2024年高考数学重难点突破讲义：配套热练 特别策划2　微切口2　多面体的外接球与内切球

微切口2多面体的外接球与内切球1．已知底面边长为1，侧棱长为eq\r(,2)的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为(D)A．eq\f(32,3)π B．4πC．2π D．eq\f(4,3)π【解析】由题可知，正四棱柱的体对角线即为外接球的直径，故2R＝eq\r(,12＋12＋\r(,2)2)＝2，解得R＝1，故球的体积为V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π．2．已知正四棱锥的侧棱长为eq\r(,5)，底面边长为2，则该四棱锥的内切球的体积为(B)A．eq\f(4\r(,3),3) B．eq\f(4\r(,3)π,27)C．eq\f(4π,3) D．4eq\r(,3)【解析】如图，设O为正四棱锥的底面中心，E为BC的中点，连接PO，OE，PE，则PO为四棱锥的高，PE为侧面三角形PBC的高．因为BC＝2，PB＝eq\r(,5)，故PE＝eq\r(,5－1)＝2，则PO＝eq\r(,4－1)＝eq\r(,3)．设该四棱锥的内切球的半径为r，则eq\f(1,3)·SABCD·PO＝eq\f(1,3)(SABCD＋4S△PBC)r，即eq\f(1,3)×4×eq\r(,3)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋4×\f(1,2)×2×2))×r，解得r＝eq\f(\r(,3),3)，故内切球的体积为V＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(,3),3)))3＝eq\f(4\r(,3)π,27)．(第2题)3．(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3eq\r(,3)和4eq\r(,3)，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(A)A．100π B．128πC．144π D．192π【解析】设正三棱台上、下底面所在圆面的半径分别为r1，r2，所以2r1＝eq\f(3\r(,3),sin60°)，2r2＝eq\f(4\r(,3),sin60°)，即r1＝3，r2＝4，设球心到上、下底面的距离分别为d1，d2，球的半径为R，所以d1＝eq\r(,R2－9)，d2＝eq\r(,R2－16)，故|d1－d2|＝1或d1＋d2＝1，即|eq\r(,R2－9)－eq\r(,R2－16)|＝1或eq\r(,R2－9)＋eq\r(,R2－16)＝1，解得R2＝25符合题意，所以该球的表面积为S＝4πR2＝100π．4．(2021·全国甲卷理)已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O－ABC的体积为(A)A．eq\f(\r(,2),12) B．eq\f(\r(,3),12)C．eq\f(\r(,2),4) D．eq\f(\r(,3),4)【解析】因为AC⊥BC，AC＝BC＝1，所以△ABC为等腰直角三角形，所以AB＝eq\r(,2)，则△ABC外接圆的半径为eq\f(\r(,2),2)，又球的半径为1，设球心O到平面ABC的距离为d，则d＝eq\r(,12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(,2),2)))2)＝eq\f(\r(,2),2)，所以VO－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·d＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×eq\f(\r(,2),2)＝eq\f(\r(,2),12)．5．如图，在正三棱锥S－ABC中，M，N分别是棱SC，BC的中点，Q为棱AC上的一点，且AQ＝eq\f(1,2)QC，MN⊥MQ，若AB＝2eq\r(,2)，则正三棱锥S－ABC的外接球的体积为(D)(第5题)A．12π B．eq\f(4\r(,3),3)πC．8eq\r(,3)π D．4eq\r(,3)π【解析】因为在△SBC中，M，N分别是棱SC，BC的中点，所以MN∥SB．因为MN⊥MQ，所以SB⊥MQ．因为三棱锥S－ABC为正三棱锥，所以SB⊥AC(对棱垂直)．又因为MQ，AC⊂平面SAC，MQ∩AC＝Q，所以SB⊥平面SAC．因为SA，SC⊂平面SAC，所以SB⊥SA，SB⊥SC．在Rt△SAB中，SA2＋SB2＝AB2．因为三棱锥S－ABC为正三棱锥，所以△SBC是等腰三角形，△ABC是等边三角形，所以SB＝SC，AB＝AC，所以SA2＋SC2＝AC2，即SA⊥SC，所以SA，SB，SC两两垂直，将此三棱锥放入正方体中，此正方体的面对角线长等于AB的长，为2eq\r(,2)，则该正方体棱长为2，外接球半径R＝eq\r(,3)，正方体外接球体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×(eq\r(,3))3＝4eq\r(,3)π，此正三棱锥S－ABC的外接球体积和正方体外接球体积相同，为4eq\r(,3)π．