中考数学《 与二次函数相关的压轴题》2022年中考数学真题分项汇编（全国通用）原卷

专题22与二次函数相关的压轴题

解答题

1.Q022.湖北鄂州)某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究)，=加(4>0)型抛物线图象.发现：如

图1所示，该类型图象上任意一点M到定点尸(0,1)的距离"尸，始终等于它到定直线/：〉=-3上

的距离MN(该结论不需要证明)，他们称：定点尸为图象的焦点，定直线/为图象的准线，y=-j叫做

4a

抛物线的准线方程.其中原点。为“的中点，FH=2OF=例如，抛物线)，=；/,其焦点坐标为尸

7/7N

(1)【基础训练】请分别直接写出抛物线>=*的焦点坐标和准线/的方程：_

(2)【技能训练】如图2所示，已知抛物线y=上一点尸到准线/的距离为6,求点P的坐标；

O

(3)【能力提升】如图3所示，已知过抛物线>=尔(«>0)的焦点厂的直线依次交抛物线及准线/于点A、

B、C.若BC=2BF,AF=4,求a的值；

(4)【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将

Ar

一条线段A3分为两段AC和圆，使得其中较长一段AC是全线段A8与另一段的比例中项，即满足：二万

AB

=~=与1.后人把早这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点,

如图4所示，抛物线的焦点P(0,1),檄/与y轴交于点H(0,-1),E为线段HF的黄金分割

4

点，点M为)'轴左侧的抛物线上一点.当僚="时，请直接写出AHME的面积值.

2.Q022.江苏无锡）已知二次函数版+。图像的对称轴与x轴交于点A（1,o）,图像与），轴交

于点B（0,3）,C、。为该二次函数图像上的两个动点（点C在点。的左侧），且NCA£>=9（T

（1）求该二次函数的表达式；（2）若点C与点B重合，求tanZCDA的值；（3）点C是否存在其他的位置，使得

tan/COA的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.

13

3.Q022.山西）综合与探究：如图，二次函数），=-丁*2+x+4的图象与x轴交于A,8两点（点4在点B

42

的左侧），与y轴交于点C,点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为根.过点P

作直线PD1A-轴于点。，作直线BC交于点E

（1）求A,B,C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；（2）当aCEP是以PE为底边的等腰三角形

时，求点P的坐标；（3）连接AC,过点P作直线/1|AC,交y轴于点F,连接DF.试探究：在点P运动的

过程中，是否存在点P,使得若存在，请直接写出机的值；若不存在，请说明理由.

4.Q022・四川宜宾）如图，抛物线），“++-43。）、8"1,。”总5—、

bxc与x轴交于

C（0,3）DAC.（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；（2）在抛

,其顶点为点，连结

物线的对称轴上取一点E,点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平

行四边形，求点F的坐标；（3）在（2）的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M,煎P为抛物线的对

3

称轴上一动点，求+的最小值.

5.Q022.湖北恩施）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=-Y+（）

。与y轴交于点P0,4

（1）直接写出抛物线的解析式.

（2）如图，将抛物线y=-/+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为。，平移后的抛物线与x轴

交于A、B两点（点A在点B的右侧），与），轴交于点C.判断以8、C、。三点为顶点的三角形是否为直角

三角形，并说明理由.

(3)直线8c与抛物线y=-f+c交于M、N两点(点N在点M的右侧)，请探究在x轴上是否存在点T,使

得以8、N、T三点为顶点的三角形与VABC相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.

(4)若将抛物线y=--+c进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线3c最多只有一个公共点时，请直接写

出抛物线y=-/+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标.

6.Q022•广西玉林)如图，已知抛物线：y=-2/+bx+c与x轴交于点A,8(2,0)(A在B的左侧)，与)，

备用图

⑴求抛物线的解析式；⑵若点D为线段OC的中点，贝WPO。能否是等边三角形？请说明理由；

⑶过点尸作x轴的垂线与线段8c交于点垂足为点”，若以P,M,C为顶点的三角形与VBM”相似,

求点P的坐标.

