深圳市龙岗区2024届数学高二第二学期期末考试试题含解析

深圳市龙岗区2024届数学高二第二学期期末考试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知a=tan(-π5)A．a>b>c B．c>b>aC．c>a>b D．b>c>a2．设，，若，则的最小值为A． B．8 C．9 D．103．定义函数为不大于的最大整数，对于函数有以下四个命题：①；②在每一个区间，上，都是增函数；③；④的定义域是，值域是.其中真命题的序号是（）A．③④ B．①③④ C．②③④ D．①②④4．已知数列是等比数列，其前项和为，，则（）A． B． C．2 D．45．某食堂一窗口供应2荤3素共5种菜，甲、乙两人每人在该窗口打2种菜，且每人至多打1种荤菜，则两人打菜方法的种数为（）A．64 B．81 C．36 D．1006．不等式的解集是()A．或 B．C．或 D．7．周末，某高校一学生宿舍有甲乙丙丁四位同学分别在做不同的四件事情，看书、写信、听音乐、玩游戏，下面是关于他们各自所做事情的一些判断：①甲不在看书，也不在写信；②乙不在写信，也不在听音乐；③如果甲不在听音乐，那么丁也不在写信；④丙不在看书，也不在写信.已知这些判断都是正确的，依据以上判断，乙同学正在做的事情是（）A．玩游戏 B．写信 C．听音乐 D．看书8．定义在R上的偶函数满足，当时，，设函数，，则与的图象所有交点的横坐标之和为（）A．3 B．4 C．5 D．69．定义在上的函数，若对于任意都有且则不等式的解集是（）A． B． C． D．10．将点的极坐标化成直角坐标为（）A． B． C． D．11．如果f(n)∈N+),那么f(n+1)-f(n)等于()A． B． C． D．12．已知数据的中位数为，众数为，平均数为，方差为，则下列说法中，错误的是（）A．数据的中位数为B．数据的众数为C．数据的平均数为D．数据的方差为二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若的展开式中常数项为，则展开式中的系数为__________.14．已知双曲线的左右顶点分别是，右焦点，过垂直于轴的直线交双曲线于两点，为直线上的点，当的外接圆面积达到最小时，点恰好落在（或）处，则双曲线的离心率是__________．15．如图是棱长为的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，直线与所成角的余弦值为________．16．总决赛采用7场4胜制，2018年总决赛两支球队分别为勇士和骑士，假设每场比赛勇士获胜的概率为0.6，骑士获胜的概率为0.4，且每场比赛的结果相互独立，则恰好5场比赛决出总冠军的概率为_______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（，）的最大值为正实数，集合，集合.（1）求和；（2）定义与的差集：，设、、设均为整数，且，为取自的概率，为取自的概率，写出与的二组值，使，.18．（12分）已知函数.（1）当时，解不等式；（2）当时，不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.19．（12分）用数学归纳法证明：当时，能被7整除．20．（12分）若展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列.（1）求的值及展开式中二项式系数最大的项；（2）此展开式中是否有常数项，为什么？21．（12分）已知的角、、所对的边分别是、、，设向量，，.（1）若，求证：为等腰三角形；（2）若，边长，角，求的面积.22．（10分）盒子中放有大小形状完全相同的个球，其中个红球，个白球.（1）某人从这盒子中有放回地随机抽取个球，求至少抽到个红球的概率；（2）某人从这盒子中不放回地从随机抽取个球，记每抽到个红球得红包奖励元，每抽到个白球得到红包奖励元，求该人所得奖励的分布列和数学期望.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

首先通过诱导公式，化简三个数，然后判断它们的正负性，最后利用商比法判断a,c的大小，最后选出正确答案.【题目详解】a=tan而ac=【题目点拨】本题考查了诱导公式、以及同角三角函数关系，以及商比法判断两数大小.在利用商比法时，要注意分母的正负性.2、C【解题分析】

根据题意可知，利用“1”的代换，将化为，展开再利用基本不等式，即可求解出答案。【题目详解】由题意知，，，且，则当且仅当时，等号成立，的最小值为9，故答案选C。【题目点拨】本题主要考查了利用基本不等式的性质求最值的问题，若不满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等。3、D【解题分析】

