四川省眉山市彭山区2024届数学高二第二学期期末综合测试模拟试题含解析

四川省眉山市彭山区2024届数学高二第二学期期末综合测试模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某军工企业为某种型号的新式步枪生产了一批枪管，其口径误差（单位：微米）服从正态分布，从已经生产出的枪管中随机取出一只，则其口径误差在区间内的概率为（）（附：若随机变量服从正态分布，则，）A． B． C． D．2．抛物线的焦点坐标为（）A． B． C． D．3．某班微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名同学同时抢4个红包，每人最多抢一个红包，且红包全被抢光，4个红包中有两个2元，两个5元(红包中金额相同视为相同的红包)，则甲、乙两人同抢到红包的情况有()A．36种 B．24种 C．18种 D．9种4．已知双曲线的方程为，则下列说法正确的是（）A．焦点在轴上 B．渐近线方程为C．虚轴长为4 D．离心率为5．为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入万8.38.69.911.112.1支出万5.97.88.18.49.8根据上表可得回归直线方程，其中，元，据此估计，该社区一户收入为16万元家庭年支出为（）A．12.68万元 B．13.88万元 C．12.78万元 D．14.28万元6．在的展开式中，含项的系数为（）A．45 B．55 C．120 D．1657．设复数，则复数的共轭复数是()A． B． C． D．8．已知曲线的参数方程为：，且点在曲线上，则的取值范围是（）A． B． C． D．9．某锥体的正视图和侧视图均为如图所示的等腰三角形，则该几何体的体积最小值为（）A． B． C．1 D．210．若复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．若复数（）不是纯虚数，则（）A． B． C． D．且12．已知l、m、n是空间三条直线，则下列命题正确的是（）A．若l//m，l//n，则m//nB．若l⊥m，l⊥n，则m//nC．若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线AB//lD．若三条直线l、m、n两两相交，则直线l、m、n共面二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数f(x)＝axlnx＋b(a，b∈R)，若f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，则a＋b＝________.14．的展开式中，的系数为_____15．给出定义：对于三次函数设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，经过研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.已知函数.设.若则__________．16．三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝AB＝AC＝BC，M是PA的中点，N是AB的中点，当二面角P﹣AB﹣C为时，则直线BM与CN所成角的余弦值为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数,（）.（1）当时，求的单调区间；（2）设点，是函数图象的不同两点，其中，，是否存在实数，使得，且函数在点切线的斜率为，若存在，请求出的范围；若不存在，请说明理由.18．（12分）已知，不等式的解集是．（）求的值．（）若存在实数解，求实数的取值范围．19．（12分）甲将要参加某决赛，赛前，，，四位同学对冠军得主进行竞猜，每人选择一名选手，已知，选择甲的概率均为，，选择甲的概率均为，且四人同时选择甲的概率为，四人均末选择甲的概率为．（1）求，的值；（2）设四位同学中选择甲的人数为，求的分布列和数学期望．20．（12分）已知函数.（1）若函数存在不小于的极小值，求实数的取值范围；（2）当时，若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.21．（12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB="A"A1，∠BAA1=60°.（Ⅰ）证明AB⊥A1C;（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．22．（10分）已知，不等式的解集为.（1）求；（2）当时，证明：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

根据已知可得，结合正态分布的对称性，即可求解.【题目详解】.故选：C【题目点拨】本题考查正态分布中两个量和的应用，以及正态分布的对称性，属于基础题.2、C【解题分析】

根据抛物线的标准方程可得出抛物线的焦点坐标.【题目详解】由题意可知，抛物线的焦点坐标为，故选：C.【题目点拨】本题考查抛物线焦点坐标的求解，考查计算能力，属于基础题.3、C【解题分析】

分三种情况：（1）都抢到2元的红包（2）都抢到5元的红包（3）一个抢到2元，一个抢到5元，由分类计数原理求得总数。【题目详解】甲、乙两人都抢到红包一共有三种情况：（1）都抢到2元的红包，有种；（2）都抢到5元的红包，有种；（3）一个抢到2元，一个抢到5元，有种，故总共有18种．故选C．【题目点拨】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，是根据得红包情况进行分类。4、B【解题分析】

