中考数学二轮复习平行四边形单元测试及答案

中考数学二轮复习平行四边形单元测试及答案

一、选择题

1.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点（点P不与点B、D重合），PELBC于点

E,PFLCD于点F,连接EF给出下列五个结论：①AP=EF；②AP_LEF；③仅有当NDAP=

45。或67.5。时，4APD是等腰三角形；④NPFE=NBAP：⑤41pD=EC.其中有正确有

()个.

A.2B.3C.4D.5

2.如图，菱形ABCD中，ZABC=60°,A8=4,对角线AC、BD交于点O,E是线段80上

一动点，F是射线0C上一动点，若/AEF=120。，则线段EF的长度的整数值的个数有

3.如图，在正方形ABCD中，点P是AB的中点，BEJ.DP的延长线于点E,连接AE,

过点A作FALAE交DP于点F,连接BF、FC.下列结论中：①ABE丝ADF；

②PF=EP+EB；③BCF是等边三角形；④NADF="DCF；⑤S.=SCDF•其

中正确的是（）

A.（1X2X3）B.①©④C.②©⑤D.①®⑤

4.如图，菱形ABC。的边，AB=8,NB=60,P是A8上一点，BP=3,。是CD

边上一动点，将梯形APQ。沿直线P。折叠，A的对应点4'.当CA'的长度最小时，

C'。的长为（）

DO

ApB

uc13

A.5B.7C.8D.—

2

5.如图，矩形ABCD中，。为AC中点，过点。的直线分别与AB,CD交于点E,

F,连结交AC1于点M,连结DE,B0.若ZBOC=60。，FO=FC,则下列

结论：®AE=CF；②8/垂直平分线段OC；④四边形是

菱形.其中正确结论的个数是（）

6.已知点M是平行四边形ABCD内一点(不含边界)，设

4MAD=4,ZMBA=02,ZMCB=6VZMDC=04,若

ZAMB=110°,ZCMD=90°,ZBCD=60°,贝U()

A.g+-10°B.a+g_q_q=30°

c.a+g_&_q=30°D.名+2一a—q=4o°

7.在矩形ABCD中，点E、F分别在AB、AD上,ZEFB=2ZAFE=2ZBCE,CD=9,CE=20,

则线段AF的长为（）.

A.3亚B.-C.^/19D.4

8.如图，分别以MAAC3的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形

ABDE,连结CE、BG、GE.给出下列结论：

①CE=BG；

②EC工BG

③FG2+BF2=2BD2+BC2

④3c2+G£2=2402+243?其中正确的是（）

A.②③④B.①②③C.①②④D.①②③④

9.如图，在平行四边形ABC。中，过点A作AGL8C于G,作A”,CO于“，且

NGAH=45。，AG=2,AH=3,则平行四边形的面积是（）

A.6夜B.120C.6D.12

10.如图，4ABC的周长为19,点D,E在边BC上，NABC的平分线垂直于AE,垂足为

N,NACB的平分线垂直于AD,垂足为M,若BC=7,则MN的长度为（）

D.3

二、填空题

11.如图，RMABC中，ZC=90°,AC=2,BC=5,点D是BC边上一点且CD=1,点P是线段

DB上一动点，连接AP,以AP为斜边在AP的下方作等腰RtAAOP.当P从点D出发运动

至点B停止时，点O的运动路径长为.

D

12.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABC。的边C。、0A分别在x轴、y轴上，点E在边

BC上，将该矩形沿AE折叠，点B恰好落在边。C上的F处.若。A=8,CF=4,则点E的

坐标是

13.如图，AA6C是边长为1的等边三角形，取BC边中点E,作EO//A8,

EF//AC,得到四边形ED4F,它的周长记作储；取BE中点耳,作EQJ/FB,

E\F\UEF,得到四边形与口用，它的周长记作G•照此规律作下去，则

GO2O=------

14.如图，在平行四边形A8C。中，AB=6,8c=4,/A=120°,E是A8的中点，点尸在

平行四边形ABC。的边上，若AAEF为等腰三角形，则EF的长为

15.如图，R/A43E中，/8=90°,43=3£,将儿45后绕点4逆时针旋转45°，得到

AAHD,过。作。CL8E交班的延长线于点C，连接8”并延长交OC于点尸，连接

DE交BF于点0.下列结论：①DE平分NHDC；②DO=OE；③CD=HF；

@BC-CF=2CE-,⑤〃是的中点，其中正确的是

16.菱形08CD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点8（273，0）,NDOB=

60°,点P是对角线。C上一个动点，E（0,一1）,则EP十BP的最小值为

E"