6．已知在四面体ABCD中，AB＝CD＝5，AC＝BD＝eq\r(,34)，AD＝BC＝eq\r(,41)，则该四面体的体积为__20__，外接球表面积为__50π__．【解析】依题意，把四面体补成长方体，如图，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则a2＋c2＝34，b2＋c2＝25，a2＋b2＝41，解得a＝5，b＝4，c＝3．该四面体的体积等于长方体的体积去掉四个三棱锥的体积，则VA－BCD＝5×4×3－4×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×5×4))×3＝20．由于四面体的外接球就是长方体的外接球，所以球的半径R＝eq\f(\r(,a2＋b2＋c2),2)＝eq\f(\r(,52＋42＋32),2)＝eq\f(5\r(,2),2)，可得该四面体的外接球的表面积为S＝4πR2＝4πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(,2),2)))2＝50π．(第6题)7．如果一个球的外切圆锥的高是这个球半径的3倍，那么圆锥侧面积和球的表面积的比值为__eq\f(3,2)__．【解析】设球的半径为r，则圆锥的高为3r，取圆锥的轴截面△ABC，其中A为圆锥的顶点，设球心为O，如图，设圆O分别切AB，BC于点E，D，则D为BC的中点，由题意可得OD＝OE＝r，AD＝3r，则AO＝AD－OD＝3r－r＝2r＝2OE．又因为OE⊥AB，所以∠BAD＝eq\f(π,6)，同理可得∠CAD＝eq\f(π,6)，所以∠BAC＝eq\f(π,3)，又因为AB＝AC，故△ABC为等边三角形，故AB＝eq\f(AD,sin\f(π,3))＝eq\f(3r,\f(\r(,3),2))＝2eq\r(,3)r，所以圆锥的侧面积为π×AB×BD＝π×2eq\r(,3)r×eq\r(,3)r＝6πr2，因此圆锥侧面积和球的表面积的比值为eq\f(6πr2,4πr2)＝eq\f(3,2)．(第7题)8．(2023·重庆模拟)已知四棱锥P－ABCD的底面四边形ABCD是边长为eq\r(,3)的正方形，且PA⊥平面ABCD，PA＝eq\r(,3)，点M为线段PC上的动点(不包含端点)，则当三棱锥M－BCD的外接球的体积最小时，CM的长为__2__．【解析】因为PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PA⊥AC，连接MA，由题意可知三棱锥M－BCD的外接球即为四棱锥M－ABCD的外接球，则当三棱锥M－BCD外接球的体积最小时，四棱锥M－ABCD外接球的半径最小，设四棱锥M－ABCD外接球的球心为O，半径为R，连接AC与BD交于点O1，当O与O1不重合时，连接OO1，如图(1)，易知OO1⊥平面ABCD，则OO1⊥O1C，连接OC，在Rt△OO1C中，R＝OC＞O1C．当O与O1重合时，如图(2)，R＝OC＝O1C，所以当三棱锥M－BCD的外接球的体积最小时，O与O1重合，R＝O1C．设CM的中点为N，连接O1N，易知O1N⊥CM，则cos∠O1CN＝eq\f(CN,CO1)＝eq\f(AC,PC)，所以eq\f(CN,\f(\r(,2),2)×\r(,3))＝eq\f(\r(,2)×\r(,3),\r(,\r(,3)2＋\r(,2)×\r(,3)2))，解得CN＝1，所以CM＝2CN＝2．图(1)图(2)(第8题)9．在三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，AB＝BC＝AC＝4，则该三棱锥外接球的表面积是__eq\f(64π,3)__．【解析】如图，设D为AB的中点，O为△ABC外接圆的圆心，因为AB＝BC＝AC＝4，所以O在CD上，且OD＝eq\f(1,3)CD＝eq\f(1,3)×eq\r(,42－22)＝eq\f(2\r(,3),3)，OC＝OA＝OB＝eq\f(2,3)CD＝eq\f(4\r(,3),3)，CD⊥AB．因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，CD⊂平面ABC，所以CD⊥平面PAB．又DP⊂平面PAB，所以CD⊥DP．在△PAB中，PA⊥PB，D为AB的中点，所以DA＝DB＝DP，所以OP＝eq\r(,OD2＋DP2)＝eq\f(4\r(,3),3)，故OA＝OB＝OC＝OP＝eq\f(4\r(,3),3)，所以O即为三棱锥P－ABC外接球的球心，且外接球半径R＝eq\f(4\r(,3),3)，所以该三棱锥外接球的表面积S＝4πR2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(,3),3)))2＝eq\f(64π,3)．(第9题)10．在三棱锥A－BCD中，△ABD和△BCD是边长为6的等边三角形，二面角A－BD－C为120°，则三棱锥A－BCD外接球的表面积是__84π__．【解析】△ABD和△BCD的外接圆圆心分别记为O1和O2，分别过O1和O2作平面ABD和平面BCD的垂线，其交点为球心，记为O．过O1作BD的垂线，垂足记为E，连接O2E，BO1，EC，BO，EO．在△ABD