专题10等比数列（知识梳理精讲）

专题10等比数列知识点一等比数列的概念定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为．例1．（1）、（2023上·山东潍坊·高三校考期中）在等比数列中，已知，，则该等比数列的公比是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设公比为，根据建立关于的方程，解出即可.【详解】设公比为，由，，，得，即.故选：D.（2）、（2016上·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习）已知数列是等比数列，若，，则.【答案】96【分析】根据等比数列的通项公式求出，则得到.【详解】在等比数列中，由，，得，故答案为：96.（3）、（2023上·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）设数列的公比为，则“且”是“是递减数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据题意，结合等比数列的通项公式，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果.【详解】由等比数列的通项公式可得，，当且时，则，且单调递减，则是递减数列，故充分性满足；当是递减数列，可得或，故必要性不满足；所以“且”是“是递减数列”的充分不必要条件.故选：A1．（2023下·高二课时练习）两个数4和9的等比中项是（

）A．6 B．C． D．【答案】B【分析】利用等比中项的定义即可得出．【详解】设4和9的等比中项为，则，所以.故选：B.2．（2024上·北京大兴·高三统考期末）设是等比数列，，，则.【答案】16【分析】结合等比数列通项公式计算即可得.【详解】设，则，故.故答案为：16.3．（2023下·高二课时练习）在等比数列中，，，则.【答案】【分析】根据等比数列的通项公式得与之间的关系，代入计算即可.【详解】.故答案为：.例2．（2023上·上海普陀·高三曹杨二中校考期中）已知数列满足，.(1)证明：数列为等比数列，并求的通项公式；(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项、、（其中、、成等差数列）成等比数列？若存在，求出所有满足条件的、、；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析，(2)不存在，理由见解析【分析】（1）利用等比数列的定义可证明出数列为等比数列，确定数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，进而可得出数列的通项公式；（2）根据等差数列的定义出，假设存在满足条件的三项、、（其中、、成等差数列），由已知可得出，根据等比数列的定义可得出，化简得出，再利用作差法推出矛盾，即可得出结论.【详解】（1）解：因为数列满足，，则当时，，且，所以，数列是以为首项，为公比的等比数列.所以，，故.（2）解：在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，则，假设数列中是否存在不同的三项、、（其中、、成等差数列）成等比数列，则，即，即，由已知可得，所以，，事实上，，即，矛盾，假设不成立，故不存在这样的三项、、成等比数列.1．（2023上·江苏镇江·高三校考阶段练习）已知数列的前n项和为，是n、的等差中项，．(1)证明：是等比数列；(2)设，数列的前n项和，证明：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据条件得到时的递推关系式，两式作差得到新的递推关系式，将其化简可完成证明；（2）代入的通项公式于，将的通项公式裂项，然后采用裂项相消法进行求和并根据结果完成证明.【详解】（1）因为是的等差中项，所以，所以，两式相减可得：，所以，又，所以，，所以是首项为，公比为的等比数列；（2）由（1）可知，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以.知识点二等比数列的通项公式（1）、设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式．（2）、推广形式：例4．（1）、（2023上·湖南岳阳·高二校考竞赛）在数列中，，，则为（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可以得到数列为等比数列，从而求解出数列的通项公式.【详解】因为，所以，又因为，所以，故为首项为3，公比为2的等比数列，所以，故.故选：B.（2）、（2023上·江苏扬州·高二统考阶段练习）已知为等比数列，公比，，且成等差数列，则通项公式．【答案】【分析】由成等差数列，得，然后利用等比数列通项公式，代入求出公比即可.【详解】由成等差数列，且，得，解得或，又，所以，所以，故答案为：.（3）、（2023上·上海虹口·高三校考期中）已知数列是首项为2公差不为0的等差数列，且其中、、三项成等比数列，则数列的通项公式．【答案】【分析】根据等差数列的通项公式和等比中项的性质列方程，解方程得到，然后求通项即可.【详解】设数列的公差为，则，即，解得或0（舍去），所以.故答案为：.（4）、（2023上·重庆·高三西南大学附中校考期中）等比数列中，，，则.【答案】【分析】利用等比数列定义即可求得，代入计算可得.【详解】根据题意可得设等比数列的公比为，则易知，可得，即；而.故答案为：1．（2017上·宁夏石嘴山·高二石嘴山市第三中学校考期中）已知等比数列中，，，则该数列的通项（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知列式求得等比数列的公比，进一步求得首项，代入等比数列的通项公式得答案．【详解】在等比数列中，由，，得，，则，，故选：B．2．（2023上·广东汕头·高三汕头市潮阳黄图盛中学校考阶段练习）在正项等比数列中，，，则的通项公式.【答案】【分析】由通项公式求得公比，再确定出首项，即可得通项公式．【详解】设公比为，则，因此，又，因此，故解得，所以，．故答案为：．3．（2023上·陕西渭南·高三校考阶段练习）数列的前项和为，若，则．【答案】【分析】降次作差得，再利用等比数列通项公式即可得到答案.【详解】①，②，两式相减得，故，，令中得，，所以，而不适合上式，故答案为：.4．（2022上·浙江杭州·高二杭州高级中学校考期末）已知数列的首项，前n项和为，若，则．【答案】【分析】将替换为得到新等式，然后两式作差得到时为等比数列，注意检验是否满足，由此可求的通项公式.【详解】因为，所以,两式相减可得，所以，又因为，所以，当时，，当时，不符合的情况，所以，故答案为：.例4．（2024上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期末）已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)若，求的前1012项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项即可得解；（2）由裂项相消法可求出前1012项和.【详解】（1）设等差数列的公差为，又，则，，因为成等比数列，所以，即，得，又因为是公差不为零的等差数列，所以，即.（2）由（1）知，.1．（2023上·福建泉州·高三校考阶段练习）已知各项均不相同的等差数列的前四项和，且成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)设为数列的前n项和，求【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等差数列求和公式及等比中项计算即可；（2）利用裂项相消法计算即可.【详解】（1）设公差为，由题意得，解得舍或，所以，故；（2）由（1）知，.知识点三等比中项（1）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即是与的等比中项⇔，，成等比数列⇒．（2）若时，则，特别地，当时，．例5．（1）、（2024上·河北保定·高二保定一中校考阶段练习）在等比数列中，，是方程的两根，则的值为．【答案】【分析】根据给定条件，利用等比数列性质计算即得.【详解】由，是方程的两根，得，显然，则，在等比数列中，同号，即，又，，所以.故答案为：（2）、（2023上·陕西西安·高二西北工业大学附属中学校考期中）已知数列是等差数列，数列是等比数列，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等差等比数列的性质即可求解.【详解】解：数列是等差数列，，可得，即，数列是等比数列，，可得，可得，则.故选：B.（3）、（2023下·黑龙江大庆·高二大庆中学校考开学考试）在正项等比数列中，，则.【答案】4【分析】利用等比中项的性质，可得答案.【详解】在正项等比数列中，，所以，所以，.故答案为：.1．（2023·四川成都·统考一模）记为公差不为零的等差数列的前n项和.若，且，，成等比数列，则的值为.【答案】2022【分析】根据等差数列的性质可得，结合等比中项可得，结合等差数列的定义分析求解.【详解】因为数列为等差数列，则，可得，设等差数列的公差为，因为，，成等比数列，则，即，解得或（舍去），所以.故答案为：2022.2．（2023上·湖北·高二期末）已知数列是公比为的正项等比数列，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等比中项的概念（或等比数列的性质）先求出，再根据等比数列的第二通项公式求出，最后根据对数的定义求值.【详解】因为，且，所以，所以，所以，故选：B3．（2022下·四川南充·高一四川省南充高级中学校考阶段练习）设，若3是与的等比中项，则的最大值是.【答案】1【分析】利用等比中项的概念和基本不等式求解.【详解】因为3是与的等比中项，所以，所以，由基本不等式可得，，当且仅当时取得等号，所以的最大值是1，故答案为:1.知识点四等比数列的综合性质等比数列的公比为，其前项和为例6．（1）、（2024·安徽淮北·统考一模）正项等差数列的前项和为，若，，成等比数列，则的最小值为.【答案】/【分析】利用等差数列前项和的性质及等比中项，结合基本不等式计算即可.【详解】设的公差为，则，而，当且仅当时取得等号.故答案为：（2）、（2017上·宁夏石嘴山·高二石嘴山市第三中学校考期中）若等比数列满足，则等于（