17.如图，在平行四边形A8CD,AD^IAB,F是的中点，作CEJLA8,垂足E在线段A8

上，连接EF、CF,则下列结论：①N8CO=2/DCF；②EF=CF；③SACOF=SACEF;④NDFE=

3ZAEF,一定成立的是.（把所有正确结论的序号都填在横线上）

18.如图，已知在△ABC中，AB=AC=13,BC=10,点M是AC边上任意一点，连接MB,以

MB、MC为邻边作平行四边形MCNB,连接MN,则MN的最小值是

19.如图，正方形ABCD的边长为4,点E为AD的延长线上一点，且DE=DC,点P为边

AD上一动点，且PCLPG,PG=PC,点F为EG的中点.当点P从D点运动到A点时，则

CF的最小值为

20.如图，菱形04BC的两个顶点坐标为0(0,0),8(4,4),若将菱形绕点。以每秒

45°的速度逆时针旋转，则第2019秒时，菱形两对角线交点。的坐标为.

三、解答题

21.如图，在MAA8C中，ZBAC=90°，。是8C的中点，E是4。的中点，过点A

作AF//BC交BE的延长线于点F

(1)求证：四边形AOCF是菱形

(2)若AC=4,AB=5,求菱形AOCF的面积

22.如图1,A4BC是以NACB为直角的直角三角形，分别以A3,BC为边向外作正方

ABFG,BCED,连结AD,CF,AO与CF交于点M,与CF交于点N.

(1)求证：MBD\FBC；

(2)如图2,在图1基础上连接AF和尸£>,若A£>=6,求四边形ACOF的面积.

23.已知在ABC和AOE中，NACB+NAEO=180°,CA=CB,EA=ED,

AB=3.

(1)如图1,若NACB=90°,B、A、。三点共线，连接CE：

①若。石=述，求长度；

2

②如图2,若点F是3。中点，连接CF,EF,求证：CE=及EF;

（2）如图3,若点O在线段8C上，且NCAB=2NE4D,试直接写出AED面积的最

小值.

24.如图1,在045中，NOAB=9(T,ZAOB=30,0B=8,以。8为边，在AQW

外作等边AO8C，。是。8的中点，连接A。并延长交。C于E.

（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；

（2）连接AC,8E交于点P,求AP的长及AP边上的高BH；

（3）在（2）的条件下，将四边形0A8C置于如图所示的平面直角坐标系中，以E为坐标

原点,其余条件不变，以AP为边向右上方作正方形4PMN：

①M点的坐标为.

②直接写出正方形APMN与四边形0A8C重叠部分的面积（图中阴影部分）.

25.如图，在正方形ABC。中，点E是BC边所在直线上一动点（不与点B、C重合），过

点8作BFL0E,交射线DE于点F,连接CF.

备用图

（1）如图，当点E在线段BC上时，ZBDF=a.

①按要求补全图形；

②NEBF=（用含a的式子表示）：

③判断线段BF,CF,DF之间的数量关系，并证明.

（2）当点E在直线8c上时，直接写出线段8F,CF,DF之间的数量关系，不需证明.

26.如图1,点E为正方形ABC。的边A8上一点，EF上EC,且"=EC,连接

AF,过点F作FN垂直于BA的延长线于点N.

（1）求/EA尸的度数；

（2）如图2,连接FC交5。于M,交AO于P，试证明：

BD=BG+DG=AF+2DM.

27.如图，锐角AA6C,A8=AC,点。是边8C上的一点，以A。为边作A4OE,使

AE=AD,ZEAD=ABAC.

（1）过点E作EF//DC交AB于点尸，连接CF（如图①）

①请直接写出NEAB与ND4c的数量关系；

②试判断四边形COE尸的形状，并证明；

（2）若NB4C=60，过点。作什//。后交AB于点尸，连接EF（如图②），那么

（1）②中的结论是否任然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由.

28.在正方形4BCZ）中，连接BD,P为射线CB上的一个动点（与点C不重合），连接4P,

4P的垂直平分线交线段8。于点E,连接4E,PE.

提出问题：当点P运动时，乙4PE的度数是否发生改变？

探究问题：

（1）首先考察点P的两个特殊位置：

D

①当点P与点B重合时，如图1所示，44PE=°

②当BP=BC时，如图2所示，①中的结论是否发生变化？直接写出你的结论：

；（填"变化"或"不变化"）

（2）然后考察点P的一般位置：依题意补全图3,图4,通过观察、测量，发现：（1）中

①的结论在一般情况下；（填"成立"或"不成立"）

（3）证明猜想：若（1）中①的结论在一般情况下成立，请从图3和图4中任选一个进行

证明；若不成立，请说明理由.