画出函数的图象，根据图象可知函数的周期性、单调性、定义域与值域，从而可判断各命题的真假.【题目详解】画出的图象，如图所示，可知是最小正周期为1的函数，当时，，可得，①正确；由图可知，在每一个区间，上，都是增函数，②正确；由图可知，的定义域是，值域是，④正确；由图可知，，③是错误的.真命题的序号是①②④，故选D.【题目点拨】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的单调性、函数的周期性、函数的定义域与值域，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.4、A【解题分析】

由题意，根据等比数列的通项公式和求和公式，求的公比，进而可求解，得到答案．【题目详解】由题意得，，，公比，则，故选A．【题目点拨】本题主要考查了等比数列的通项公式和求和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5、B【解题分析】

由题甲，乙均有两种情况，一荤一素和两素，再由分步原理可得种数。【题目详解】甲有两种情况：一荤一素，种；两素，种.故甲共有种，同理乙也有9种，则两人打菜方法的种数为种.故选B.【题目点拨】本题考查分类加法和分步乘法计数原理，属于基础题。6、D【解题分析】

先求解出不等式，然后用集合表示即可。【题目详解】解：，即，即，故不等式的解集是，故选D。【题目点拨】本题是集合问题，解题的关键是正确求解绝对值不等式和规范答题。7、D【解题分析】

根据事情判断其对应关系进行合情推理进而得以正确分析【题目详解】由于判断都是正确的，那么由①知甲在听音乐或玩游戏；由②知乙在看书或玩游戏；由③知甲听音乐时丁在写信；由④知丙在听音乐或玩游戏，那么甲在听音乐，丙在玩游戏，丁在写信，由此可知乙肯定在看书故选：D．【题目点拨】本题考查了合情推理，考查分类讨论思想，属于基础题．8、B【解题分析】

根据题意，分析可得函数与的图象都关于直线对称，作出两个函数图象，分析其交点情况即可得到答案.【题目详解】由题意，函数满足可知，函数的图象关于直线对称，又函数为偶函数，所以函数的图象关于轴对称，由函数可知，函数的图象关于直线对称，画出函数与的图象如图所示：设图中四个交点的横坐标为，由图可知，，所以函数与的图象所有交点的横坐标之和为4.故选：B【题目点拨】本题考查函数的奇偶性和对称性、指数函数的图象与性质；考查数形结合思想和运算求解能力；利用函数的奇偶性和对称性作出函数图象是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.9、D【解题分析】

令,求导后根据题意知道在上单调递增，再求出，即可找到不等式的解集。【题目详解】令则所以在上单调递增，又所以的解集故选D【题目点拨】本题考查利用导数解不等式，属于中档题。10、C【解题分析】

利用极坐标与直角坐标方程互化公式即可得出．【题目详解】x＝cos，y＝sin，可得点M的直角坐标为．故选：C．【题目点拨】本题考查了极坐标与直角坐标方程互化公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11、D【解题分析】分析：直接计算f(n+1)-f(n).详解：f(n+1)-f(n)故答案为D.点睛：（1）本题主要考查函数求值，意在考查学生对该知识的掌握水平.（2）不能等于，因为前面还有项没有减掉.12、D【解题分析】

利用中位数、众数、平均数、方差的性质求解．【题目详解】若数据的中位数为，众数为，平均数为,则由性质知数据的中位数,众数，平均数均变为原来的2倍，故正确；则由方差的性质知数据的方差为4p,故D错误；故选D．【题目点拨】本题考查中位数、众数、平均数、方差的应用，解题时要认真审题，是基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

首先求出的展开式的通项公式，通过计算常数项求出a的值，再利用通项公式求的系数.【题目详解】展开式的通项公式为，当时，常数项为，所以．当时，，展开式中的系数为．【题目点拨】本题考查二项式定理展开式的应用，考查二项式定理求特定项的系数，解题的关键是求出二项式的通项，属于基础题.14、【解题分析】

