2024届吉林省延边朝鲜族自治州汪清四中高二数学第二学期期末质量检测试题含解析

2024届吉林省延边朝鲜族自治州汪清四中高二数学第二学期期末质量检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为的直线交椭圆于、两点，则的内切圆半径为()A． B． C． D．2．设为虚数单位，若复数满足，则复数（）A． B． C． D．3．“”是“对任意恒成立”的A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．下列命题中正确的个数()①“∀x>0，2x>sinx”的否定是“∃x0≤0，2x0≤sinx0”；②用相关指数R2可以刻画回归的拟合效果，A．0 B．1 C．2 D．35．函数的图像大致为（）A． B．C． D．6．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）＝Acosωx的图象，只需把y＝f（x）的图象上所有的点（）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度7．若函数，对任意实数都有，则实数的值为（）A．和 B．和 C． D．8．已知随机变量，且，则A． B． C． D．9．已知双曲线的一条渐近线与轴所形成的锐角为，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．或210．某部门将4名员工安排在三个不同的岗位，每名员工一个岗位，每个岗位至少安排一名员工，且甲乙两人不安排在同一岗位，则不同的安排方法共有（）A．66种 B．36种 C．30种 D．24种11．下列说法中，正确说法的个数是（）①在用列联表分析两个分类变量与之间的关系时，随机变量的观测值越大，说明“A与B有关系”的可信度越大②以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和0.3③已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则A．0 B．1 C．2 D．312．设集合,,,则集合中元素的个数为()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若，且，，则_______.14．乒乓球赛规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，甲发球得1分的概率为，乙发球得1分的概率为，各次发球的胜负结果相互独立，甲、乙的一局比赛中，甲先发球.则开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为________.15．某人进行射击训练，射击一次命中靶心的概率是0.9，各次射击相互独立，他连续射击3次，则“第一次没有命中靶心后两次命中靶心”的概率是______.16．已知函数有两个零点，，则下列判断：①；②；③；④有极小值点，且.则正确判断的个数是__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设为实数，函数，（Ⅰ）若求的极小值.（Ⅱ）求证：当且时，.18．（12分）已知，R，矩阵的两个特征向量，．（1）求矩阵的逆矩阵；（2）若，求．19．（12分）为了解甲、乙两奶粉厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两奶粉厂生产的产品中分别抽取16件和5件，测量产品中微量元素的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号123451701781661761807480777681（1）已知甲厂生产的产品共有96件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素满足且时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）．20．（12分）中石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分儿口井，取得了地质资料.进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探.由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用．勘探初期数据资料见如表：（Ⅰ）1～6号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为y=6.5x+a，求a，并估计y的预报值；（Ⅱ）现准备勘探新井7(1,25)，若通过1、3、5、7号井计算出的b,a的值（b,a精确到0.01）相比于（Ⅰ）中（参考公式和计算结果：b=（Ⅲ）设出油量与勘探深度的比值k不低于20的勘探并称为优质井，那么在原有井号1～6的出油量不低于50L的井中任意勘探3口井，求恰好2口是优质井的概率.21．（12分）已知函数．（Ⅰ）若曲线在处切线的斜率等于，求的值；（Ⅱ）若对于任意的，，总有，求的取值范围．22．（10分）已知函数.（Ⅰ）当时，求函数在处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）求证：当时，函数的图像与函数的图像在区间上没有交点.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】分析：根据韦达定理结合三角形面积公式求出的面积，利用椭圆的定义求出三角形的周长，代入内切圆半径，从而可得结果.详解：椭圆的左、右焦点分别为，则的坐标为，过且斜率为的直线为，即，代入，得，则，故的面积，的周长，故的内切圆半径，故选C.点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质与椭圆定义的应用，属于中档题.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.2、D【解题分析】

先由题意得到，，根据复数的除法运算法则，即可得出结果.【题目详解】因为，所以.故选：D【题目点拨】本题主要考查复数的运算，熟记除法运算法则即可，属于基础题型.3、C【解题分析】

根据充分条件和必要条件的定义结合判别式的解法进行判断即可．【题目详解】解：对任意恒成立，推不出，，“”是“对任意恒成立”的必要不充分条件．故选：C．【题目点拨】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据判别式的解法是解决本题的关键．4、C【解题分析】

