广东省清连中学2024届数学高二第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析

广东省清连中学2024届数学高二第二学期期末学业水平测试模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．过点且与平行的直线与圆：交于，两点，则的长为（）A． B． C． D．2．若是的增函数,则的取值范围是()A． B． C． D．3．若为虚数单位，复数与的虚部相等，则实数的值是A． B．2 C．1 D．4．设集合，则下列结论正确的是()A． B． C． D．5．已知函数是奇函数，当时，，当时，，则的解集时（）A． B．C． D．6．函数的图象在点处的切线方程是，若，则（）A． B． C． D．7．设，则的值为（）A．－7 B． C．2 D．78．已知平面，，直线，满足，，则下列是的充分条件是（）A． B． C． D．9．椭圆为参数)的离心率是()A． B． C． D．10．若实数满足不等式组，则的最大值为（）A．8 B．10 C．7 D．911．设函数，若的值域为，则实数的取值范围是()A． B．C． D．12．已知直线l的参数方程为x=t+1，y=t-1，（tA．0∘ B．45∘ C．90二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．抛物线上的点到其焦点的距离为______.14．已知过点的直线交轴于点，抛物线上有一点使,若是抛物线的切线，则直线的方程是___．15．已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点，，，四点，则的最小值为__________．16．在体积为9的斜三棱柱ABC—A1B1C1中，S是C1C上的一点，S—ABC的体积为2，则三棱锥S—A1B1C1的体积为___．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面真角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若曲线与曲线交于M，N两点，直线OM和ON的斜率分别为和，求的值．18．（12分）如图,已知正四棱柱的底面边长为2,侧棱长为3,,垂足为,交于点.(1)求证:⊥平面;(2)记直线与平面所成的角,求的值.19．（12分）已知数列的前项和为,且.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，证明：.20．（12分）已知四棱锥的底面是正方形，底面.（1）求证：直线平面；（2）当的值为多少时，二面角的大小为？21．（12分）已知．（1）讨论的单调性；（2）若存在及唯一正整数，使得，求的取值范围．22．（10分）如图，圆柱的轴截面是，为下底面的圆心，是母线，.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

由题意可得直线，求得圆心到直线距离，再由弦长公式即可求解【题目详解】设直线过点，可得，则直线圆的标准方程为，圆心为，圆心到直线距离，，故选D【题目点拨】本题考查用设一般方程求平行直线方程以及几何法求圆的弦长问题2、A【解题分析】

利用函数是上的增函数，保证每支都是增函数，还要使得两支函数在分界点处的函数值大小，即，然后列不等式可解出实数的取值范围．【题目详解】由于函数是的增函数，则函数在上是增函数，所以，，即；且有，即，得，因此，实数的取值范围是，故选A.【题目点拨】本题考查分段函数的单调性与参数，在求解分段函数的单调性时，要注意以下两点：（1）确保每支函数的单调性和原函数的单调性一致；（2）结合图象确保各支函数在分界点处函数值的大小关系．3、D【解题分析】

先化简与，再根据它们虚部相等求出m的值.【题目详解】由题得，因为复数与的虚部相等，所以.故选D【题目点拨】本题主要考查复数的运算和复数相等的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.4、B【解题分析】分析：先根据解分式不等式得集合N，再根据数轴判断集合M,N之间包含关系，以及根据交集定义求交集.详解：因为，所以,因此，，选B.点睛：集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．5、A【解题分析】

对的范围分类讨论，利用已知及函数是奇函数即可求得的表达式，解不等式即可．【题目详解】因为函数是奇函数，且当时，所以当，即：时，，当，即：时，可化为：，解得：.当，即：时，利用函数是奇函数，将化为：，解得：所以的解集是故选A【题目点拨】本题主要考查了函数的奇偶性应用，还考查了分类思想及计算能力，属于中档题．6、D【解题分析】分析：先求出和，再求即得.详解：由题得因为函数的图象在点处的切线方程是，所以所以故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查求导和导数的几何意义，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是7、D【解题分析】

利用赋值法，令即可确定的值.【题目详解】题中所给等式中，令可得：，即，令可得：，即，据此可知：的值为.本题选择D选项.【题目点拨】本题主要考查赋值法及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8、D【解题分析】

根据直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项的充分性和必要性，判断得到答案.【题目详解】当时，可以，或，或相交，不充分，错误；当时，可以，或，或相交，不充分，错误；当时，不能得到，错误；当，时，则，充分性；当时，，故，与关系不确定，故不必要，正确；故选：.【题目点拨】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，充分条件，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.9、A【解题分析】

先求出椭圆的普通方程，再求其离心率得解.【题目详解】椭圆的标准方程为，所以c=.所以e＝.故答案为A【题目点拨】(1)本题主要考查参数方程和普通方程的互化，考查椭圆的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)在椭圆中，10、D【解题分析】

根据约束条件，作出可行域，将目标函数化为，结合图像，即可得出结果.【题目详解】由题意，作出不等式组表示的平面区域如下图所示，目标函数可化为，结合图像可得，当目标函数过点时取得最大值，由解得.此时.选D。【题目点拨】本题主要考查简单的线性规划问题，通常需要作出可行域，转化目标函数，结合图像求解，属于常考题型.11、B【解题分析】很明显，且应满足当时，类指数函数的函数值不大于一次函数的函数值，即，解得：，即实数的取值范围是.本题选择B选项.点睛：(1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．12、B【解题分析】

