2024届广东省肇庆市数学高二第二学期期末考试试题含解析

2024届广东省肇庆市数学高二第二学期期末考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知曲线在处的切线与直线平行，则的值为（）A．-3 B．-1 C．1 D．32．设为等差数列的前项和，若，，则A． B． C． D．3．执行下面的程序框图，若输出的结果为，则判断框中的条件是（）A． B． C． D．4．正项等比数列中，，若，则的最小值等于（）A．1 B． C． D．5．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则（）A． B． C． D．6．设集合，，则A． B． C． D．7．同学聚会上，某同学从《爱你一万年》，《十年》，《父亲》，《单身情歌》四首歌中选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》未选取的概率为（）A．B．C．D．8．已知、分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上的点，且，若坐标原点到直线的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．9．下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的是（）A．平面内的三条直线a,b,c，若a⊥c,b⊥c，则a//b.类比推出：空间中的三条直线a,b,c，若a⊥c,b⊥c，则a//bB．平面内的三条直线a,b,c，若a//c,b//c，则a//b.类比推出：空间中的三条向量a,b,cC．在平面内，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14.类比推出：在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1D．若a,b,c,d∈R，则复数a+bi=c+di⇒a=c,b=d.类比推理：“若a,b,c,d∈Q，则a+b210．已知数列an:12,122,222,32①210-1210是an的第2036项；②存在常数M，使得Sn<M恒成立；③其中正确的序号是（）A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④11．设，，则“”是“”的（）A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件12．已知，函数的零点分别为，函数的零点分别为，则的最小值为（）A．1 B． C． D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．直线被圆截得的弦长为________.14．在空间四边形中，若分别是的中点，是上点，且，记，则_____.15．从字母中选出个字母排成一排，其中一定要选出和，并且它们必须相邻(在前面)，共有排列方法__________种.16．展开式中的常数项是____________(用数字作答)三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知的展开式中，所有项的二项式系数之和为128.（1）求展开式中的有理项；（2）求展开后所有项的系数的绝对值之和.18．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于两点（点均在第一象限），且直线的斜率成等比数列，证明：直线的斜率为定值.19．（12分）已知函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）若时，函数恰有一个零点，求实数的值.（3）已知数列满足，其前项和为，求证：（其中）.20．（12分）在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是，圆的极坐标方程是．（1）求与交点的极坐标；（2）设为的圆心，为与交点连线的中点，已知直线的参数方程是（为参数），求的值．21．（12分）已知数列满足．（1）求；（2）求数列的前n项和；（3）已知是公比q大于1的等比数列，且，，设，若是递减数列，求实数的取值范围22．（10分）某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

由导数的几何意义求出曲线在处的切线的斜率，根据两直线平行斜率相等即可得到的值。【题目详解】因为，所以线在处的切线的斜率为，由于曲线在处的切线与直线平行，故，即，故选C．【题目点拨】本题考查导数的几何意义，属于基础题2、B【解题分析】分析：首先设出等差数列的公差为，利用等差数列的求和公式，得到公差所满足的等量关系式，从而求得结果，之后应用等差数列的通项公式求得，从而求得正确结果.详解：设该等差数列的公差为，根据题中的条件可得，整理解得，所以，故选B.点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与的关系，从而求得结果.3、C【解题分析】

根据已知的程序语句可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，即可得出答案.【题目详解】解：当时，不满足输出结果为，进行循环后，，；当时，不满足输出结果为，进行循环后，，；当时，不满足输出结果为，进行循环后，，；当时，不满足输出结果为，进行循环后，，；当时，不满足输出结果为，进行循环后，，；当时，满足输出结果为，故进行循环的条件，应为：.故选：C.【题目点拨】本题考查程序框图的应用，属于基础题.4、D【解题分析】分析：先求公比，再得m,n关系式，最后根据基本不等式求最值.详解：因为，所以，因为，所以，因此当且仅当时取等号选点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.5、B【解题分析】

由条件概率的定义，分别计算即得解.【题目详解】由题意事件为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有个事件由条件概率的定义：故选：B【题目点拨】本题考查了条件概率的计算，考查了学生概念理解，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.6、C【解题分析】由，得：∴；∵，∴∴故选C7、B【解题分析】,所以选B.8、B【解题分析】

利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与c之间的等量关系，进而求出双曲线的离心率.【题目详解】如图，，，依题意，，

且，可知三角形是一个等腰直角三角形，

，，

在中，由余弦定理可得：

，

化简得，

该双曲线的离心率为．

故选：B．【题目点拨】本题主要考查余弦定理，双曲线的定义、简单几何性质，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题．9、D【解题分析】

对四个答案中类比所得的结论逐一进行判断，即可得到答案【题目详解】对于A，空间中，三条直线a，b，c，若a⊥c，对于B，若b=0，则若a//b对于C，在平面上，正三角形的面积比是边长比的平方，类比推出在空间中，正四面体的体积是棱长比的立方，棱长比为12，则它们的体积比为1对于D，在有理数Q中，由a+b2=c+d2可得，b=d，故正确综上所述，故选D【题目点拨】本题考查的知识点是类比推理，解题的关键是逐一判断命题的真假，属于基础题．10、B【解题分析】