根据含量词命题的否定可知①错误；根据相关指数的特点可知R2越接近0，模型拟合度越低，可知②错误；根据四种命题的关系首先得到逆命题，利用不等式性质可知③正确；分别在m=0和m≠0的情况下，根据解集为R确定不等关系，从而解得m【题目详解】①根据全称量词的否定可知“∀x>0，2x>sinx”的否定是“∃x②相关指数R2越接近1，模型拟合度越高，即拟合效果越好；R2越接近③若“a>b>0，则3a>3b>0④当m=0时，mx2-2当m≠0时，若mx2-2m+1解得：m≥1，则④正确.∴正确的命题为：③④本题正确选项：C【题目点拨】本题考查命题真假性的判断，涉及到含量词命题的否定、四种命题的关系及真假性的判断、相关指数的应用、根据一元二次不等式解集为R求解参数范围的知识.5、D【解题分析】

利用函数解析式求得,结合选项中的函数图象，利用排除法即可得结果.【题目详解】因为函数，所以，选项中的函数图象都不符合，可排除选项，故选D.【题目点拨】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.6、B【解题分析】

由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【题目详解】根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象，可得A＝1，，∴ω＝1．再根据五点法作图可得1×+φ＝π，求得φ＝，∴函数f（x）＝sin（1x+）．故把y＝f（x）的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得y＝sin（1x++）＝cos1x＝g（x）的图象.故选B．【题目点拨】确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法：(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝；(1)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝.7、A【解题分析】由得函数一条对称轴为,因此,由得,选A.点睛：求函数解析式方法：(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.（4）由求对称轴8、B【解题分析】

根据正态分布的对称性即可得到答案.【题目详解】由于，故选B.【题目点拨】本题主要考查正态分布中概率的计算，难度不大.9、C【解题分析】

转化条件得，再利用即可得解.【题目详解】由题意可知双曲线的渐近线为，又渐近线与轴所形成的锐角为，，双曲线离心率.故选：C.【题目点拨】本题考查了双曲线的性质，属于基础题.10、C【解题分析】

根据分步乘法计数原理，第一步先将4名员工分成3组并去掉甲乙同组的情况，第二步将3组员工安排到3个不同的岗位。【题目详解】解：由题意可得，完成这件事分两步，第一步，先将4名员工分成3组并去掉甲乙同组的情况，共有种，第二步，将3组员工安排到3个不同的岗位，共有种，∴根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有种，故选：C．【题目点拨】本题主要考查计数原理，考查组合数的应用，考查不同元素的分配问题，通常用除法原理，属于中档题．11、D【解题分析】

对题目中的三个命题判断正误，即可得出结论．【题目详解】解：对于①，分类变量A与B的随机变量K2越大，说明“A与B有关系”的可信度越大，①正确；对于②，以模型y＝cekx去拟合一组数据时，设z＝lny，由y＝cekx，两边取对数，可得lny＝ln（cekx）＝lnc+lnekx＝lnc+kx，令z＝lny，可得z＝lnc+kx，又z＝0.3x+4，∴lnc＝4，k＝0.3，c＝e4，②正确；对于③，根据回归直线方程为y＝a+bx，，∴ab3﹣2×1＝1，∴③正确；综上，正确的命题为①②③，共3个．故选：D．【题目点拨】本题考查了回归方程，对数的运算性质，随机变量K2的概念与应用问题，是基础题．12、A【解题分析】

由题意可得出：从,,任选一个；或者从,任选一个；结合题中条件,确定对应的选法，即可得出结果．【题目详解】解：根据条件得：从,,任选一个,从而,,任选一个,有种选法；或时,,有两种选法；共种选法；C中元素有个．故选A．【题目点拨】本题主要考查列举法求集合中元素个数，熟记概念即可，属于基础题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、0.1【解题分析】

利用正态密度曲线的对称性得出，可求出的值，再利用可得出答案．【题目详解】由于，由正态密度曲线的对称性可得，所以，因此，，故答案为．【题目点拨】本题考查正态分布在指定区间上的概率的计算，解题的关键就是充分利用正态密度曲线的对称性，利用已知区间上的概率来进行计算，考查计算能力，属于中等题．14、【解题分析】