29.点E在正方形ABCD的边BC上，点F在AE上，连接FB,FD,ZABF=ZAFB.

（1）如图1,求证：/AFD=NADF；

（2）如图2,过点F作垂线交AB于G,交DC的延长线于H,求证：DH=2AG：

（3）在（2）的条件下，若EF=2,CH=3,求EC的长.

图1图2备用图

30.如图，A48c是边长为3的等边三角形，点。是射线上的一个动点（点。不与

点、B、。重合），AAOE是以AZ）为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，交直线

（1）判断四边形BCFE的形状，并说明理由；

（2）当时，求四边形BCFE的周长;

（3）四边形8CFE能否是菱形？若可为菱形，请求出8。的长，若不可能为菱形，请说

明理由.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1.D

解析：D

【分析】

过P作PG_LAB于点G,根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明AAGP丝ZSFPE

后即可证明①AP=EF；@ZPFE=ZBAP；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性

质，在RtADPF中，Dp2=DF2+PF2=EC?+EC2=2EC2,求得DP=J，EC,得出⑤正确，即可得出

结论.

【详解】

过P作PG_LAB于点G,如图所示：

•.•点P是正方形ABCD的对角线BD上一点,

，GP=EP,

在AGPB中，NGBP=45°,

/GPB=45°,

；.GB=GP,

同理：PE=BE,

VAB=BC=GF,

；.AG=AB-GB,FP=GF-GP=AB-GB,

；.AG=PF,

在AAGP和AFPE中，

AG=PF

<NAGP=NFPE=90°,

PG=PE

.,.△AGP^AFPE(SAS),

；.AP=EF,①正确，ZPFE=ZGAP,

AZPFE=ZBAP,④正确；

延长AP到EF上于一点H,

AZPAG=ZPFH,

VZAPG=ZFPH,

AZPHF=ZPGA=90",

AAPIEF,②正确，

•.•点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，NADP=45。，

...当NPAD=45。或67.5。时，AAPD是等腰三角形，

除此之外，AAPD不是等腰三角形，故③正确.

：GF〃BC,

AZDPF=ZDBC,

XVZDPF=ZDBC=45°,

AZPDF=ZDPF=45°,

；.PF=EC,

.•.在RtADPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,

/.DP=V2EC,

即Y2PD=EC,⑤正确.

2

.♦.其中正确结论的序号是①②③④⑤，共有5个.

故选D.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，

勾股定理的运用.本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题.

2.C

解析：C

【解析】

【分析】

连结CE,根据菱形的性质和全等三角形的判定可得△ABE也△CBE,根据全等三角形的性质

可得AE=CE,设NOCE=a,NOAE=a,Z4EO=90°-a,可得NECF=NEFC,根据等角对

等边可得CE=EF,从而得到AE=EF,在R34B。中，根据含30。的直角三角形的性质得到

4。=2,可得2*E44,从而得到EF的长的整数值可能是2,3,4.

【详解】

解：如图，连结CE

;在菱形ABCD中，AB=BC,ZABE=ZCBE=30°,BE=BE,

：./\ABE注ACBE,

：.AE=CE,

设/OCE=。，ZOAE=a,ZAEO=90°-a,

：.ZD£f=120°-(90°-a)=30°+a,

?.NEFC=ZCDE+ZDEF=30°+30°+a=60°+a,

NECF=NDCO+ZOCE=600+a,

：.NECF=NEFC,

：.CE=EF,

：.AE=EF,

\"AB=4,ZABE=30°,

.•.在RtAABO中，40=2,

"：OA<AE<AB,

：.2<AE<4,

•••AE的长的整数值可能是2,3,4,即EF的长的整数值可能是2,3,4.

故选：C.

【点睛】

考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，根据含30。的直角三角形的

性质，解题的关键是添加辅助线，证明△48E丝△CBE.

3.B

解析：B

【解析】

【分析】

根据正方形的性质可得AB=AD,再根据同角的余角相等求出，BAE=/DAF,再根

据等角的余角相等求出NABE=/ADF,然后利用"角边角"证明ABE丝ADF；根据

全等三角形对应边相等可得AE=AF,判断出AEF是等腰直角三角形，过点A作

AMLEF于M,根据等腰直角三角形点的性质可得AM=MF,再根据点P是AB的中点

得到AP=BP,然后利用“角角边"证明APM和BPE全等，根据全等三角形对应边相

等可得BE=AM,EP=MP,然后求出PF=EP+EB；根据全等三角形对应边相等求

出DF=BE=AM,再根据同角的余角相等求出/DAM=NCDF,然后利用"边角边"

证明ADM和DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得/ADF=/DCF,

/CFD=/DMA=90;再求出CDHCF,判定BCF不是等边三角形；求出

CF〉FP,AM=DF,然后求出CDF.

