江西省赣州市十八县（市、区）二十三校2024届高三上学期11月期中联考数学试题

江西省赣州市十八县（市、区）二十三校2024届高三上学期11月期中联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．命题“对任意的个位数字不等于2”的否定是（

）A．的个位数字等于2B．的个位数字不等于2C．的个位数字等于2D．的个位数字不等于22．设集合，则（

）A． B． C． D．3．已知向量，若，则（

）A． B． C． D．4．已知为第一象限角，且，则为（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角5．已知等差数列的公差不为0，且成等比数列，则（

）A． B． C． D．6．若，则“”是“”的（

）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件7．某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以减少对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量（单位：）与过滤时间（单位：）的关系为（是正常数）.若经过过滤后消除了的污染物，则污染物减少大约需要（

）（参考数据：）A． B． C． D．8．已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则（

）A． B．C． D．二、多选题9．已知函数，则（

）A．的最小正周期为B．的图象关于直线对称C．的图象关于中心对称D．在区间上单调递增10．若数列满足：对任意正整数为等差数列，则称数列为“二阶等差数列”.若不是等比数列，但中存在不相同的三项可以构成等比数列，则称是“局部等比数列”.给出下列数列，其中既是“二阶等差数列”，又是“局部等比数列”的是（

）A． B．C． D．11．如图，在棱长为2的正方体中，分别是上的动点，下列说法正确的是（

）A．B．三棱锥的体积是C．点到平面的距离是D．该正方体外接球的半径与内切球的半径之比是12．若方程有两个根，则（

）A． B．C． D．三、填空题13．.14．已知函数在上单调递减，则的取值范围为.15．在中，，则的取值范围是.16．如图，这是某同学绘制的素描作品，图中的几何体由一个正四棱锥和一个正四棱柱贯穿构成，正四棱柱的侧棱平行于正四棱锥的底面，正四棱锥的侧棱长为，底面边长为6，正四棱柱的底面边长为是正四棱锥的侧棱和正四棱柱的侧棱的交点，则.四、问答题17．在等腰直角中，为内一点，.(1)若，求；(2)若，求.18．已知函数在处取得极值.(1)求的值；(2)求在上的值域.19．如图，在正三棱柱中，分别为的中点，.(1)求；(2)求直线与平面所成角的正弦值.20．已知数列满足.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和及其最小值.21．在中，内角的对边分别为，且.(1)求；(2)若为的中点，在上存在点，使得，求的值.22．已知函数.(1)试讨论的单调区间；(2)若有两个零点，求的取值范围.参考答案：1．A【分析】由全称命题的否定：任意改存在并否定原结论，即可得答案.【详解】由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为的个位数字等于2.故选：A2．B【分析】解一元二次不等式求集合N，再应用集合的并、补运算求结果.【详解】由或，所以或，且则.故选：B3．A【分析】根据两个向量垂直则数量积为0运算即可.【详解】，又，所以，即，解得，所以，所以，故选：A4．D【分析】由已知，利用差角正弦公式可得，进而有，结合为第一象限角列不等式求范围即可.【详解】由题设，则，所以，而为第一象限角，所以，则,所以，即为第四象限角.故选：D5．D【分析】由等比中项的性质得，令的公差为且，再根据等差数列通项公式求得，即可求结果.【详解】由题设，令的公差为且，则，可得，所以，故.故选：D6．C【分析】根据充分、必要性定义，结合特殊值、基本不等式判断条件间的推出关系，即可得答案.【详解】由，，显然时，不成立，充分性不成立；由，，而，则，当且仅当时等号成立，必要性成立；所以“”是“”的必要不充分条件.故选：C7．B【分析】利用给定的函数模型，求出，再借助取对数的方法求出时的值即可.【详解】依题意，经过过滤后还剩余的污染物，则，解得，设污染物减少用时小时，于是，即，则，即，两边取对数得，因此，所以污染物减少大约需要.故选：B8．D【分析】根据给定信息，利用函数奇偶性定义导出函数的相关性质，再计算判断即可.【详解】函数的定义域为R，由是偶函数，得，即，由为奇函数，得，即，显然，因此，即，有，，，而的值都不确定，ABC错误，D正确.故选：D【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解.9．ACD【分析】A选项，利用三角函数的周期公式即可判断；BCD选项，利用代入检验法即可判断.【详解】因为，所以的最小正周期，故A正确；因为，所以不是的对称轴，是的对称中心，故B错误，C正确；因为，所以，所以在区间上单调递增，故D正确.故选：ACD.10．BC【分析】根据数列新定义，结合等差、等比数列的定义逐项判断正误即可.