根据双曲线方程确定双曲线焦点、渐近线方程、虚轴长以及离心率，再判断得到答案.【题目详解】双曲线的方程为，则双曲线焦点在轴上；渐近线方程为；虚轴长为；离心率为，判断知正确.故选：【题目点拨】本题考查了双曲线的焦点，渐近线，虚轴长和离心率，意在考查学生对于双曲线基础知识的掌握情况.5、A【解题分析】

由已知求得，，进一步求得，得到线性回归方程，取求得值即可．【题目详解】，．又，∴．∴．取，得万元，故选A．【题目点拨】本题主要考查线性回归方程的求法，考查了学生的计算能力，属于中档题．6、D【解题分析】分析：由题意可得展开式中含项的系数为，再利用二项式系数的性质化为，从而得到答案．详解：的展开式中含项的系数为故选D.点睛：本题主要考查二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．7、B【解题分析】分析：根据复数模的定义化简复数，再根据共轭复数概念求结果.详解：因为，所以,所以复数的共轭复数是,选B.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为8、C【解题分析】分析：由题意得曲线C是半圆，借助已知动点在单位圆上任意动，而所求式子，的形式可以联想成在单位圆上动点P与点C（0，1）构成的直线的斜率，进而求解．详解：∵即

其中由题意作出图形，，

令，则可看作圆上的动点到点的连线的斜率而相切时的斜率，

由于此时直线与圆相切，

在直角三角形中，，由图形知，的取值范围是则的取值范围是．

故选C．点睛：此题重点考查了已知两点坐标写斜率，及直线与圆的相切与相交的关系，还考查了利用几何思想解决代数式子的等价转化的思想．9、B【解题分析】

锥体高一定，底面积最小时体积最小，底面图形可以是圆，等腰直角三角形，正方形，等腰直角三角形是面积最小，计算得到答案.【题目详解】锥体高一定，底面积最小时体积最小，底面图形可以是圆，等腰直角三角形，正方形，等腰直角三角形是面积最小故答案选B【题目点拨】本题考查了锥体的体积，判断底面是等腰直角三角形是解题的关键.10、C【解题分析】分析：根据复数的乘法运算进行化简，然后根据复数的几何意义，即可得到结论．详解：∵z=（﹣8+i）i=﹣8i+i2=﹣1﹣8i，对应的点的坐标为（﹣1，﹣8），位于第三象限，故选C．点睛：本题主要考查复数的几何意义，利用复数的运算先化简是解决本题的关键，属于基础题．11、A【解题分析】

先解出复数（）是纯虚数时的值，即可得出答案．【题目详解】若复数（）是纯虚数，根据纯虚数的定义有：，则复数（）不是纯虚数，故选A【题目点拨】本题考查虚数的分类，属于基础题．12、A【解题分析】分析：由公理4可判断A，利用空间直线之间的位置关系可判断B，C，D的正误，从而得到答案．详解：由公理4可知A正确；若l⊥m，l⊥n，则m∥n或m与n相交或异面，故B错误；若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线AB∥l或AB与l异面，故C错误；若三条直线l，m，n两两相交，且不共点，则直线l，m，n共面，故D错误．故选A．点睛：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查空间中直线与直线之间的位置关系，掌握空间直线的位置关系是判断的基础，对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断．还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4【解题分析】，由的图像在处的切线方程为，易知，即，，即，则，故答案为4.14、【解题分析】

根据题意，由二项式定理可得的展开式的通项，令的系数为1，解可得的值，将的值导代入通项，计算可得答案．【题目详解】由二项式的展开式的通项为，令，解可得，则有，即的系数为1，故答案为：1．【题目点拨】本题主要考查了二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．．15、-4037【解题分析】