【详解】

在正方形ABCD中，AB=AD,NDAF+NBAF=9()，

FA±AE,

.•./BAE+/BAF=9()，

NBAE=/DAF,

BE±DP.

.../ABE+/BPE=90，

又/ADF+/APD=90，，BPE=/APD(对顶角相等)，

NABE=/ADF,

在ABE和ADF中，

"NBAE=ZDAF

<AB=AD,

NABE=NADF

ABE丝ADF(ASA),故①正确；

AE=AF,BE=DF,

AEF是等腰直角三角形，

过点A作AMJ.EF于M,则AM=MF,

点P是AB的中点，

AP=BP,

在APM和BPE中，

'NBPE=NAPD

<NBEP=NAMP=90,

AP=BP

APMgBPE(AAS),

BE=AM,EP=MP,

PF=MF+PM=BE+EP,故②正确；

BE=DF,FM=AM=BE,

AM=DF,

又NADM+/DAM=90，NADM+/CDF=90，

—DAM=NCDF,

在ADM和DCF,

AD=DC

<ADAM=NCDF,

AM=DF

ADM丝DCF(SAS),

..CF=DM,/ADF=/DCF,NCFD="MA=90，故④正确;

在RtCDF中，CD>CF,

BC=CD,

CF彳BC,

BCF不是等边三角形，故③错误；

CF=DM=DF+FM=EM+FM=EF#FP,

又AM=DF,

<Sa)F，故⑤错误；

综上所述，正确的有①®④

故选B.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，同角或等角度余角相等的性质，三

角形的面积，综合性较强，难度较大，熟练掌握正方形的性质是解题的关键，作辅助线利

用等腰直角三角形的性质并构造出全等三角形是本题的难点.

4.B

解析：B

【解析】

【分析】

作A3于”，如图，根据菱形的性质可判断A4BC为等边三角形，则

CH=BAB=46AH=BH=4,再利用CP=7勾股定理计算出，再根据折叠的

2

性质得点A'在以点P为圆心，PA为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点A'在

PC上时，C4'的值最小，然后证明CQ=CP即可.

【详解】

解：作A3于"，如图，

菱形ABC。的边AB=8,ZB=60-

48c为等边三角形，

:.CH=BAB=4BAH=BH=4,

2

PB=3,

：.HP=\,

在用ACH尸中，3=J(4后+『=7,

梯形APQ。沿直线PQ折叠，A的对应点A',

.•.点A'在以点P为圆心，PA为半径的弧上，

...当点A'在PC上时，C4'的值最小，

:.ZAPQ=ZCPQ,

而CQ//A8,

ZAPQ=ZCQP,

NCQP=NCPQ,

：.CQ=CP=7.

【点睛】

考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条

对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.也考查了折叠的性质.解决本题的关

键是确定A，在PC上时CA，的长度最小.

5.C

解析：c

【分析】

通过证△AE。丝CFO可判断①；利用矩形的性质证AOCB是正三角形，可得②；因

OBXMB,得到③错误；通过证aEOB丝Z^FCB得到EB=FB,从而证④.

【详解】

:四边形ABCD是矩形

...AB〃DC,AO=OC

/.ZAEO=ZCFO,ZEAO=ZFCO

.".△AEO^CFO(AAS)

，AE=FC,①正确

•..四边形ABCD是矩形

.,.OC=OB

VZB0C=60o

.♦.△OCB是正三角形，，OB=OC

：FO=FC

/.FB是线段OC的垂直平分线，②正确

VBM±OC,.,.△OMB是直角三角形，/.OB>BM

...庄0BqkCMB是错误的，即③错误

•..四边形ABCD是矩形

；.EB〃DF,AB=DC

VAE=FC

.\EB=DF

，四边形EBFD是平行四边形

VAAEO^ACFO,OF=FC,.".AE=EO=OF=FC

•.,△OBC是正三角形，，NBOC=6(r=NBCO,BC=BO

，ZFCO=30°,，ZFOC=30°

，/FOB=30°+60°=90°

ZEOB=90°=ZFCB

.♦.△EOB丝△FCB(SAS)

/.EB=FB

平行四边形EBFD是菱形，④正确

故选：C

【点睛】

本题考查矩形的性质和证明，解题关键是证明4AOE丝ZXCOF和证明△BOC是正三角形.