【详解】A：由为常数列，也是等比数列，不符合“局部等比数列”；B：由不是等比数列，且，故为常数列，也为等差数列；其中可构成等比数列，符合；C：由不是等比数列，且，故为等差数列；其中可构成等比数列，符合；D：由不是等比数列，且，则，，，显然不为等差数列，不符合；故选：BC11．AC【分析】A由正方体的性质，应用线面垂直的判定和性质判断；B由，应用棱锥体积公式求体积；C先证面，再将点到平面的距离化为到面的距离判断；D由正方体外接球、内切球半径与棱长关系即可判断.【详解】A：由面，面，则，又，而，面，则面，面，所以，对；B：由，错；C：由，面，面，则面，又面即为面，且是上的动点，所以点到平面的距离，即为到面的距离，由⊥平面，平面，则，又，而，平面，则⊥平面，所以所求距离为，对；D：由于正方体外接球半径为体对角线的一半，即为，正方体内切球的半径为棱长的一半，即为1，所以正方体外接球的半径与内切球的半径之比是，错.故选：AC12．BCD【分析】绝对值函数借助图像分析单调性，善于运用不等式.【详解】如图所示，作出函数和的图像，易知①，②，且，所以，对于A：易知，所以，因为在区间上单调递增且，所以，A错误；对于B：令函数.当时，，当时，.所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即，当且仅当时，等号成立.由①知，即，则B正确；对于C：由②知，即，又，所以，C正确；对于D：由上可知，所以，而①+②可得，即，所以，D正确，故选：BCD【点睛】关键点睛：本题注重不等式的应用，同时要借助同学分析之间的相等与不等关系.13．【分析】利用复数的除法运算，直接计算即可.【详解】.故答案为：14．【分析】根据二次函数、指数函数的单调性，结合复合函数单调性判断的区间单调性，结合已知单调区间求参数范围.【详解】令，则在上递减，在上递增，而在定义域上为增函数，所以在上递减，在上递增，又在上单调递减，故，则.故答案为：15．【分析】由正弦定理求外接圆半径，在其外接圆中连接，由，讨论的位置情况确定范围.【详解】由题设，外接圆半径为，如下图，外接圆中连接，所以为等边三角形，且，所以，当反向共线时最小为，当同向共线时最大为，所以.故答案为：16．2【分析】先作出截面，再由截面分析出各三角形的边长，利用相似三角形求解即可.【详解】过作垂直于四棱锥底面的截面，如图所示，由条件可知，为底面正方形的对角线，所以，所以,长度为正四棱柱底面正方形的对角线，所以，长度为正四棱柱底面正方形的对角线的一半，所以，由可得，解得，由可得，所以，故答案为：2【点睛】关键点睛：作出截面把立体几何问题转化为平面几何问题，然后应用相似三角形求解.17．(1)；(2).【分析】（1）由题设可得，进而可得，在中应用余弦定理求；（2）设，则，，在中应用正弦定理、差角正弦公式求.【详解】（1）由题设，则，在中，则，即，由，则，所以，则.（2）设，则，由（1）知：，在中，则，即.18．(1)；(2).【分析】（1）对给定函数求导，利用函数极值点的意义求出并验证即得.（2）由（1）的结论，利用导数求出在指定区间上的最大最小值即可得解.【详解】（1）函数，求导得，由在处取得极值，得，解得，此时，当时，，当时，，即函数在处取得极值，所以.（2）由（1）知，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，而，即，所以函数在上的值域为.19．(1)；(2).【分析】（1）设，由题设可得、，进而可得，结合求参数，即可得；（2）作，构建以为原点的空间直角坐标系，应用向量法求线面角的正弦值即可.【详解】（1）设，又分别为的中点，则，由为正三棱柱，即上下底面为等边三角形，又，所以，且，由，则，可得，所以.（2）作，构建以为原点的空间直角坐标系，如下图示，则，故，若是面的一个法向量，则，令，则，而，所以，即直线与平面所成角的正弦值为.20．(1)；(2)，的最小值为.【分析】（1）根据已知求得，把n分为奇数、偶数分别求得通项公式；（2）由（1）的结论，求出，再利用错位相减法求和并求出其最小值即得.【详解】（1）由，得，两式相减得，而，，则，因此当n为正奇数时，，当n为正偶数时，，所以的通项公式是.（2）由（1）知，，则有，两式相减得，因此，显然当时，，，当时，，又，因此，所以数列的前项和，的最小值为.21．(1)；(2).【分析】（1）由正余弦边角关系，将化为，讨论、，结合求即可；（2）若且，可得、，应用数量积的运算律及已知得到，即，，再应用数量积的运算律求模，并根据数量积定义求.【详解】（1）由，而，所以，则，且，若，即，则，所以；若，即，则，显然不成立；综上，.（2）如下图示，若且，则，同理，所以，则，由（1）易知，且，所以，整理得，综上，，，所以，即，，即，故.22．(1)答案见解析；(2)【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论确定一元二次不等式在上的解集即得.（2）利用（1）的信息，用函数的最小值点表示出a，再构造函数，利用导数探讨的取值范围，并结合零点存在性定理求解即得.【详解】（1）函数的定义域为，求导得，当时，在上恒成立，即在上单调递减；当时，令，解得，当时，，当时，，因此在上单调递减，在上单调递增，所以当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（