第06讲复数的四则运算（2个知识点方法练创新练成果练）

第06讲复数的四则运算（2个知识点+方法练+创新练+成果练）【目录】【新知讲解】知识点1.复数的加、减运算及其几何意义知识点2.复数的乘、除运算【方法练】【创新练】【成果练】【知识导图】【新知讲解】知识点1.复数的加、减运算及其几何意义1．复数加法与减法的运算法则(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则①z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；②z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.(2)对任意z1，z2，z3∈C，有①z1＋z2＝z2＋z1；②(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．2．复数加减法的几何意义如图所示，设复数z1，z2对应向量分别为eq\o(OZ,\s\up14(→))1，eq\o(OZ,\s\up14(→))2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量eq\o(OZ,\s\up14(→))与复数z1＋z2对应，向量eq\o(Z2Z1,\s\up14(→))与复数z1－z2对应．规律方法1．用复数加、减运算的几何意义解题的技巧(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．2．常见结论在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB为平行四边形；若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．3．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．4．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．5．|z－z0|表示复数z和z0所对应的点的距离，当|z－z0|＝r(r＞0)时，复数z对应的点的轨迹是以z0对应的点为圆心，半径为r的圆．例一、单选题1．（2023上·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）在复平面内，为原点，为虚数单位，复数对应的向量，则（

）A．3 B． C．2 D．【答案】D【分析】由复数的几何意义可得，再根据题意计算复数的模即可.【详解】因为复数对应的向量，所以，所以.故选：.2．（2023·全国·模拟预测）已知复数的共轭复数是，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，然后代入化简，再结合复数相等的条件可求出，从而可求出复数.【详解】设，则，所以，即，所以，解得，因此，故选：C．3．（2023下·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考期中）设复数，满足，，复数在复平面内所对应的点分别为A，B，C，则三角形的面积为（

）A．3 B． C．2 D．【答案】D【分析】设，，根据复数的线性运算及几何意义可得，，，，进而得到，可得，，，进而求解即可.【详解】设，，则，所以，，，，所以，即，所以，又，，在中，过作，垂足为，则为中点，即，所以，所以.故选：D.

例二、解答题4．（2023·全国·高一随堂练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)2(3)0(4)(5)(6)【分析】根据复数的加减运算求解.【详解】（1）由题意可得：.（2）由题意可得：.（3）由题意可得：.（4）由题意可得：.（5）由题意可得：.（6）由题意可得：.5．（2023·全国·高一随堂练习）类比复数加法的几何意义，请写出复数减法的几何意义．【答案】答案见详解【分析】根据复数的减法结合复数的几何意义分析说明.【详解】设，且在复平面内对应的向量分别为，可知，因为，设在复平面内对应的向量为，则，可知，即的差向量对应的复数即为，所以复数的减法可以按照向量的减法进行计算.知识点2.复数的乘、除运算例一、单选题1．（2024·河南·模拟预测）复数的实部与虚部之和为（

）A．0 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】应用复数的乘除法化简复数，进而求实部与虚部之和.【详解】，所以实部与虚部之和为.故选：C2．（2023上·西藏林芝·高三统考期末）已知复数满足，则的虚部为（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】利用复数的除法运算先求出，然后利用共轭复数定义求出即可解决问题.【详解】因为，所以，所以，所以的虚部为2，故选：D.3．（2022上·安徽安庆·高三校考期末）若复数z满足，则在复平面内对应的点在第（

）象限．A．一 B．二 C．三 D．四【答案】A【分析】利用复数的除法运算及模长公式求出复数，再判断即可得解.【详解】由题意知，所以，所以，所以在复平面内对应的点为，在第一象限．故选：A．4．（2024·全国·模拟预测）已知，复数，且，则（

）A． B．1 C．2 D．【答案】D【分析】先利用复数的相等列方程求，再进行复数的运算即可.【详解】因为，且，所以，即，所以，解得，则，所以.故选:D.例二、解答题5．（2024·全国·高三专题练习）设，，，，为个复数．(1)如果，求证：；(2)若，则有什么样的结果？【答案】(1)证明见解析(2)应有等式成立．【分析】（1）设出复数，表示共轭复数及复数的模，得到，，即可证明；（2）通过计算得到，结合（1）计算即可得到等式.【详解】（1）设，则，，，由，得，，所以，即，，所以.（2）若，即，由（1）知，，所以，即，则，即个模相等且不为的复数，，，，应有等式成立．【方法练】一、单选题1．（2022·全国·校联考模拟预测）下列关于复数的四个命题中，错误的是（

）A． B．C．z的共轭复数为1+i D．z的虚部为1【答案】B【分析】利用复数的运算法则计算出结果即可判断四个选项正误.【详解】，则，选项正确；，选项不正确；的共轭复数为，选项正确；的虚部为，选项正确；故选：.2．（2021·四川成都·石室中学统考一模）已知（，，i为虚数单位），复数，则（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】对化简，可求出复数，从而可求出【详解】由，得．所以因为，所以，，所以．故选：A二、多选题3．（2022·山东济南·统考模拟预测）若，，则（

