江西省九江市彭泽一中2024届数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析

江西省九江市彭泽一中2024届数学高二第二学期期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，是双曲线的上、下两个焦点，的直线与双曲线的上下两支分别交于点，，若为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．2．已知随机变量，若，则（）A． B． C． D．3．若，则等于（）A． B． C． D．4．已知函数，若，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．5．已知全集，则A． B． C． D．6．已知双曲线的左右焦点分别为，，以线段为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为，若直线与圆相切，则双曲线的渐近线方程是（）A． B． C． D．7．从名学生志愿者中选择名学生参加活动，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从人中剔除人，剩下的人再按系统抽样的方法抽取人，则在人中，每人入选的概率（）A．不全相等 B．均不相等C．都相等，且为 D．都相等，且为8．某校1000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，其密度函数曲线如图所示，正态变量X在区间，，内取值的概率分别是，，，则成绩X位于区间(52,68]的人数大约是（）A．997B．954C．683D．3419．对于函数，有下列结论：①在上单调递增，在上单调递减；②在上单调递减，在上单调递增；③的图象关于直线对称；④的图象关于点对称．其中正确的是（）A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④10．已知曲线在点处切线的倾斜角为，则等于（）A．2B．-2C．3D．-111．若在曲线上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的“自公切线”.下列方程：①②；③④对应的曲线中存在的“自公切线”的是（）A．①③ B．②③ C．②③④ D．①②④12．某市交通部门为了提高某个十字路口通行效率，在此路口增加禁止调头标识（即车辆只能左转、右转、直行），则该十字路口的行车路线共有（）A．24种 B．16种 C．12种 D．10种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知等比数列中，，则公比______；______．14．若实数，满足约束条件，则的最大值是.15．若函数有零点，则实数的取值范围是___________．16．已知函数f（x）＝x3﹣3x+1，则函数y＝f（x）的单调递减区间是_____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数.（1）解不等式；（2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.18．（12分）已知函数为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若，证明：关于的不等式在上恒成立．19．（12分）某大学学生会为了调查了解该校大学生参与校健身房运动的情况，随机选取了100位大学生进行调查，调查结果统计如下：参与不参与总计男大学生30女大学生50总计45100（1）根据已知数据，把表格数据填写完整；（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为参与校健身房运动与性别有关？请说明理由.附：，其中.0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）《基础教育课程改革纲要(试行)》将“具有良好的心理素质”列入新课程的培养目标．为加强心理健康教育工作的开展，不断提高学生的心理素质，九江市某校高二年级开设了《心理健康》选修课，学分为2分．学校根据学生平时上课表现给出“合格”与“不合格”两种评价，获得“合格”评价的学生给予41分的平时分，获得“不合格”评价的学生给予31分的平时分，另外还将进行一次测验．学生将以“平时分×41%+测验分×81%”作为“最终得分”，“最终得分”不少于51分者获得学分．该校高二(1)班选修《心理健康》课的学生的平时分及测验分结果如下：测验分[31，41)[41，41)[41，51)[51，61)[61，81)[81，91)[91，111]平时分41分人数1113442平时分31分人数1111111（1）根据表中数据完成如下2×2列联表，并分析是否有94%的把握认为这些学生“测验分是否达到51分”与“平时分”有关联？选修人数测验分达到51分测验分未达到51分合计平时分41分平时分31分合计（2）用样本估计总体，若从所有选修《心理健康》课的学生中随机抽取4人，设获得学分人数为，求的期望．附：，其中1．11．141．1241．111．1141．1112．6153．8414．1245．5346．86911．82821．（12分）设函数.(Ⅰ)求不等式的解集；(Ⅱ)求证:，并求等号成立的条件.22．（10分）设等差数列的前项和为，已知.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和为，并求使得取得最大值的序号的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】根据双曲线的定义，可得是等边三角形，即∴即

即又

0°即解得由此可得双曲线的渐近线方程为.故选D．【题目点拨】本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质等知识，根据条件求出a，b的关系是解决本题的关键．2、D【解题分析】

由二项分布的期望公式，可计算得，由，即得解.【题目详解】由题意随机变量，由二项分布的期望公式，可得故选：D【题目点拨】本题考查了二项分布的期望公式及概率公式，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.3、D【解题分析】

中最大的数为，包含个数据，且个数据是连续的正整数，由此可得到的表示.【题目详解】因为，所以表示从连乘到，一共是个正整数连乘，所以.故选：D.【题目点拨】本题考查排列数的表示，难度较易.注意公式：的运用.4、D【解题分析】由函数，可得，所以函数为奇函数，又，因为，所以，所以函数为单调递增函数，因为，即，所以，解得，故选D．点睛：本题考查了函数的单调性、奇偶性和函数不等式的求解问题，其中解答中函数的奇偶性和函数的单调性，转化为不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，对于解函数不等式：首先根据函数的单调性和奇偶性把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内是试题的易错点．5、C【解题分析】

根据补集定义直接求得结果.【题目详解】由补集定义得：本题正确选项：【题目点拨】本题考查集合运算中的补集运算，属于基础题.6、B【解题分析】

先设直线与圆相切于点，根据题意，得到，再由，根据勾股定理求出，从而可得渐近线方程.【题目详解】设直线与圆相切于点，因为是以圆的直径为斜边的圆内接三角形，所以，又因为圆与直线的切点为，所以，又，所以，因此，因此有，所以，因此渐近线的方程为.故选B【题目点拨】本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.7、D【解题分析】