7.Q022•广西)已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)

(1)求点A,点8的坐标；(2)如图，过点A的直线/:y=-x-1与抛物线的另一个交点为C,点P为抛物线对

称轴上的一点，连接用、PC,设点尸的纵坐标为肛当以=PC时，求〃?的值；

(3)将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN,若抛物线

y=a(-x2+2x+3)(〃工0)与线段MN只有一个交点，请直接写出a的取值范围.

8.Q022•福建)在平面直角坐标系X。)，中，已知抛物线经过A(4,0),B(1,4)两点.P是

抛物线上一点，且在直线A8的上方.

(1)求抛物线的解析式；(2)若△OAB面积是△%B面积的2倍，求点P的坐标；

(3)如图，0P交48于点C,PD||BO交A8于点。.记△CDP,ACPB,ACB。的面积分别为S“S,2

邑.判断”+:是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.

9.Q022.贵州黔东南）如图，抛物线y=“/+2x%•的对称轴是直线x=l,与x轴交于点A,8（3,0）,与y

轴交于点C,连接AC.

（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点。是第一象限内抛物线上的一个动点，过点。作。MJ.x轴，垂足为点M,

交直线BC于点N,是否存在这样的点N,使得以A,C.N为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,

请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；（3）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在

点尸，使以点B、C、E、产为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说

明理由.

10.Q022.湖南长沙）若关于x的函数x当+；时，函数），的最大值为最小值为M令函

M-N

数〃=——,我们不妨把函数人称之为函数了的“共同体函数”.

⑴①若函数y=4044x,当，=1时，求函数），的“共同体函数'%的值；

②若函数），=丘+万晨工0,k,b为常数），求函数），的“共同体函数”〃的解析式；

（2）若函数y=±（x>l）,求函数y的“共同体函数”〃的最大值；

x

（3）若函数y=-2+4x+3是否存在实数匕使得函数1，的最大值等于函数y的，共同体函数”/?的最小值.若

存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.

11.Q022.湖北武汉）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=/-2x-3的顶点为A,与y轴交于点

C,线段C例x轴，交该抛物线于另一点8.

（备用图）

⑴求点B的坐标及直线AC的解析式：（2）当二次函数y=y2-2x-3的自变量x满足"与机+2

时，此函数的

最大值为P，最小值为名且。-夕=2.求根的值：（3）平移抛物线），=X2-2X-3,使其顶点始终在直线

AC

上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为兄请直接写出

n的取值范围.

12.Q022.内蒙古通辽）如图，抛物线y=-/+打+。与x轴交于A,8两点，与y轴交于。点，直线8C方

程为y=x-3.

⑴求抛物线的解析式；⑵点P为抛物线上一点，若Sv-gSvA*请直接写出点P的坐标；

（3）点。是抛物线上一点，若NACQ=45。，求点。的坐标.

4

13.Q022•山东烟台)如图，已知直线旷=§x+4与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线ynaf+fer+c经

过AC两点，且与x轴的另一个交点为8,对称轴为直线x=-l.

；"

(1)求抛物线的表达式；(2)0是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m,求四边形ABCD面积S

的最大值及此时。点的坐标；(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点尸，＜2,使以点A,C,P,。为顶

点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P,。两点的坐标；若不存在，请说明理由.

14.Q022•山东聊城)如图，在直角坐标系中，二次函数＞=-/+法+。的图象与》轴交于人B两点，与y

轴交于点C(0,3)x=-\,顶点为点。.

,对称轴为直线

图①图②

(1)求二次函数的表达式；(2)连接D4,DC,CB,CA,如图①所示，M：ZDAC=^BC0；

(3)如图②，延长力C交x轴于点M,平移二次函数＞=-/+笈+。的图象，使顶点。沿着射线方向平

移到点。且CD=2CD,得到新抛物线y,y交轴于点N.如果在y的对称轴和)，上分别取点P,。，使

1111

以MN为一边,点M,N,P,Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标.

