2024届安徽省亳州市第十八中学数学高二下期末统考试题含解析

2024届安徽省亳州市第十八中学数学高二下期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．阅读如图所示的程序，若执行循环体的次数为5，则程序中的取值范围为（）A． B． C． D．2．5名同学在“五一”的4天假期中，随便选择一天参加社会实践，不同的选法种数是（）A． B． C． D．3．双曲线与双曲线有相同的（）A．顶点 B．焦点 C．渐近线 D．离心率4．某地区高考改革，实行“”模式，即“”指语文、数学、外语三门必考科目，“”指在化学、生物、政治、地理四门科目中必选两门，“”指在物理、历史两门科目中必选一门，则一名学生的不同选科组合有多少种？（）A．种 B．种 C．种 D．种5．设，当时，不等式恒成立，则的取值范围是A． B． C． D．6．某个班级组织元旦晚会，一共准备了、、、、、六个节目，节目演出顺序第一个节目只能排或，最后一个节目不能排，且、要求相邻出场，则不同的节目顺序共有（）种A．72 B．84 C．96 D．1207．在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。若射线与曲线和曲线分别交于两点（除极点外），则等于（）A． B． C．1 D．8．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为.则在下雨条件下吹东风的概率为（）A． B． C． D．9．圆柱形容器内盛有高度为6cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示.则球的半径是()A．1cm B．2cmC．3cm D．4cm10．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（）A．8 B．4 C．6 D．311．若a|a|＞b|b|，则下列判断正确的是（）A．a＞b B．|a|＞|b|C．a+b＞0 D．以上都有可能12．有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：1、2、6号选手中的一位获得第一名；观众乙猜测：4、5、6号选手都不可能获得第一名；观众丙猜测：4号或5号选手得第一名；观众丁猜测：3号选手不可能得第一名.比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．是正四棱锥，是正方体，其中，，则到平面的距离为________14．在半径为2的圆内任取一点，则该点到圆心的距离不大于1的概率为________.15．若的展开式中的系数为，则实数的值为__________.16．正方体中，、分别是、的中点，则直线与平面所成角的正弦值为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图所示，在△ABC中，a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，在四面体P­ABC中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．写出对四面体性质的猜想，并证明你的结论18．（12分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的定义域；（Ⅱ）若关于的不等式的解集是，求的取值范围.19．（12分）若二面角的平面角是直角，我们称平面垂直于平面，记作.（1）如图，已知，，，且，求证：；（2）如图，在长方形中，，，将长方形沿对角线翻折，使平面平面，求此时直线与平面所成角的大小.20．（12分）2018年2月22日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子500米比赛中，中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌，也创造中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.某高校为调查该校学生在冬奥会期间累计观看冬奥会的时间情况，收集了200位男生、100位女生累计观看冬奥会时间的样本数据（单位：小时）.又在100位女生中随机抽取20个人，已知这20位女生的数据茎叶图如图所示.（I）将这20位女生的时间数据分成8组，分组区间分别为，，…，，，完成频率分布直方图；（II）以（I）中的频率作为概率，求1名女生观看冬奥会时间不少于30小时的概率；（III）以（I）中的频率估计100位女生中累计观看时间小于20个小时的人数，已知200位男生中累计观看时间小于20小时的男生有50人.请完成下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为“该校学生观看冬奥会累计时间与性别有关”.男生女生总计累计观看时间小于20小时累计观看时间小于20小时总计300附：（）.21．（12分）现在很多人喜欢自助游,2017年孝感杨店桃花节，美丽的桃花风景和人文景观迎来众多宾客.某调查机构为了了解“自助游”是否与性别有关，在孝感桃花节期间，随机抽取了人，得如下所示的列联表：赞成“自助游”不赞成“自助游”合计男性女性合计（1）若在这人中，按性别分层抽取一个容量为的样本，女性应抽人，请将上面的列联表补充完整，并据此资料能否在犯错误的概率不超过前提下，认为赞成“自助游”是与性别有关系？（2）若以抽取样本的频率为概率，从旅游节大量游客中随机抽取人赠送精美纪念品，记这人中赞成“自助游”人数为，求的分布列和数学期望.附:22．（10分）如图所示，四边形为菱形，且，，，且，平面.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的正弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】输入执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，不满足继续执行循环体，由题可知满足，输出故故选C2、D【解题分析】