根据简单随机抽样与系统抽样方法的定义，结合概率的意义，即可判断出每个人入选的概率.【题目详解】在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除时，则要先剔除几个个体，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的概率相等，所以，每个个体被抽到包括两个过程，一是不被剔除，二是选中，这两个过程是相互独立的，因此，每个人入选的概率为.故选：D.【题目点拨】本题考查简单随机抽样和系统抽样方法的应用，也考查了概率的意义，属于基础题.8、C【解题分析】分析：先由图得，再根据成绩X位于区间(52,68]的概率确定人数.详解：由图得因为，所以成绩X位于区间(52,68]的概率是，对应人数为选C.点睛：利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.9、C【解题分析】

将原函数的导数求出来，分析其符号即可得出原函数的单调性，又，故函数的图象关于直线对称【题目详解】由得令得当时，，原函数为增函数当时，，原函数为减函数，故②正确因为所以函数的图象关于直线对称，故③正确故选：C【题目点拨】本题考查的是利用导数研究函数的单调性及函数的对称性，属于中档题.10、A【解题分析】因为，所以，由已知得，解得，故选A.11、B【解题分析】

化简函数的解析式,结合函数的图象的特征,判断此函数是否有自公切线．【题目详解】①是一个等轴双曲线,没有自公切线;②,在和处的切线都是,故②有自公切线;③此函数是周期函数,过图象的最高点的切线都重合,故此函数有自公切线;④即结合图象可得,此曲线没有自公切线.故选:.【题目点拨】本题考查命题的真假判断与应用,考查学生的数形结合的能力,难度一般.12、C【解题分析】

根据每个路口有种行车路线，一个十字路口有个路口，利用分步乘法计数原理即可求解.【题目详解】每个路口有种行车路线，一个十字路口有个路口，故该十字路口行车路线共有（种）故选：C【题目点拨】本题考查了分布乘法计数原理，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、24【解题分析】

根据等比数列通项公式构造方程求解即可.【题目详解】本题正确结果：；【题目点拨】本题考查等比数列基本量的求解，关键是熟练掌握等比数列通项公式，属于基础题.14、【解题分析】试题分析：画出不等式组表示的平面区域为下图中的阴影部分，看作两点，连线的斜率，根据上图可求最大值为考点：线性规划。15、【解题分析】

变换得到，设，求导得到单调性，画出图像得到答案.【题目详解】由题可知函数的定义域为函数有零点，等价于有实数根，即，设，则.则函数在上单调递增，在上单调递减，且，画出图像，如图所示：根据图像知.故答案为：.【题目点拨】本题考查了利用导数研究零点，参数分离画出图像是解题的关键.16、【解题分析】

求得函数的导数，利用导数的符号，即可求解，得到答案．【题目详解】由题意，函数，则，令，即，解得，所以函数的单调递减区间为，故答案为：．【题目点拨】本题主要考查了利用研究函数的单调性，求解函数的单调区间，其中解答中熟记导数与原函数的关系式解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)；(2).【解题分析】试题分析：(1)结合函数的解析式分类讨论可得不等式的解集为(2)原问题等价于，结合(1)中的结论可得时，，则实数的取值范围为试题解析：（1）由题得，，则有或或解得或或，综上所述，不等式的解集为（2）存在，使不等式成立等价于由（1）知，时，，∴时，，故，即∴实数的取值范围为18、（Ⅰ）的单调递增区间为和，单调递减区间为；（Ⅱ）证明见解析.【解题分析】

（Ⅰ）根据导数求解函数单调区间的步骤，确定定义域，求导，解导数不等式或，中间涉及到解含参的一元二次不等式的解法，注意分类讨论；（Ⅱ）构造函数，再利用题目条件进行放缩，得到，转化为求函数的最小值，即可证出。【题目详解】定义域为R，,令，则，则结合二次函数图像可知，当时，；当时，；当时，；故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；（II）令，当时，，而，故，故，令，故，故函数在上单调递减，则，则，即关于x的不等式在上恒成立.【题目点拨】本题主要考查利用导数求函数的单调区间问题，最值问题，证明恒成立问题，涉及到转化与化归思想的应用。灵活构造函数是解决本题的关键，合理放缩也是关键点，意在考查学生的逻辑推理、数学运算和数学建模的能力。19、（1）见解析（2）能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为参与校健身房运动与性别有关【解题分析】

（1）根据表格内的数据计算即可.（2）将表格中的数据代入公式，计算即可求出k的取值，根据参考值得出结论.【题目详解】解：（1）参与不参与总计男大学生302050女大学生153550总计4555100（2）因为的观测值，所以能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为参与校健身房运动与性别有关．【题目点拨】本题考查列联表和独立性检验的应用，属于基础题.20、（1）有94%的把握认为学生“测验分是否达到51分”与“平时分”有关联；（2）4【解题分析】

（1）根据数据填表，然后计算，可得结果.（2）根据计算，可得未获得分数的人数，然后可知获得分数的概率，依据二项分布数学期望的计算方法，可得结果.【题目详解】解：（1）根据表中数据统计，可得2x2列联表选修人数测验分合计达到51分未达到51分平时分41分13214平时分31分234合计14421，∴有94%的把握认为学生“测验分是否达到51分”与“平时分”有关联（2）分析学生得分，，，平时分41分的学生中测验分只需达到41分，而