15.Q022•黑龙江齐齐哈尔)综合与探究

y=x2+，nr+〃的图象交点为A(-1,0),B(4,5).

如图，某一次函数与二次函数

(1)求抛物线的解析式；(2)点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为

(3)点。为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点。作。轴，交线段AB于点E,求线段OE长

度的最大值；(4)在(2)条件下，点M为y轴上一点，点尸为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内

一点，若以点C,M,F,N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标.

16.Q022•湖南)如图，已知抛物线了=以2+法+3(〃#0)的图像与x轴交于A。，。)8(4,0)

y

两点，与轴交

于点C,点。为抛物线的顶点.

(1)求抛物线的函数表达式及点。的坐标；(2)若四边形8CE尸为矩形，CE=3.点、M以每秒1个单位的速度

从点C沿CE向点E运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿EF向点尸运动，一点到达终点，另一

点随之停止.当以M、E、N为顶点的三角形与ABOC相似时，求运动时间，的值；

⑶抛物线的对称轴与x轴交于点P,点G是点P关于点。的对称点，点皿小2四心右

是轴下方抛物线图像上的动

o

Q/：丫=m+皿网＜：)与抛物线只有一个公共点，且分别与线段、

点.若过点的直线4GAGB相交于点4、K

求证：GH+GK为定值.

17.Q022•内蒙古包头)如图，在平面直角坐标系中，抛物线＞=0?+以“/0)与1轴交于4,8两点，点8

的坐标是(2,0),顶点C的坐标是(0,4),M是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线AM与)，轴交于点

G.

图1图2

(1)求该抛物线的解析式；(2)如图1,N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接。M,记VAOG'MOG的

面积分别为5,5,.当S=2S时，求证：点与点关于轴对称；

1,且直线CN||AMNMy

12

(3)如图2,直线与)，轴交于点H,是否存在点使得2。”-OG=7.若存在，求出点M的坐标；若

不存在，请说明理由.

4

18.Q022•广西梧州)如图，在平面直角坐标系中，直线y=-gx-4分别与x,)，轴交于点4,B,抛物线

2

)+法+。恰好经过这两点.

⑴求此抛物线的解析式；⑵若点C的坐标是(0,6),将△AC。绕着点C逆时针旋转90。得到△氏/，点A

的对应点是点E.访出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；霞点P是)，轴上的任一点，求赳史P

取最小值时，点P的坐标.

19.Q022•辽宁锦州)如图，抛物线y=/+6x+c与x轴交于A,B(4,0)两点(A在B的左侧)，与y轴交于

点C(0,U),点「在抛物线上，连接

BC,BP.

⑴求抛物线的解析式；(2)如图1,若点P在第四象限，点。在线段BC上，连接并延长交x轴于点瓦

连接CE,记VOCE的面积为S,VO8P的面积为邑，当时，求点的坐标；

1S=SP

(3)如图2,若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛跖蝮的对称轴/与线段BC交于点G,当

NPBC+aCFG=90。时，求点P的横坐标.

20.Q022•辽宁)如图，抛物线＞=以2+以+3交x轴于点A(3,0)和8(-1,0),交)，轴于点C.

备用图

DN

⑴求抛物线的表达式；⑵。是直线AC上方抛物线上一动点，连接“交AC于点N,当次的值最大时,

3

求点力的坐标；（3）P为抛物线上一点，连接CP,过点P作R2JLCPQtan/PCQ=：

交抛物线对称轴于点，当4

时，请直接写出点尸的横坐标.

21.Q022.辽宁营口）在平面直角坐标系中，抛物线），=-尸2+法+。经过点AJ］亍［8（4,0）

2I2盯和点，与y

轴交于点G点P为抛物线上一动点.