根据乘法原理得到答案.【题目详解】5名同学在“五一”的4天假期中，随便选择一天参加社会实践，不同的选法种数是答案为D【题目点拨】本题考查了乘法原理，属于简单题.3、C【解题分析】

根据选项分别写出两个双曲线的几何性质，比较后得到答案.【题目详解】的顶点是，焦点是，渐近线方程是，离心率是；的顶点是，焦点是，渐近线方程是，离心率，比较后可知只有渐近线方程一样.故选C.【题目点拨】本题考查了双曲线的几何性质，属于简单题型.4、B【解题分析】

根据题意，分步进行分析该学生在“语文、数学、外语三门”、“化学、生物、政治、地理四门”、“物理、历史两门”中的选法数目，由分步计数原理计算可得答案．【题目详解】根据题意，分3步进行分析：①语文、数学、外语三门必考科目，有1种选法；②在化学、生物、政治、地理四门科目中必选两门，有种选法；③在物理、历史两门科目中必选一门，有种选法；则这名学生的不同选科组合有种.故选：B．【题目点拨】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．5、A【解题分析】∵当时，不等式恒成立∴当时，不等式恒成立令，则∵∴当时，，即在上为减函数当时，，即在上为增函数∴，即令，则∴当时，，即在上为减函数当时，，即在上为增函数∴∵∴或故选A点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为；（3）若恒成立，可转化为.6、B【解题分析】分析：先排第一个节目，同时把C、D捆绑在一起作为一个元素，按第一个节目排A还是排B分类，如果第一个是B，则第二步排最后一个节目，如果第一个是A，则后面全排列即可．详解：由题意不同节目顺序有．故选B．点睛：本题考查了排列、组合题两种基本方法(1)限制元素(位置)优先法：①元素优先法：先考虑有限制条件的元素，再考虑其他元素；②位置优先法：先考虑有限制条件的位置，再考虑其他位置．(2)相邻问题捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”作全排列，最后再“松绑”——将“捆绑”元素在这些位置上作全排列．7、A【解题分析】

把分别代入和，求得的极经，进而求得，得到答案．【题目详解】由题意，把代入，可得，把代入，可得，结合图象，可得，故选A．【题目点拨】本题主要考查了简单的极坐标方程的应用，以及数形结合法的解题思想方法，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8、C【解题分析】

在下雨条件下吹东风的概率=既吹东风又下雨的概率下雨的概率【题目详解】在下雨条件下吹东风的概率为，选C【题目点拨】本题考查条件概率的计算，属于简单题．9、C【解题分析】

设出球的半径，根据题意得三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，结合体积公式求解即可．【题目详解】设球半径为，则由，可得，解得，故选C.【题目点拨】本题主要考查了几何体的体积公式的应用，考查学生空间想象能力以及计算能力，是基础题．10、D【解题分析】

设点、，由，可计算出点的横坐标的值，再利用抛物线的定义可求出.【题目详解】设点、，易知点，，，，解得，因此，，故选D.【题目点拨】本题考查抛物线的定义，解题的关键在于利用向量共线求出相应点的坐标，考查计算能力，属于中等题．11、A【解题分析】

利用已知条件，分类讨论化简可得.【题目详解】因为，所以当时，有，即；当时，则一定成立，而和均不一定成立；当时，有，即；综上可得选项A正确.故选：A.【题目点拨】本题主要考查不等关系的判定，不等关系一般是利用不等式的性质或者特值排除法进行求解，侧重考查逻辑推理的核心素养.12、B【解题分析】