）A．6 B．±6 C．5 D．±5【答案】B【分析】由等比数列性质得，由此能求出的值.【详解】解：∵等比数列满足，∴，∴.故选：B.（3）、（2024上·河北邢台·高二河北省博野中学校联考期末）现有一根4米长的木头，第一天截掉它的，以后每一天都截掉它前一天留下的木头的，到第天时，共截掉了米，则（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】由题意，归纳出截掉的长度和天数成等比数列，根据等比数列求解即可.【详解】设第天截掉的木头长度为，则是首项为2，公比为的等比数列，则该等比数列的前项和.由，得，得.故选：B.1．（2024上·吉林白山·高二统考期末）等比数列的各项均为正数，其前项和为，已知，则.【答案】16【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件求出首项、公比可得答案.【详解】设等比数列的公比为，因为，所以，可得，解得，（舍去），，所以.故答案为：.2．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知公差不为的等差数列的前项和为，若，，成等比数列，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等比中项的性质及等差数列通项公式得到，再根据等差数列前项和公式计算可得.【详解】因为，，成等比数列，所以，又，所以，显然，所以，即，所以，又，所以.故选：B3．（2023上·江苏南通·高二统考期末）已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前n项积，则取得最大值时n的值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】先求出的通项公式，利用函数的性质即可求得取得最值时的值.【详解】因为数列为等比数列，，公比，所以，所以，当时，最大，即，解得：，所以当时，最大.故选：B.例7．（2021·全国·统考高考真题）设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前n项和．证明：．【答案】（1），；（2）证明见解析.【分析】（1）利用等差数列的性质及得到，解方程即可；（2）利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可.【详解】（1）因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和，，．设，

⑧则．

⑨由⑧⑨得．所以．因此．故．[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得，，①，②①②得，所以，所以，所以.[方法三]：构造裂项法由（Ⅰ）知，令，且，即，通过等式左右两边系数比对易得，所以．则，下同方法二．[方法四]：导函数法设，由于，则．又，所以，下同方法二．【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造，使，求得的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数