（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）如图,点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作尸。垂足为

S49

，作PE_Lx轴，垂足为E,交A8于点f设VP。产的面积为岳，V8EF的面积为邑，当戏=行时，求点

P坐标；（3）点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N,使得直线BC垂直平分线段PN?若存在，请直

接写出点N坐标，若不存在，请说明理由.

22.Q022・四川广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（存0）的图象与x轴交于A、C

两点，与）'轴交于点以其中点B坐标为（0,-4），点C坐标为（2.0）.

（1）求此抛物线的函数解析式.（2）点。是直线AB下方抛物线上一个动点，连接A。、BD,探究是否存在点

仅使得AA8O的面积最大？若存在，请求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△以8为直角三角形，请求出点P的坐标.

23.Q022.海南）如图1,抛物线y=ax2+2x+c经过点"「IM'并交x轴于另一点8,点P（x,y）

（1）求该抛物线的函数表达式；（2）当点P的坐标为（1,4）时，求四边形80cp的面积；（3）点。在抛物线上，

PD

当二万的值最大且VAPQ是直角三角形时，求点。的横坐标；（4）如图2,作CG1CRCG交x轴于点

AD

G（〃,0）,点H在射线CP上，且CH=CG.过GH的中点K/管/»轴，交抛物线于点/,连接出，以出

为边作出如图所示正方形”/MN,当顶点〃恰好落在y轴上时，请直接写出点G的坐标.

24-Q°22•内蒙古呼和浩特）如图，抛物线…/+云+c经过点仇4,。）和点C（0,2）,与x轴的另一个交

点为A,连接AC、BC.

（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；（2）如图1,若点。是线段AC的中点，连接8。，在y轴上是否存在点

E,使得V8OE是以8。为斜边的直角三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2,点P是第一象限内抛物线上的动点，过点?作「。||），轴，分别交BC、轴于点M、，当

N

△PMC中有某个角的度数等于NOBC度数的2倍时，请求出满足条件的点P的横坐标.

25.Q022•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=Y+bx+c（b,c是常数）经过点A（1,O）

,点

8（0,3）.点尸在此抛物线上，其横坐标为％.

（1）求此抛物线的解析式；（2）当点P在x轴上方时，结合图象，直接写出，〃的取值范围；（3）若此抛物线在点P

左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为2-机.①求，〃的值；②以附为边作等腰直角三角形力Q,当

点。Q

在此抛物线的对称轴上时，直接写出点的坐标.

26.Q022•黑龙江哈尔滨）在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，抛物线卜=以2+人经过点

J__3

点B

2，-8,与轴交于点c.

⑴求4b的值；（2）如图1,点。在该抛物线上，点D的横坐标为-2,过点。向y轴作垂线，垂足为点

E.点P为.V轴负半轴上的一个动点，连接。P、设点P的纵坐标为f,VOEP的面积为S,求S关于/的函

数解析式（不要求写出自变量，的取值范围）；（3）如图2,在（2）的条件下，连接0A,点尸在0A上，过

点尸向轴作垂线，垂足为点H连接。尸交y轴于点G,点G为。尸的中点，过点A作），轴的平行线与过

点P所作的x轴的平行线相交于点M连接CN,PB,延长P8交AN于点M,点次在PM上，连接RN,

若3cp=5GE,/PMN+/PDE=2ZCNR,求直线的解析式.

RN

27.Q022.湖北宜昌）已知抛物线＞=++法-2与x轴交于（）y

B4,0-C

线/由直线BC平移得到，与，轴交于点E（0,〃）.四边形MNPQ的四个顶点的H嬴另插豳乐第+3）直

(+),(+),Q(m+5,m+3).

⑴填空："=b=；（2）若点M在第二象限，直线/与经过点M的双曲线y=

X

有且只有一个交点，求“2的最大值；(3)当直线/与四边形MNPQ、抛物线丫=以2+反-2

都有交点时，存在

直线/,对于同一条直线/上的交点，直线/与四边形例NPQ的交点的纵坐标都不