6.D

解析：D

【分析】

依据平行四边形的性质以及三角形内角和定理，可得-也=10°，。4-优=30°,两式相加即可

得到02+04-61-03=40°.

【详解】

解：•.•四边形ABCD是平行四边形，

/BAD=NBCD=60°,

NBAM=60。。，ZDCM=60°-e3,

.二△ABM中，60°-也+。2+11。°=180°,即①，

△DCM中，60°-03+04+90°=180°,即。4-仇=30°②，

由②+①，可得(04-03)+(02-61)=40°,

：.%"「6\—色=40°；

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形的

对角相等是解题的关键.

7.C

解析：C

【分析】

如图，取CE的中点H,连接BH,设NEFB=2/AFE=2NECB=2a,则/AFB=3a,进而求出

BH=CH=EH=10,NHBC=NHCB=a,再根据AD〃BC求出EF〃BH,进而得出aFFG和aBGH

均为等腰三角形，则BF=EH=10,再根据勾股定理即可求解.

【详解】

如图，取CE的中点H,连接BH,设NEFB=2/AFE=2/ECB=2a,则NAFB=3a,

FD

；在矩形ABCD中有AD〃BC,ZA=ZABC=90°,

/.△BCE为直角三角形，

;点H为斜边CE的中点，CE=20,

，BH=CH=EH=10,ZHBC=ZHCB=a,

：AD〃BC,

；.NAFB=NFBC=3a,

/.ZGBH=3a-a=2a=ZEFB,

，EF〃BH,

AZFEG=ZGHB=ZHBC+ZHCB=2a=ZEFB=ZGBH,

.,.△EFG和4BGH均为等腰三角形，

.*.BF=EH=10,

VAB=CD=9,

•*-AF=VBF2-AB2=V102-92=V19-

故选c.

【点睛】

本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，解题的关键是根据

题意正确作出辅助线.

8.C

解析：C

【分析】

利用SAS证明aAGB会ZXACE,即可判断①；证明NBNM=NMAE=90。，即可判断②；假设

③成立，利用勾股定理对等式变形证得AC=BC,而AC与不一定相等，即可判断

③；利用勾股定理证得BC-+EG2=BE2+CGr,从而证得结论④成立.

【详解】

四边形ACFG和四边形ABDE都是正方形，

；.AC=AG,AB=AE,

VZCAG=ZBAE=90°,

Z.ZCAG+ZBAC=ZBAE+ZBAC,即ZGAB=ZCAE,

^AAGB^IIAACE中，

AG=AC

ZGAB=NCAE,

AB=AE

.♦.△AGB丝△ACE(SAS),

/.GB=CE,故①正确；

G

VAAGB^AACE,

.../GBA=/CEA,

又...NBIVINMEMA,

；./BNM=NMAE=90。，

ECLBG,故②正确；

设正方形ACFG和正方形ABDE的边长分别为。和b,

,/为直角三角形，且AB为斜边，

AB2-AC2=b2-a2=BC2，

假设FG2+BF2=2BD2+BC2成立，

则有〃+（4+5。）2=2从+3。2,

整理得：2aBC=2（b2-a2）,即qBC=BC?,

a=BC,即AC-BC,

•；AC与BC不一定相等，

假设不成立，故③不正确；

连接CG,BE,设BG、CE相交于N,

G

•：EC1BG,

二BC2+EG2=BN?+NC2+EN2+NG2=BN?+EN2+NC2+NG2=BE2+CG2，

,/四边形ACFG和四边形ABDE都是正方形，

BE2=2AB2-CG2=2AC2>

，BC2+EG2=2AB2+2AC2，故④正确；

综上，①②④正确，

故选：C.

【点睛】

本题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定

义、勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键.

9.A

解析：A

【分析】

设N8=x,先根据平行四边形的性质可得ND=NB=x,ZBAD=180。-x,AB=CD,

再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得x=45。，然后根据等腰直角三角形的判

定与性质、勾股定理可得A8=2及，从而可得。=2加，最后利用平行四边形的面积

公式即可得.

【详解】

设NB=x,

四边形ABCD是平行四边形，

ND=NB=x,NBAD=180°—N5=180°—x,A8=CO,

AG±BC,AH±CD,

NBAG=90°-ZB=90°-x,ADAH=90°-ZD=90°-x,

又NBAG+NGAH+ADAH=NBAD=180°—x,ZGAH=45°,

90°—x+45°+90°—x=180°—x,

解得x=45。，

即ZB=45°,

/.RlABG是等腰直角三角形，

BG=AG=2,AB=^AG2+BG2=272>

:.CD=2叵,

，平行四边形ABCD的面积是A".CD=3x2及=60，

故选：A.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的两锐角互余、等腰直角三角形的判定与性

质、勾股定理等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键.