分别假设甲、乙、丙、丁猜对比赛结果，逐一判断得到答案.【题目详解】假设甲猜对比赛：则观众丁猜测也正确，矛盾假设乙猜对比赛：3号得第一名，正确假设丙猜对比赛：则观众丁猜测也正确，矛盾假设丁猜对比赛：则观众甲和丙中有一人正确，矛盾故答案选B【题目点拨】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的逻辑推理能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，的坐标，利用距离公式，即可得到结论.【题目详解】解：以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，

设平面的法向量是，

，

∴由，可得

取得，

，

∴到平面的距离.故答案为：.【题目点拨】本题考查点到平面的距离，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题.14、【解题分析】

通过计算对应面积，即可求得概率.【题目详解】该点取自圆内，占有面积为，而该点到圆心的距离不大于1占有面积为：，故所求概率为：.【题目点拨】本题主要考查几何概型的相关计算，难度不大.15、.【解题分析】

利用二项展开式通项，令的指数为，解出参数的值，再将参数的值代入展开式，利用系数为，求出实数的值.【题目详解】二项式展开式的通项为，令，解得，由题意得，解得，故答案为：.【题目点拨】本题考查利用二项式指定项的系数求参数的值，解题的关键就是充分利用二项式定理求解，考查运算求解能力，属于中等题.16、.【解题分析】

设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，计算出平面的一个法向量，利用空间向量法计算出直线与平面所成角的正弦值.【题目详解】设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如下图所示空间直角坐标系.则点、、、、、，设平面的一个法向量为，则，.由，即，得，令，则，.可知平面的一个法向量为，又.，因此，直线与平面所成角的正弦值为，故答案为.【题目点拨】本题考查直线与平面所成角的正弦的计算，解题的关键就是建立空间直角坐标系，将问题利用空间向量法进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ【解题分析】类比三角形中的结论，猜想在四面体中的结论为S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.证明：如图，设点在底面的射影为点，过点作，交于，连接，就是平面PAB与底面ABC所成的二面角，则，，同理，，又，S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.考点：类比推理.18、（1）或（2）.【解题分析】试题分析：（1）函数去绝对值号化为分段函数即可求解；（2）分离参数得：在上恒成立，利用绝对值性质即可得到m范围内.试题解析：（1）由题意，令解得或，∴函数的定义域为或（2），∴，即.由题意，不等式的解集是，则在上恒成立.而，故.点睛：恒成立问题是常见数学问题，一般可考虑分离参数处理，分离参数后问题转化为求最值，可考虑均值不等式、函数最值，绝对值的性质、三角函数等方法来处理.19、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】

（1）在内过点作，根据题意得到，进而可得出结论；（2）过点作于点，连接，得到即是直线与平面所成角，根据题中条件，求出，，由余弦定理得到，进而可求出结果.【题目详解】（1）在内过点作，因为，，且，所以，因为，所以；（2）过点作于点，连接，因为平面平面，所以平面，所以即是直线与平面所成角；又在长方形中，，，所以，；因此，所以，又，由余弦定理可得：，所以，所以，因此直线与平面所成角的大小为.【题目点拨】本题主要考查线面垂直的证明，以及求直线与平面所成的角，熟记线面垂直的判定定理，以及几何法求线面角即可，属于常考题型.20、(1)见解析.（2）.(3)列联表见解析；有99%的把握认为“该校学生观看冬奥会累计时间与性别有关”.【解题分析】分析：（1）根据提干茎叶图数据计算得到相应的频率，从而得到频率分布直方图；（2）.因为（1）中的频率为，以频率估计概率；（3）补充列联表，计算得到卡方值即可做出判断.详解：（1）由题意知样本容量为20，频率分布直方图为：（2）因为（1）中的频率为,所以1名女生观看冬奥会时间不少于30小时的概率为.（3）因为（1）中的频率为，故可估计100位女生中累计观看时间小于20小时的人数是.所以累计观看时间与性别列联表如下：男生女生总计累计观看时间小于20小时504090累计观看时间小于20小时15060210总计200100300结合列