先确定比分为1比2时甲乙在三次发球比赛中得分情况，再分别求对应概率，最后根据互斥事件概率公式求结果【题目详解】比分为1比2时有三种情况：（1）甲第一次发球得分，甲第二次发球失分，乙第一次发球得分（2）甲第一次发球失分，甲第二次发球得分，乙第一次发球得分（3）甲第一次发球失分，甲第二次发球失分，乙第一次发球失分所以概率为【题目点拨】本题考查根据互斥事件概率公式求概率，考查基本分析求解能力，属中档题.15、0.081.【解题分析】分析:根据题意三次射击互相独立，故概率为：详解：射击一次命中靶心的概率是0.9，各次射击相互独立，第一次没有命中靶心后两次命中靶心的概率为：故答案为：0.081.点睛：这个题目考查了互相独立事件的概率的计算，当A，B事件互相独立时，.16、1【解题分析】

对函数进行求导，然后分类讨论函数的单调性，由题意可以求出的取值范围，然后对四个判断逐一辨别真假即可.【题目详解】，.当时，，函数是单调递增函数，而，所以函数只有一个零点，不符合题意；当时，当时，，函数单调递增，当时，，函数递减，故函数的最小值为，要想函数有两个零点，则必有，故判断①不对；对于②：，取，，所以，故判断②不对；对于④：构造函数，，所以函数是上单调递增，故，而，所以，故本判断是正确的；对于③：因为，而，所以有，故本判断是错误的，故正确的判断的个数为1.【题目点拨】本题考查了利用导数研究函数的零点、极值点，考查了推理论证能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解题分析】

（Ⅰ）将代入，求导，得出极小值点，代入即可求出答案。（Ⅱ）令，则，即只需说明当，在内单调递增即可。【题目详解】解：（I）由，，知，，令，得，则当时，，当时，，故在处取得极小值.极小值为.（II）证明：设，，于是，，由（I）知，对于，都有，故在内单调递增.于是，当时，对任意的，都有，而，从而对，都有，即故【题目点拨】本题考查利用函数单调性证明不等式，属于中档题。18、（1）（2）【解题分析】

（1）由矩阵的特征向量求法，解方程可得，再由矩阵的逆矩阵可得所求；（2）求得，再由矩阵的多次变换，可得所求.【题目详解】解：（1）设矩阵的特征向量对应的特征值为，特征向量对应的特征值为，则，则．（2）因，所以．【题目点拨】本题考查矩阵的特征值和特征向量，考查矩阵的逆矩阵，以及矩阵的变换，考查运算求解能力，属于中档题.19、（1）30；（2）18；（3）分布列见解析，期望为．【解题分析】

分析：（1）设乙厂生产的产品数量为件，由，即可求得乙厂生产的产品数量；（2）由题意，从乙厂抽取的件产品中，编号为的产品是优等品，即件产品中有件是优等品，由此可估算出乙厂生产的优等品的数量；（3）可能的取值为，求得取每个随机变量时的概率，得到分布列，利用公式求解数学期望．详解：（1）设乙厂生产的产品数量为件，则，解得所以乙厂生产的产品数量为30件（2）从乙厂抽取的5件产品中，编号为2、5的产品是优等品，即5件产品中有3件是优等品由此可以估算出乙厂生产的优等品的数量为（件）（3）可能的取值为0，1，2∴的分布列为：012∴点睛：本题主要考查了统计的应用，以及随机变量的分布列和数学期望的求解，其中正确理解题意，合理作出运算是阶段的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.．【题目详解】请在此输入详解！20、（1）17.5，；（3）；（3）35．【解题分析】试题分析：（1）因为回归直线必过样本中心点，求得；（2）利用公式求得，再和现有数据进行比较；（3）是古典概型，由题意列出从这口井中随机选取口井的可能情况，求出概率.试题解析：因为，，回归只需必过样本中心点，则，故回归只需方程为，当时，，即的预报值为.………………4分因为，，所以.，即，.，，均不超过，因此使用