10.C

解析：c

【分析】

证明ABNAgaBNE,得至IJBA=BE,即^BAE是等腰三角形，同理ACAD是等腰三角形，根据

题意求出DE,根据三角形中位线定理计算即可.

【详解】

解：：BN平分/ABC,BN1AE,

NNBA=NNBE,ZBNA=ZBNE,

在ABNA和ABNE中，

'4ABN=4EBN

<BN=BN,

NANB=NENB

.".△BNA^ABNE,

BA=BE,

/.△BAE是等腰三角形，

同理ACAD是等腰三角形，

••.点N是AE中点，点M是AD中点(三线合一)，

AMN是AADE的中位线，

：BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12,

，DE=BE+CD-BC=5,

15

,-.MN=—DE=-.

22

故选C.

【点睛】

本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三

边，并且等于第三边的一半是解题的关键.

二、填空题

11.272

【解析】

分析：过。点作OELCA于E,OFJ_BC于F,连接CO,如图，易得四边形OECF为矩形，

由AAOP为等腰直角三角形得到OA=OP,/AOP=90。，则可证明△OAEgZXOPF,所以

AE=PF,OE=OF,根据角平分线的性质定理的逆定理得到CO平分/ACP,从而可判断当P

从点D出发运动至点B停止时，点。的运动路径为一条线段，接着证明

CE=；(AC+CP),然后分别计算P点在D点和B点时0C的长，从而计算它们的差即可得

到P从点D出发运动至点B停止时，点。的运动路径长.

详解：过。点作OE_LCA于E,OF_LBC于F,连接CO,如图，

VAAOP为等腰直角三角形,

，OA=OP,/AOP=90°,

易得四边形OECF为矩形，

NEOF=90°,CE=CF,

AZAOE=ZPOF,

.".△OAE^AOPF,

；.AE=PF,OE=OF,

ACO平分NACP,

/.当P从点D出发运动至点B停止时，点。的运动路径为一条线段，

VAE=PF,

即AC-CE=CF-CP,

而CE=CF,

Z.CE=—(AC+CP),

2

Ji

0C=J2CE=—(AC+CP)，

2

当AC=2,CP=CD=1时，0C=—x(2+1)

22

当AC=2,CP=CB=5时，OC=Ylx(2+5)

22

当P从点D出发运动至点B停止时，点0的运动路径长=迪-迪=20.

22

故答案为20.

点睛：本题考查了轨迹：灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定

轨迹的几何特征，然后进行几何计算.也考查了全等三角形的判定与性质.

12.(-10,3)

【解析】

试题分析：根据题意可知△CEFS/SOFA,可根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得

0F=2CE,设CE=x,则BE=8-x,然后根据折叠的性质，可得EF=8-x,根据勾股定理可得

222

X+4=(8-X),解得X=3,则OF=6,所以0c=10,由此可得点E的坐标为(-10,3).

故答案为：(・10,3)

13-^―

•22018

【分析】

根据几何图形特征，先求出£、G、C3,根据求出的结果，找出规律，从而得出GO2O.

【详解】

:点E是BC的中点，ED/7AB,EF〃AC

ADE,EF是△ABC的中位线

:等边^ABC的边长为1

1

.\AD=DE=EF=AF=-

2

则G=gx4=2

同理可求得：C2=l,c^=—

-2

发现规律：规律为依次缩小为原来的!

2

。2020=京T

故答案为：

【点睛】

本题考查找规律和中位线的性质，解题关键是求解出几组数据，根据求解的数据寻找规

律.

14.3若或3或恒

2

【分析】

△AEF为等腰三角形，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和30°直角三角形性质、平

行四边形的性质可求解.

【详解】

解：当AE=A产时，如图，过点A作A/71EF于4，

:.AE=-AB=3,

2

AE=AF,AHLEF,ZA=120。，

ZAEF=NAFE=30°,FH=EH,

AH=-AE=-,EH=y/3AH=-,

222

:.EF=2EH=3y/3，

当AF=E尸时，如图2,

过点A作AN_LCD于N,过点F作FM_LAB于M，

ME

B

DMF，

图2

在平行四边形ABC。中，AB=6,BC=4,NA=120。,

AD=BC=4,ZADC=60°,

NDAN=30°,

:.DN=^AD=2,AN=43DN=2x/3>

ABI/CD,ANVCD,FMA.AB,

:.AN=MF=2后，

AF=EF,FMAB,

3

.-.AM=ME=-,

2

EF=X/ME2+MF2=J12+-=—；

V42

当AE=EF=3时，如图3,

・•.EF=3,

综上所述：E『的长为3右或3或避7.