将直线l的参数方程化为普通方程，得出该直线的斜率，即可得出该直线的倾斜角。【题目详解】直线l的直角坐标方程为x-y-2=0，斜率k=tanα=1,所以α=45【题目点拨】本题考查利用直线的参数方程求直线的倾斜角，参数方程化为普通方程是常用方法，而参数方程化为普通方程有两种常见的消参方法：①加减消元法；②代入消元法；③平方消元法。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、5【解题分析】

先计算抛物线的准线，再计算点到准线的距离.【题目详解】抛物线，准线为：点到其焦点的距离为点到准线的距离为5故答案为5【题目点拨】本题考查了抛物线的性质，意在考查学生对于抛物线的理解.14、或.【解题分析】分析：由题设，求导得到直线然后分和两种情况讨论即可得到直线的方程.详解：由题设，求导即，则直线当时，验证符合题意，此时，故，当时，，，或（重合，舍去）此时，故点睛：本题考查曲线的切线方程的求法，垂直关系的斜率表示等，属基础题.15、13【解题分析】

由抛物线的定义可知：，从而得到，同理，分类讨论，根据不等式的性质，即可求得的最小值.【题目详解】因为，所以焦点，准线，由圆：，可知其圆心为，半径为，由抛物线的定义得：，又因为，所以，同理，当轴时，则，所以，当的斜率存在且不为0时，设时，代入抛物线方程，得：，，所以，当且仅当，即时取等号，综上所述，的最小值为13，故答案是：13.【题目点拨】该题考查的是有关抛物线的简单性质的问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离，直线与抛物线相交的问题，基本不等式求最值问题，在解题的过程中，注意认真审题是正确解题的关键.16、【解题分析】

由已知棱柱体积与棱锥体积可得S到下底面距离与棱柱高的关系，进一步得到S到上底面距离与棱锥高的关系，则答案可求．【题目详解】设三棱柱的底面积为，高为，则，再设到底面的距离为，则，得，所以，则到上底面的距离为，所以三棱锥的体积为．故答案为1．【题目点拨】本题考查棱柱、棱锥体积的求法，考查空间想象能力、思维能力与计算能力，考查数形结合思想，三棱锥体积为，本题是中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），（2）1【解题分析】

（1）消去t即可得的普通方程，通过移项和可得的普通方程；（2）由可得的几何意义是斜率，将的参数方程代入的普通方程，得到关于t的方程且，由韦达定理可得．【题目详解】解：（1）．由，（t为参数），消去参数t，得，即的普通方程为，由，得，即，将代入，得，即的直角坐标方程为．（2）．由（t为参数），得，则的几何意义是抛物线上的点（原点除外）与原点连线的斜率．由题意知，将，（t为参数）代入，得．由，且得，且．设M，N对应的参数分别为、，则，，所以．【题目点拨】本题考查参数方程，极坐标方程化为普通方程和参数方程在几何问题中的应用．18、（1）见解析；（2）．【解题分析】分析：此题建系比较容易，所以两问都用建系处理，以为坐标原点,分别以直线所在直线为轴,轴,轴，分别写出坐标，设，利用解得所以，所以平面；(2)计算平面法向量，所以即可解题详解：(1)如图,以为坐标原点,分别以直线所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系，易得,设,则，因为,所以，解得,即,又,,所以,所以,且，所以，又，所以平面.(2)，，，设平面的一个法向量，则即令，则，即，.点睛：空间向量是解决立体几何问题很好的方法，也是高考每年的必考考点，所以在遇到此类问题时要注意合理的建立坐标系，建系的原则要尽量使得更多的点落在坐标轴上，这样方便计算.19、（1）；（2）证明见解析.【解题分析】试题分析：(1)由时，利用，结合等差数列的定义和通项公式即可得到数列的通项公式；（2）由（1）得，运用裂项相消法求和，化简整理，然后利用放缩法可证明.试题解析：(1)当n=1时,a1=S1=3;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-=2n+1.当n=1时,也符合上式,故an=2n+1.(2)因为==,故Tn==【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.20、(1)证明见解析；(2)1.【解题分析】分析：（1）由线面垂直的性质可得，由正方形的性质可得，由线面垂直的判定定理可证平面；（2）设，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，设，分别利用向量垂直数量积为零列方程组，求出平面的法向量与平面的法向量，由空间向量夹角余弦公式列方程可得结果.详解：（1）证明：∵平面，平面，∴，∵四边形是正方形，∴，，∴平面.（2）解：设，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，为计算方便，不妨设，则，，，，则，，.设平面的法向量为，则，令，则，，∴.设平面的法向量为，，令，又，则，∴.要使二面角的大小为，必有，∴，∴，∴.即当时，二面角的大小为.点睛：本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21、（1）的单调递减区间是，单调递增区间是;(2)的取值范围是.【解题分析】试题分析：（1）求出函数的导函数，通过对导函数符号的讨论可得函数的单调性．（2）由题意得函数在上的值域为．结合题意可将问题转化为当时，满足的正整数解只有1个．通过讨论的单调性可得只需满足，由此可得所求范围．试题解析：（1）由题意知函数的定义域为．因为，所以，令，则，所以当时，是增函数，又，故当时，单调递减，当时，单调递增．所以上