、为顶点的三角形共有,则从中取出两个有种方法；因为,因此从中取出两个面积相等有种方法；从而所求概率为故答案为：【题目点拨】本题考查古典概型概率以及简单计数，考查综合分析求解能力，属中档题.16、【解题分析】

先根据分段函数的形式确定出时的零点为，再根据时函数解析式的特点和导数的符号确定出图象的“局部对称性”以及单调性，结合所有零点的和为1可得，从而得到参数的取值范围.【题目详解】当时，易得的零点为，当时，，∵当时，，∴的图象在上关于直线对称.又，当时，，故单调递增，当时，，故单调递减，且，.因为的所有零点之和为1，故在内有两个不同的零点，且，解得.故实数a的取值范围为．故答案为：．【题目点拨】本题考查分段函数的零点，已知函数零点的个数求参数的取值范围时，应根据解析式的特点和导数寻找函数图象的对称性和函数的单调性，最后根据零点的个数得到特殊点处函数的符号，本题属于较难题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)或或(2)或【解题分析】

（1）解方程得到集合，再分别讨论和两种情况，即可得出结果；（2）先设，根据题中条件，得到，，即可求出结果.【题目详解】解：(1)由解得：或∴，又∵∴当时，此时符合题意.当时，则.由得，所以或解得：或综上所述：或或(2)设，∵∴，即①又，且，是实数，∴②由①②得，，或，∴或【题目点拨】本题主要考查由集合间的关系求参数的问题，以及复数的运算，熟记子集的概念，以及复数的运算法则即可，属于常考题型.18、(1)：；：；：；(2)【解题分析】

（1）根据得的直角坐标方程，根据平方关系消参数得的直角坐标方程，根据加减消元得的直角坐标方程（2）结合图像确定的最小值取法，再计算得结果.【题目详解】解：（1）曲线的直角坐标方程为直线的直角坐标方程为直线的直角坐标方程为（2）由与的方程可知，的距离的最小值为的圆心与点的距离减去的半径。【题目点拨】本题考查极坐标方程化直角坐标方程、参数方程化普通方程以及直线与圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.19、(1)，，；(2)5.88；(3)13.【解题分析】

（1）由频数分布表，即可求解表格中的的值；（2）由频数分布表，即可估计用户的满意度平分的平均数；（3）从这100名用户中随机抽取25人，由频数分布表能估计满意度平分低于6分的人数．【题目详解】(1)由频数分布表得，解得，，；(2)估计用户的满意度评分的平均数为：.(3)从这100名用户中随机抽取25人，估计满足一度评分低于6分的人数为：人.【题目点拨】本题主要考查了频数分布表的应用，以及平均数、频数的求解，其中解答中熟记频数分布表的性质，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题．20、（1），，，；（2）证明见解析；（3）充要条件.【解题分析】

（1）根据题意，直接列出即可（2）利用的和的符号和最高次的相同，利用排除法可以证明。（3）利用（2）的结论完成（3）即可。【题目详解】（1）中的元素有，，，。（2）充分性：当时，显然成立。必要性：若=1，则若=，则若的值有个1，和个。不妨设2的次数最高次为次，其系数为1，则，说明只要最高次的系数是正的，整个式子就是正的，同理，只要最高次的系数是负的，整个式子就是负的，说明最高次的系数只能是0，就是说，即综上“”的充要条件是“”（3）等价于等价于由（2）得“=”的充要条件是“”即“=”是“”的充要条件【题目点拨】本题考查了数列递推关系等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21、（1）在犯错概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.（2）见解析【解题分析】

(1)根据数据对应填写，再根据卡方公式求，最后对照参考数据作判断，（2）先根据分层抽样得成绩不优良的人数，再确定随机变量取法，利用组合数求对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式求期望.【题目详解】解：（1）根据2×2列联表中的数据，得的观测值为，在犯错概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.(2)由表可知在8人中成绩不优良的人数为，则的可能取值为0,1,2,1．；；；．的分布列为：所以．【题目点拨】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有