2

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问

题是本题的关键.

15.①②④⑤

【分析】

根据ZB=90。，AB=BE,AABE绕点A逆时针旋转45。，得到AAHD,可得AABEmAAHD,并且

△ABE和AAHD都是等腰直角三角形，可证AD〃BC,根据DCLBC,可得NHDE=NCDE,根

据三角形的内角和可得NHDE=NCDE,即DE平分/HDC,所以①正确；

利用NDAB=NABC=NBCD=90。,得到四边形ABCD是矩形，有NADC=90。，NHDC=45°,由

①有DE平分NHDC,得/HDO=22.5°,可得/AHB=67.5°,ZDHO=22.5°,可证OD=OH,

利用AE=AD易证NOHE=/HEO=67.5°,则有OE=OH,OD=OE,所以②正确；

利用AAS证明ADHEmADCE,则有DH=DC,ZHDE=ZCDE=22.5",易的NDHF=22.5°,

ZDFH=112.5°,则ADHF不是直角三角形，并DHHHF,即有：CDwHF,所以③错误；

根据aABE是等腰直角三角形，川_LJE,：J是BC的中点，H是BF的中点，得到2JH=CF,

2JC=BC,JC=JE+CE,易证BC-CF=2CE,所以④正确：

过H作HJJ_BC于J,并延长HJ交AD于点I,得LI_LAD,I是AD的中点，J是BC的中点,

H是BF的中点，所以⑤正确；

【详解】

VRtAABE41.ZB=90",AB=BE,

NBAE=NBEA=45°,

又•.,将AABE绕点A逆时针旋转45。，得到AAHD,

.,.△ABE=AAHD,并且AABE和AAHD都是等腰直角三角形，

NEAD=45°,AE=AD,ZAHD=90°,

AZADE=ZAED,

AZBAD=ZBAE+ZEAD=45°+45°=90°,

；.AD〃BC,

.\ZADE=ZDEC,

；./AED=NDEC,

XVDC1BC,

，/DCE=NDHE=90°

...由三角形的内角和可得NHDE=NCDE,

即：DE平分/HDC,所以①正确：

VZDAB=ZABC=ZBCD=90°,

四边形ABCD是矩形，

AZADC=90°,

；./HDC=45°,

由①有DE平分NHDC,

11

ZHDO=—NHDC=-X45°=22.5°,

22

：/BAE=45°,AB=AH,

AZOHE=ZAHB=y(180--ZBAE)=x(180o-45o)=67.5°,

AZDHO=ZDHE-ZFHE=ZDHE-ZAHB=90°-67.50=22.5°,

.\OD=OH,

在AAED中，AE=AD,

ZAED=；(180°-ZEAD)=；x(180o-45o)=67.5o,

.,.ZOHE=ZHEO=67.5°,

；.OE=OH,

.•.OD=OE,所以②正确；

在ADHE和ZiDCE中，

ZDHE=ZDCE

NHDE=ZCDE,

DE=DE

.\ADHE=ADCE(AAS),

1

，DH=DC,/HDE=NCDE=—x45°=22.5",

2

VOD=OH,

，NDHF=22.5°,

NDFH=180°-NHDF-NDHF=180°-45°-22.5°=112.5°,

ADHF不是直角三角形，并DHKHF,

即有：CDXHF,所以③不正确；

如图，过H作HJ_LBC于J,并延长HJ交AD于点I,

1•△ABE是等腰直角三角形,JH±JE,

；.JH=JE,

又是BC的中点，H是BF的中点，

；.2JH=CF,2JC=BC,JC=JE+CE,

，2JC=2JE+2CE=2JH+2CE=CF+2CE=BC,

即有：BC-CF=2CE,所以④正确；

VAD//BC,

IJ1AD,

又•••△AHD是等腰直角三角形，

二1是AD的中点，

•.•四边形ABCD是矩形,HJ1BC,

AJ是BC的中点，

，H是BF的中点，所以⑤正确；

综上所述，正确的有①②④⑤，

故答案为：①②④⑤.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及等

腰直角三角形的判定与性质；证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键.

16.V19

【分析】

先根据菱形的性质可得0C垂直平分BD,从而可得DP=BP,再根据两点之间线段最短

可得EP+BP的最小值为DE,然后利用等边三角形的判定与性质求出点D的坐标，最后

利用两点之间的距离公式即可得.