找出数列an的规律：分母为2k的项有2k-1项，并将这些项排成杨辉三角形式的数阵，使得第k有2k-1项，每项的分母均为2k，并计算出每行各项之和b【题目详解】由题意可知，数列an的规律为：分母为2k的项有2k-1项，将数列an中的项排成杨辉三角数阵，且使得第k12对于命题①，210-1210位于数阵第21对于命题②，数阵中第k行各项之和为bk，则b且数列bk的前kTk当k→+∞时，Tk→+∞，因此，不存在正数M，使得对于命题③，易知第9行最后一项位于数列an21第10行最后一项位于数列an的项数为2036，且1013<2019<2036则a2019位于数阵第10行第1006项（即2019-1013=1006所以，S=1023由①知，S2036=T则恰好满足Sn>1019的项an位于第11则有T10+1由于64×63=4032，64×65=4160，则63×64<4096<64×65，∴m=64，因此，满足Sn>1019的最小正整数故选：B.【题目点拨】本题考查归纳推理，考查与数列相关的知识，关键要找出数列的规律，在解题时可以将规律转化为杨辉三角来处理，在做题过程中找出项与数阵中相对应的位置，综合性较强，属于难题。11、C【解题分析】不能推出，反过来，若则成立，故为必要不充分条件.12、B【解题分析】试题分析：由题知，，，，.，又故选B．考点：1、函数的零点；2、指数运算；3、函数的最值.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4【解题分析】

将圆的方程化为标准方程，求出圆心坐标与半径，利用点到直线的距离公式，运用勾股定理即可求出截得的弦长【题目详解】由圆可得则圆心坐标为，半径圆心到直线的距离直线被圆截得的弦长为故答案为【题目点拨】本题主要考查了求直线被圆所截的弦长，由弦长公式，分别求出半径和圆心到直线的距离，然后运用勾股定理求出弦长14、【解题分析】

由条件可得【题目详解】因为，分别是的中点所以所以故答案为：【题目点拨】本题考查的是空间向量的线性运算，较简单.15、36【解题分析】

从剩余的4个字母中选取2个，再将这2个字母和整体进行排列，根据分步计数原理求得结果．【题目详解】由于已经选出，故再从剩余的4个字母中选取2个，方法有种，再将这2个字母和整体进行排列，方法有种，根据分步计数原理求得所有的排列方法共有种，故答案为36.【题目点拨】本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用，属于中档题．16、【解题分析】

将二项式变形为，得出其展开式通项为，再利用，求出，不存在，再将代入可得出所求常数项。【题目详解】，所以，展开式的通项为，令，可得，不存在，因此，展开式中的常数项是，故答案为：。【题目点拨】本题考查二项式定理，考查指定项系数的求解，解这类问题一般是利用二项式定理将展开式表示为通项，利用指数求出参数，考查计算能力，属于中等题。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)，，，(2)21【解题分析】分析：（1）根据题意，求的，写出二项展示的通项，即可得到展开式的有理项；（2）由题意，展开式中所有项的系数的绝对值之和，即为展开式中各项系数之和，即可求解.详解：根据题意，，（1）展开式的通项为.于是当时，对应项为有理项，即有理项为（2）展开式中所有项的系数的绝对值之和，即为展开式中各项系数之和，在中令x＝1得展开式中所有项的系数和为（1＋2）7＝37＝21．所以展开式中所有项的系数和为21.点睛：本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题，二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用．18、(1);(2)见解析.【解题分析】试题分析：（1）根据椭圆的离心率和所过的点得到关于的方程组，解得后可得椭圆的方程．（2）由题意设直线的方程为，与椭圆方程联立后消元可得二次方程，根据二次方程根与系数的关系可得直线的斜率，再根据题意可得，根据此式可求得，为定值．试题解析：（1）由题意可得，解得．故椭圆的方程为．（2）由题意可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，由，消去整理得，∵直线与椭圆交于两点，∴．设点的坐标分别为，则，∴．∵直线的斜率成等比数列，∴，整理得，∴，又，所以，结合图象可知，故直线的斜率为定值．点睛：（1）圆锥曲线中的定点、定值问题是常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、数形结合思想、分类讨论思想的考查．（2）解决定值问题时，可直接根据题意进行推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．19、（1）当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）；（3）证明见解析【解题分析】

（1）求出，然后分和两种情况讨论（2）由（1）中的结论，要使恰有1个零点，只需函数的最小值为0（3）由（1）知，当时，，即，然后可得，由此可证明，然后两边同时取对数即可【题目详解】（1）当时，，从而在上单调递增；当时，，从而在上单调递增，在上单调递减（2）由（1）知，当时在上单调递增，在上单调递减，要使恰有1个零点，只需函数的最小值为0，即，解得（3）由（1）知，当时，，即令，得则，，，…，，即两边取以为底的对数得：【题目点拨】本题考查的是利用导数研究函数的单调性、零点个数及证明不等式，属于较难题.20、(1)，或；(2)．【解题分析】试题分析：（1）联立极坐标方程，解得与交点的极坐标是，或；（2）直线的参数方程化为普通方程，把，的直角坐标带入，解得.试题解析：（1）代入，得．所以或，取，．再由得，或．所以与交点的极坐标是，或．（2）参数方程化为普通方程得．由（Ⅰ）得，的直角坐标分别是，，代入解得．21、（1）（2）（3）．【解题分析】

（1）利用项和转换可得，即得；（2），裂项求和法可得解；（3）代入，可得．，转化是递减数列为恒成立，化简可得，恒成立，又是递减数列，即得解.【题目详解】（1）由题意，数列的前n项和．当时，有，所以．当时