）A． B．C．在复平面内对应的点在第二象限 D．是实数【答案】ABD【分析】利用复数的四则运算法则及复数的摸公式，结合复数的复数的几何意义及复数的概念即可求解.【详解】因为，所以A正确；因为，，所以B正确；因为，它在复平面内对应的点为，所以在复平面内对应的点在第一象限，所以C错误；因为，所以是实数，所以D正确．故选：ABD.4．（2023下·辽宁丹东·高一统考期末）在复平面内，是坐标原点，，则（

）A．的虚部为 B．C． D．【答案】BC【分析】根据复数的概念判断A，根据复数代数形式的乘法运算及复数的模判断B、C、D.【详解】因为，所以的虚部为，故A错误；，故B正确；，故C正确；，所以，故D错误；故选：BC三、填空题5．若复数是纯虚数，则实数的值是.【答案】【分析】先利用复数的除法运算化简复数，再由实部等于，虚部不等于即可求解.【详解】因为是纯虚数，所以，解得，故答案为：.6．（2020下·高二课时练习）对个复数，，…，，如果存在不全为零的实数，，…，，使得等式，则称复数，，…，线性相关；反之，称为线性无关.那么复数，，的关系为.【答案】线性相关【分析】假定存在，，满足等式，利用复数相等，建立方程组求解即可.【详解】假定存在，，满足等式，则有,，解得，，解得，若时，则全部为；若时，则全不为，假设，则有关系式，线性相关.故答案为：线性相关【点睛】本题考查了复数加法、复数相等、复数的新定义，属于基础题.四、解答题7．（2021·高一课时练习）（1）；（2）（3）；（4）；（5）；（6）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【分析】根据复数四则运算法则计算、化简即可求得结果.【详解】（1），又，，，；（2）；（3）；（4），，；（5）；（6）.8．（2021·江苏·高一专题练习）已知z是复数，z+2i、均为实数（i为虚数单位），（1）若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．（2）若复数z1＝cosθ+isinθ（0≤θ≤π），求复数|z﹣z1|的取值范围．【答案】（1）2＜a＜6；（2）．【分析】设,先利用已知条件求出复数z.（1）列出复数的实部与虚部满足的不等式，求出范围即可．（2）利用复数模求解三角函数的最值即可．【详解】解：z是复数，、均为实数，设z＝x﹣2i，则，,．（1）复数（z+ai）2＝（4﹣2i+ai）2＝16﹣（2﹣a）2﹣8（2﹣a）i．复平面上对应的点在第一象限．，解得2＜a＜6．（2）复数（0≤θ≤π），复数．其中，且为锐角，，当时，左侧取等号，当时右侧取等号，．复数|z﹣z1|的取值范围：．【点睛】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念的应用以及复数的模的求法．关键易错点是误认为的值域一定是[1,1],要注意先确定的正余弦和范围，再根据的范围确定的范围，从而求得.【创新练】一、单选题1．（2022·江西·校联考模拟预测）设i为虚数单位，，复数对应的点在第一象限的角平分线上，则（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】根据复数的乘方运算和除法运算求出复数，再根据复数的几何意义可求出结果.【详解】复数对应的点在第一象限的角平分线上，则，，又，∴.故选：C2．（2022·安徽马鞍山·统考一模）复数满足，则（

）A． B． C． D．或【答案】B【分析】由题可得，即得.【详解】∵复数满足，∴，∴.故选：B.二、多选题3．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）设，是复数，则下列命题中正确的是（

）A．若是纯虚数，则B．若，则C．若，则D．若复数满足，则的最大值为【答案】CD【分析】根据纯虚数的概念及乘法运算判断A，取特殊值判断B，利用复数的模及共轭复数的乘法运算判断C，由复数模及不等式的性质判断D.【详解】对于A，因为是纯虚数，所以设，则，所以A错误；对于B，取，，满足，则不成立，所以B错误；对于C，设，因为，所以，因为，，所以，所以C正确；对于D，设，由，得，则可得，所以，时取等号，所以D正确.故选：CD4．（2023下·河北张家口·高一统考期末）实数x，y满足，设，则（

