2024届内蒙古自治区包头市二中高二数学第二学期期末联考模拟试题含解析

2024届内蒙古自治区包头市二中高二数学第二学期期末联考模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．以下说法正确的是（）A．命题“，”的否定是“，”B．命题“，互为倒数，则”的逆命题为真C．命题“若，都是偶数，则是偶数”的否命题为真D．“”是“”的充要条件2．抛掷一枚均匀的骰子两次，在下列事件中，与事件“第一次得到6点”不互相独立的事件是（）A．“两次得到的点数和是12”B．“第二次得到6点”C．“第二次的点数不超过3点”D．“第二次的点数是奇数”3．已知是离散型随机变量，，，，则（）A． B． C． D．4．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．某工厂生产某种产品的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）有如下几组样本数据：根据相关检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为，则这组样本数据的回归直线方程是（）A． B． C． D．6．设数列的前项和为，若，且，则（）A．2019 B． C．2020 D．7．函数的大致图象是（）A． B．C． D．8．在三棱锥中，平面，，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．9．设，且，则的最小值为（）A． B．9 C．10 D．010．已知圆,在圆中任取一点,则点的横坐标小于的概率为（）A． B． C． D．以上都不对11．已知函数，是奇函数，则（）A．在上单调递减 B．在上单调递减C．在上单调递增 D．在上单调递增12．已知：，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设是上的单调函数，且对任意，都有，若是方程的一个解，且，则的值为_____．14．某篮球运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进3个球的概率为________(用数值作答).15．已知函数，则过原点且与曲线相切的直线方程为____________.16．正方体的棱长为2，是的中点，则到平面的距离______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）数列满足）.（1）计算，并由此猜想通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.18．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求和的直角坐标方程；（2）求上的点到距离的最小值．19．（12分）已知数列的前项和为，且，.（Ⅰ）试计算，，，，并猜想的表达式；（Ⅱ）求出的表达式，并证明（Ⅰ）中你的猜想.20．（12分）某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时）（1）应收集多少位女生样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.附：

0.10

0.05

0.010

0.005

2.706

3.841

6.635

7.879

21．（12分）已知函数.(1)若，求函数的单调区间；(2)若的极小值点，求实数a的取值范围．22．（10分）已知函数，函数，记集合.（I）求集合；（II）当时，求函数的值域.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

根据全称命题的否定是特称命题的知识判断A选项的正确性.写出原命题的逆命题并判断真假性，由此判断B选项的正确性..写出原命题的否命题并判断真假性，由此判断C选项的正确性.根据充要条件的知识判断D选项的正确性.【题目详解】对于A选项，原命题是全称命题，其否定是特称命题，注意到要否定结论，故否定应是“，”，所以A选项错误.对于B选项，原命题的逆命题是“若，则互为倒数”，是真命题，故B选项正确.对于C选项，原命题的否命题为“若不都是偶数，则不是偶数”，当都为奇数时，是偶数，故为假命题.所以C选项错误.对于D选项，由，所以.“”不是“”的充要条件.故D选项错误.综上所述可知，B选项正确.故选：B【题目点拨】本小题主要考查全称命题的否定、逆命题、否命题以及充要条件等知识，属于基础题.2、A【解题分析】

利用独立事件的概念即可判断．【题目详解】“第二次得到6点”，“第二次的点数不超过3点”，“第二次的点数是奇数”与事件“第一次得到6点”均相互独立，而对于“两次得到的点数和是12”则第一次一定是6点，第二次也是6点，故不是相互独立，故选D．【题目点拨】本题考查了相互独立事件，关键是掌握其概念，属于基础题．3、A【解题分析】分析：由已知条件利用离散型随机变量的数学期望计算公式求出a，进而求出，由此即可求出答案.详解：是离散型随机变量，，，，由已知得，解得，，.故选：A.点睛：本题考查离散型随机变量的方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的数学期望和方差计算公式的合理运用.4、B【解题分析】

化简复数，找出对应点得到答案.【题目详解】对应点为在第二象限故答案选B【题目点拨】本题考查了复数的化简，属于简单题.5、C【解题分析】由题意可知，，线性回归方程过样本中心，所以只有C选项满足．选C.【题目点拨】线性回归方程过样本中心，所以可以代入四个选项进行逐一检验．6、D【解题分析】

用，代入已知等式，得，可以变形为：，说明是等差数列，故可以求出等差数列的通项公式，最后求出的值.【题目详解】因为，所以，所以数列是以为公差的等差数列，，所以等差数列的通项公式为，故本题选D.【题目点拨】本题考查了公式的应用，考查了等差数列的判定义、以及等差数列的通项公式.7、C【解题分析】

根据特殊位置的所对应的的值，排除错误选项，得到答案.【题目详解】因为所以当时，，故排除A、D选项，而，所以即是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B项，故选C项.【题目点拨】本题考查根据函数的解析式判断函数图象，属于简单题.8、C【解题分析】

先求出的外接圆的半径，然后取的外接圆的圆心，过作，且，由于平面，故点为三棱锥的外接球的球心，为外接球半径，求解即可.【题目详解】在中，，，可得，则的外接圆的半径，取的外接圆的圆心，过作，且，因为平面，所以点为三棱锥的外接球的球心，则，即外接球半径，则三棱锥的外接球的表面积为.故选C.【题目点拨】本题考查了三棱锥的外接球表面积的求法，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.9、B【解题分析】