【详解】

如图，连接BP、DP、EP、DE、BD,过点D作D4J.于点A,

B(2A/3,0).

OB=26，

四边形ABCD是菱形，

.•.。。垂直平分8。，OB=OD=2g，

点P是对角线oc上的点，

:.DP=BP，

：.EP+BP=EP+DP,

由两点之间线段最短可知，EP+OP的最小值为DE,即EP+8P的最小值为DE,

OB=OD,ZDOB=60°,

：.80。是等边三角形，

DA±OB,

：OA=；OB=6,AD=\IOD2-OA2=7(2V3)2-(V3)2=3-

/.£>(G,3),

又£(0,-1),

/.DE="(百-0)2+(3+1)2=晒，

即EP+BP的最小值为V19，

故答案为：V19.

【点睛】

本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、两点之间的距离公式等知识点，根据

两点之间线段最短得出EP+BP的最小值为DE是解题关键.

17.①②④

【分析】

①根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质即可判断：

②延长EF,交CD延长线于点M,首先根据平行四边形的性质证明，得

出FE=MF,ZAEF=ZM,进而得出NECD=ZAEC=90°,从而利用直角三角形斜

边中线的性质即可判断；

③由尸£=得出SVEFC=SVCF”，从而可判断正误；

④设NbEC=尤，利用三角形内角和定理分别表示出NDFE和NAEF,从而判断正误.

【详解】

①••,点F是AD的中点，

，AF=FD.

•.,在平行四边形ABCD中,AD=2AB,

AD//BC,AF=FD=CD,

ZDFC=ZFCB,ADFC=ZDCF,

ZFCB=ZDCF,

.♦.NBCD=2NDCF,故①正确；

②延长EF,交CD延长线于点M,

•・•四边形ABCD是平行四边形，

AB//CD,

.-.Z4=ZMDF,

•.•点F是AD的中点，

AF=FD.

Z=AFDM

在AEE和DFM中,<AF^DF

NAFE=NDFM

.-.△A£F=ADfM(ASA)

:.FE=MF,ZAEF=ZM.

CEA.AB,

:.ZAEC=90°,

NEC。=NAEC=90。，

:.CF=LEM=EF,故②正确；

2

③,：FE=MF,

,,S'EFC~Sy/CFM'

S&CFM=S&CDF+S9fDF

'''SfDF<S&EFC，故③错误；

④设NFEC=x,则ZFCE=x,

:.ZDCF=ZDFC=9(r-x,

:.ZEFC=\S(r-2x,

.­.ZEKD=900-A:+180O-2X=270O-3X.

QZAEF=90P-x,

:.ZDFE=3ZAEF,故④正确；

综上所述，正确的有①②④，

故答案为：①②④.

【点睛】

本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，掌握这

些性质和定理是解题的关键.

120

18.—

13

【分析】

设MN与BC交于点。,连接A。，过点。作。于H点，根据等腰三角形的性质和勾

股定理可求A。和。H长，若MN最小,则M。最小即可，而。点到AC的最短距离为

长，所以MN最小值是20H.

【详解】

解：设MN与BC交于点。，连接A。，过点。作于”点，

四边形MCNB是平行四边形,

二。为8c中点，MN=2M0.

'：AB=AC=13,fiC=10,

：.AO±BC.

在RtzXAOC中，利用勾股定理可得

AO=ylAC2-CO2=7132-52=12•

利用面积法：AOXCO=ACXOH,

即12X5=13X0”,解得。H=竺.

13

当仞。最小时，则MN就最小，。点到AC的最短距离为。”长,

所以当M点与，点重合时，M。最小值为。H长是”.

13

所以此时MN最小值为2。”=—.

13

a120

故答案为：——.

13

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质、垂线段最短、勾股定理、等腰三角形的性质，解题的

关键是分析出点到某线段的垂线段最短，由此进行转化线段，动中找静.

19.20

【分析】

由正方形ABCD的边长为4,得出AB=BC=4,NB=90°,得出AC=4后，当P与D重合

时，PC=ED=PA,即G与A重合，则EG的中点为D,即F与D重合，当点P从D点运动到

A点时，则点F运动的路径为DF,由D是AE的中点，F是EG的中点，得出DF是4EAG

的中位线，证得NFDA=45°,则F为正方形ABCD的对角线的交点，CF1DF,此时CF最

小，此时CF=；AG=2血.

【详解】

解：连接FD

,/正方形ABCD的边长为4,

；.AB=BC=4,ZB=90°,

••AC=4-^2，

当P与D重合时，PC=ED=PA,即G与A重合，

；.EG的中点为D,即F与D重合，

当点P从D点运动到A