）．A．z在复平面内对应的点在第一象限 B．C．z的虚部是 D．【答案】BCD【分析】利用复数相等求出复数，再逐项分析计算作答.【详解】由，得，而，则，解得，即，对于A，复数在复平面内对应的点在第四象限，A错误；对于B，，B正确；对于C，z的虚部是，C正确；对于D，，D正确.故选：BCD三、填空题5．（2022下·河南焦作·高二焦作市第一中学校联考期中）已知复数是纯虚数，则实数．【答案】【分析】由复数除法运算可化简得到复数，由纯虚数定义可构造方程求得.【详解】，又为纯虚数，，解得：.故答案为：.6．（2021·浙江·校联考模拟预测）已知，，(是虚数单位)，则，.【答案】【分析】由复数乘法运算借助复数相等即可得a，b值而得解.【详解】因，则有，而，，所以，解得，所以，.故答案为：；四、解答题7．（2023下·陕西西安·高一期中）计算下列各题:(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）利用复数的四则运算求解即可；（2）利用复数的四则运算求解即可.【详解】（1）.；（2）..8．（2022·高一课时练习）在复数范围内分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）（2）结合复数运算求得正确答案.【详解】（1）由于，所以.（2）由于，所以.【成果练】一、单选题1．（2020上·山西长治·高二山西省长治市第二中学校校考阶段练习）设复数z满足：，则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】先由，求出复数z，从而可得其共轭复数，进而可得答案【详解】解：由，得，所以，所以在复平面内对应的点为，在第四象限，故选：D2．（2022·河南新乡·统考一模）若，则的虚部为（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】根据复数除法的运算法则，结合共轭复数的定义、复数虚部的定义进行求解即可.【详解】因为，所以，所以，所以，所以的虚部为1．故选：B二、多选题3．（2023下·山东·高一滨州一中校联考期中）若，是方程的两个虚数根，则（

）A．的取值范围为 B．的共轭复数是C． D．为纯虚数【答案】BCD【分析】，是方程的两个虚数根，则，得，则根据一元二次方程方程的求根公式可知的共轭复数是，【详解】由，得，A错误；因为原方程的根为，所以的共轭复数是，B正确；，C正确；因为等于或，所以为纯虚数，D正确.故选：BCD.4．（2022下·全国·高一校联考期中）已知为虚数单位，，，则下列选项中正确的有（

）A． B．的虚部为1C．在复数范围内，为方程的根 D．【答案】BC【分析】根据虚数定义可判断A；根据复数的分类可判断B；把，代入验证可判断C；分别计算、可判断D.【详解】因为都是虚数，所以不能比较大小，故A错误；因为，所以的虚部为1，故B正确；因为，所以，所以为方程的根，故C正确；，，所以，故D错误.故选：BC.三、填空题5．（2022下·陕西咸阳·高二统考期中）若复数满足（是虚数单位），则.【答案】【分析】根据复数的运算法则计算即可.【详解】因为，所以.故答案为：.6．若为非零实数，则下列四个命题都成立：①②③若，则④若，则．则对于任意非零复数，上述命题仍然成立的序号是【答案】②④【详解】对于①：解方程得ai，所以非零复数ai使得，①不成立；②显然成立；对于③：在复数集C中，|1|=|i|，则¿，所以③不成立；④显然成立．则对于任意非零复数，上述命题仍然成立的所有序号是②④7．（2023·高一课时练习）设复数满足，则．【答案】/【分析】设，结合条件根据复数相等列方程求即可.【详解】设复数，因为，所以，，所以．故答案为：.8．（2023下·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期末）若复数，则z在复平面内对应的点的坐标为，【答案】1【分析】利用复数的运算法则求出z，即可得z在复平面内对应的点的坐标；利用共轭复数的概念求出，进而由模的公式求得.【详解】，则z在复平面内对应的点的坐标为；，.故答案为：，1.四、解答题9．（2023下·海南省直辖县级单位·高一校考期中）（1）化简；（2）已知复数的，求.【答案】（1）；（2）【分析】（1）应用复数的乘法计算即可；（2）先化简得，再应用复数的除法运算可得结果.【详解】（1）;（2）由已知得，∴.10．（2022下·广西北海·高二统考期末）已知复数满足：.(1)求复数；(2)化简：.【答案】(1)(2)【分析】（1）设复数，根据复数的模的计算公式结合复数相等的定义，列出方程组，求出，从而可得出答案；（2）根据共轭复数的定义结合复数的模的计算公式及复数的除法运算计算即可得解.【详解】（1）解：设复数，根据题意得，，则，；（2）解：由（1）得，则.11．（2021·高一单元测试）（1）已知复数，求.（2）已知是虚数单位，化简复数：.【答案】（1）；（2）0；【分析】（1）利用复数的乘法、乘方运算化简，根据共轭复数得到，进而求即可；（2）利用复数的四则运算，化简求值即可；【详解】（1），故，所以；（2）【点睛】本题考查了复数的概念以及四则运算，利用共轭复数概念得到共轭复数并求模，应用复数的四则运算化简求值，注意、的应用；12．已知复数．（Ⅰ）当实数取什么值时，复数是纯虚数；（Ⅱ）当时，化简．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．【详解】试题分析：（Ⅰ）复数的实部为0,虚部不为0．（Ⅱ）当时，．先将整理即分母两复数做加法,分子完全平方,之后再分母实数化即分子分母同乘以分母的共轭复数．试题解析：（Ⅰ）当时，解得，即时，复数为纯虚数．（Ⅱ）当时，，13．（2022下·上海奉贤·高一校考期末）已知复数（其中、），存在实数，使成立．(1)求值：；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)3(2)【分析】（1）由，利用复