利用柯西不等式得出最小值．【题目详解】（x2）（y2）≥（x）2＝1．当且仅当xy即xy=时取等号．故选：B．【题目点拨】本题考查了柯西不等式的应用，熟记不等式准确计算是关键，属于基础题．10、C【解题分析】分析：画出满足条件的图像，计算图形中圆内横坐标小于的面积，除以圆的面积。详解：由图可知，点的横坐标小于的概率为，故选C点睛：几何概型计算面积比值。11、B【解题分析】分析：因为是奇函数，所以，故，令，则的单调减区间为，从而可以知道在上单调递减.详解：，因是奇函数，故，也即是，化简得，所以，故，从而，又，故，因此.令，，故的单调减区间为，故在上单调递减.选B.点睛：一般地，如果为奇函数，则，如果为偶函数，则.12、A【解题分析】

若恒成立,则的最小值大于,利用均值定理及“1”的代换求得的最小值,进而求解即可.【题目详解】由题,因为,,,所以,当且仅当,即,时等号成立,因为恒成立,则,即,解得,故选:A【题目点拨】本题考查均值不等式中“1”的代换的应用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立问题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

先根据题意求函数解析式，再根据导数研究新函数性质，进而确定a的值．【题目详解】根据题意是上的单调函数，且在定义域内都有，则可知的值为一个常数C，即，故，解得，则函数解析式为，，即，构造新函数，求导得，函数单调递增，因为，，，故，又，所以．【题目点拨】本题考查求函数原函数和用导函数判断函数单调性，根据函数根的范围确定参数值，运用了零点定理，有一定的难度．14、【解题分析】

直接运用独立重复试验次，有次发生的事件的概率公式进行求解.【题目详解】投球10次，恰好投进3个球的概率为,故答案为.【题目点拨】本题考查了独立重复试验次，有次发生的事件的概率公式，考查了数学运算能力.15、【解题分析】

设切点坐标为，利用导数求出曲线在切点的切线方程，将原点代入切线方程，求出的值，于此可得出所求的切线方程．【题目详解】设切点坐标为，，，，则曲线在点处的切线方程为，由于该直线过原点，则，得，因此，则过原点且与曲线相切的直线方程为，故答案为．【题目点拨】本题考查导数的几何意义，考查过点作函数图象的切线方程，求解思路是：（1）先设切点坐标，并利用导数求出切线方程；（2）将所过点的坐标代入切线方程，求出参数的值，可得出切点的坐标；（3）将参数的值代入切线方程，可得出切线的方程．16、【解题分析】

利用线面平行，将点到平面的距离，转化为到平面的距离来求解.【题目详解】由于，所以平面，因此到平面的距离等于到平面的距离.连接，交点为，由于，所以平面，所以为所求点到面的距离，由正方形的性质可知.故答案为：【题目点拨】本小题主要考查空间点到面的距离，考查线面平行的判定，考查空间想象能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）证明见解析.【解题分析】试题分析：（1）分别令，可求解的值，即可猜想通项公式；（2）利用数学归纳法证明.试题解析：（1），由此猜想；（2）证明：当时，，结论成立；假设（，且），结论成立，即当（，且）时，，即，所以，这表明当时，结论成立，综上所述，.考点：数列的递推关系式及数学归纳法的证明.18、（1）曲线的直角坐标方程为：，曲线的直角坐标方程为：（2）【解题分析】

（1）在曲线的参数方程中消去参数可得出曲线的直角坐标方程，将代入直线的极坐标方程可得出直线的直角坐标方程；（2）设曲线上的点的坐标为，利用点到直线的距离公式以及二次函数的基本性质可求出曲线上的点到直线距离的最小值。【题目详解】（1）由,得,曲线的直角坐标方程为：.由，代入曲线的直角坐标方程为：；（2）设曲线上的点为，由点到直线的距离得，故当且仅当时，上的点到距离的最小值.【题目点拨】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的互化，考查参数方程的应用，解题时要熟悉参数方程与极坐标方程所适应的基本类型，考查计算能力，属于中等题。19、(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)，证明见解析.【解题分析】分析：（1）利用公式，将已知转换成关于的递推公式，计算，，，，在通过分子和分母的规律猜想出.（2）根据，结合通项公式的累乘法求出.再运用求和证明（1）的猜想.详解：（Ⅰ）由，得，，，，猜想.（Ⅱ）证明：因为①，所以②，①-②得，所以.化简得，所以，，，…，，把上面各式相乘得，所以，，.点睛：数列问题注意两个方面的问题：（1）的特殊性；（2）时，①消去，如，可以计算；②消去，如，可以计算.20、（1）90；（2）0.75；（3）有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.【解题分析】试题分析：（1）由分层抽样性质，得到；（2）由频率分布直方图得；（3）利用2×2列联表求.试题解析：（1）由，所以应收集90位女生的样本数据．（2）由频率发布直方图得，该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率为0.75.（3）由（2）知，300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时453075每周平均体育运动时间超过4小时16560225总计21090300结合列联表可算得有95％的把握认为“该校学生的平均体育运动时间与性别有关”点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．21、（1）单调减区间为，单调增区间为（2）【解题分析】

(1)将参数值代入得到函数的表达式，将原函数求导得到导函数，根据导函数的正负得到函数的