由题意对已知函数求两次导数,令二阶导数为零,即可求得函数的中心对称,即有,,借助倒序相加的方法,可得进而可求的解析式,求导,当代入导函数解得,计算求解即可得出结果.【题目详解】函数函数的导数由得解得,而故函数关于点对称,故，两式相加得，则.同理,,,令,则,,故函数关于点对称,,两式相加得,则.所以当时,解得:,所以则.故答案为:-4037.【题目点拨】本题考查对新定义的理解,考查二阶导数的求法,仔细审题是解题的关键,考查倒序法求和,难度较难.16、【解题分析】

先连结PN，根据题意，∠PNC为二面角P－AB－C的平面角，得到∠PNC＝，根据向量的方法，求出两直线方向向量的夹角，即可得出结果.【题目详解】解：连结PN，因为N为AB中点，PA＝PB，CA＝CB，所以，，所以，∠PNC为二面角P－AB－C的平面角，所以，∠PNC＝，设PA＝PB＝AB＝AC＝BC＝2，则CN＝PN＝BM＝，，设直线BM与CN所成角为，，【题目点拨】本题主要考查异面直线所成的角，灵活运用向量法求解即可，属于常考题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）的增区间为,减区间为；（2）存在实数取值范围是.【解题分析】

（1）分别研究，两种情况，先对函数求导，利用导数的方法判断其单调性，即可得出结果；（2）先由题意，得到，再根据，得到，得出，再由导数的几何意义，结合题中条件，得到，构造函数，用导数的方法研究函数的单调性，进而可得出结果.【题目详解】(1)当时,,令得,令得.当时，，所以在上是增函数。所以当时，的增区间为,减区间为；(2)由题意可得：，，所以，，令，则在单调递增，单调递减,，当时，，所以存在实数取值范围是.【题目点拨】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究单调性，最值等，属于常考题型.18、(1),(2).【解题分析】试题分析：（1）通过讨论a的范围，求出不等式的解集，根据对应关系求出a的值即可；（2）根据不等式的性质求出最小值，得到关于k的不等式，解出即可．解析：（1）由，得，即，当时，，所以，解得；当时，，所以无解.所以.(2)因为，所以要使存在实数解，只需，所以实数的取值范围是.点睛：本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，以及函数恒成立求参的方法．19、(1)(2)的分布列见解析；数学期望为2【解题分析】

（1）根据题意，利用相互独立事件概率计算公式列出关于的方程组，即可求解出答案．（2）根据题意先列出随机变量的所有可能取值，然后根据独立重复事件的概率计算公式得出各自的概率，列出分布列，最后根据数学期望的计算公式求解出结果．【题目详解】解：（1）由已知可得解得（2）可能的取值为0，1，2，3，4，，，，，．的分布列如下表：01234．【题目点拨】本题主要考查逆用相互独立事件概率计算公式求解概率问题以及离散型随机变量的分布列和期望的求解．20、（1）；（2）.【解题分析】

（1）利用导数分析函数的单调性，求出函数的极值，然后令极值大于等于，解出不等式可得出实数的取值范围；（2）构造函数，问题等价于，对实数进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，结合条件可得出实数的取值范围.【题目详解】（1）函数的定义域为，.当时，，函数在区间上单调递减，此时，函数无极值；当时，令，得，又当时，；当时，.所以，函数在时取得极小值，且极小值为.令，即，得.综上所述，实数的取值范围为；（2）当时，问题等价于，记，由（1）知，在区间上单调递减，所以在区间上单调递增，所以，①当时，由可知，所以成立；②当时，的导函数为恒成立，所以在区间上单调递增，所以.所以，函数在区间上单调递增，从而，命题成立.③当时，显然在区间上单调递增，记，则，当时，，所以，函数在区间上为增函数，即当时，.，，所以在区间内，存在唯一的，使得，且当时，，即当时，，不符合题意，舍去.综上所述，实数的取值范围是.【题目点拨】本题考查利用导数求函数的极值，以及利用导数研究函数不等式恒成立问题，常利用分类讨论法，利用导数分析函数的单调性，转化为函数的最值来求解，考查分类讨论思想的应用，属于难题.21、（1）见解析（2）.【解题分析】

试题分析：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；（Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，可得，，的