设点的坐标为，求出点的坐标，由的外接圆面积取最小值时，取到最大值，则，利用基本不等式求出的最小值，利用等号成立求出的表达式，令求出双曲线的离心率的值．【题目详解】如下图所示，将代入双曲线的方程得，得，所以点，设点的坐标为，由的外接圆面积取最小值时，则取到最大值，则取到最大值，，，，当且仅当，即当时，等号成立，所以，当时，最大，此时的外接圆面积取最小值，由题意可得，则，此时，双曲线的离心率为，故答案为．【题目点拨】本题考查双曲线离心率的求解，考查利用基本不等式求最值，本题中将三角形的外接圆面积最小转化为对应的角取最大值，转化为三角函数值的最值求解，考查化归与转化思想的应用，运算量较大，属于难题．15、【解题分析】

结合正方体的平面展开图，作出正方体的直观图，可知是正三角形，从而可知直线与所成角为，即可得到答案.【题目详解】作出正方体的直观图，连接，，易证三角形是正三角形，而，故直线与所成角为，则直线与所成角的余弦值为.【题目点拨】本题考查了正方体的结构特征，考查了异面直线的夹角的求法，属于中档题.16、0.1【解题分析】

恰好5场比赛决出总冠军的情况有两种：一种情况是前4局勇士队3胜一负，第5局勇士胜，另一种情况是前4局骑士队3胜一负，第5局骑士胜，由此能求出恰好5场比赛决出总冠军的概率．【题目详解】恰好5场比赛决出总冠军的情况有两种：一种情况是前4局勇士队3胜一负，第5局勇士胜，另一种情况是前4局骑士队3胜一负，第5局骑士胜，恰好5场比赛决出总冠军的概率为：．故答案为0.1．【题目点拨】本题考查概率的求法，考查次独立重复试验中事件恰好发生次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2），或，.【解题分析】

（1）根据求解集合，然后根据二次函数的最大值大于0确定，求集合;（2）求与的两组值，根据、、设均为整数，且，可以分中有3个元素，中有2个元素，中有1个元素，以及中有6个元素，中有4个元素，中有2个元素两种情况讨论得到与的两组值.【题目详解】（1）不等式的解集是，即函数（，）的最大值为正实数，，，，不等式的解集是，.（2）要使，，可以分两种情况，①可以使中有3个元素，中有2个元素，中有1个元素，根据（1）的结果，可知，此时集合有3个整数元素，中有1个元素即；②可以使中有6个元素，中有4个元素，中有2个元素，则，此时集合有6个整数元素，,中有2个元素即，综上，与的两组值分别是，或，.【题目点拨】本题考查了函数的最值和解不等式，以及古典概型及其概率计算公式，属于中档题型，本题的第二问只写与的两组值，所以只写出比较简单的两个集合即可.18、（1）；（2）【解题分析】分析：（1）利用零点分类讨论法解不等式.(2)先利用分段函数求得，再解不等式得到实数的取值范围.详解：（1）当时，由得，故有或或∴或或，∴或，∴的解集为或.（2）当时∴由得∴∴的取值范围为.点睛：（1）本题主要考查绝对值不等式的解法，考查分段函数的最值的求法，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分类讨论的思想方法.(2)解题的关键是求的最小值，这里要利用分段函数的图像求解.19、见解析【解题分析】

运用数学归纳法证明，考虑检验成立，再假设成立，证明时，注意变形，即可得证．【题目详解】证：①当时，，能被7整除；②假设时，能被7整除，那么当时，，由于能被7整除，能被7整除，可得能被7整除，即当时，能被7整除；综上可得当时，能被7整除.【题目点拨】本题主要考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式：设是关于自然数的命题，若成立（奠基）；假设成立，可以推出成立（归纳），则对一切大于等于的自然数都成立.属于基础题.20、（1）第四项为第五项为.（2）无常数项.【解题分析】分析:(1)先根据题意得到，解方程即得n=7.二项式系数最大的项为第四项和第五项，求第四项和第五项的二项式系数即得解.(2)假设展开式中有常数项，求出r的值，如果r有正整数解，则有，否则就没有.详解：（1）由题意可得，解得.所以展开式有8项，