安徽省六安市一中2024届数学高二下期末学业水平测试模拟试题含解析

安徽省六安市一中2024届数学高二下期末学业水平测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（）A． B．C． D．2．有10名学生和2名老师共12人,从这12人选出3人参加一项实践活动则恰有1名老师被选中的概率为（）A．922 B．716 C．93．用数学归纳法证明某命题时，左式为在验证时，左边所得的代数式为（）A．B．C．D．4．已知复数，则（）A．4 B．6 C．8 D．105．已知点，则向量在方向上的投影为（）A． B． C． D．6．设随机变量，若，则等于（）A． B． C． D．7．已知集合，则等于（）A． B． C． D．8．设集合,则（）A． B． C． D．9．己知点A是抛物线的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足，当取最大值时，点P恰好在以A、B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为A． B． C． D．10．已知双曲线C：的离心率e=2,圆A的圆心是抛物线的焦点，且截双曲线C的渐近线所得的弦长为2，则圆A的方程为A． B．C． D．11．某个班级组织元旦晚会，一共准备了、、、、、六个节目，节目演出顺序第一个节目只能排或，最后一个节目不能排，且、要求相邻出场，则不同的节目顺序共有（）种A．72 B．84 C．96 D．12012．“－1≤x≤1”是“xA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知复数，，其中i为虚数单位，若为纯虚数，则实数a的值为_______．14．已知定义在上的函数的图象关于点对称,,若函数图象与函数图象的交点为,则_____．15．正六棱柱相邻两个侧面所成的二面角的大小为________16．正四棱柱的底面边长为2，若与底面ABCD所成角为60°，则和底面ABCD的距离是________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数当时，求函数在处的切线方程；当时，求函数的最大值。18．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．求证：为等腰直角三角形19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（为参数），把曲线C的横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的一半，得到曲线直线l的普通方程是，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l的极坐标方程和曲线的普通方程；（2）记射线（）与交于点A，与l交于点B，求的值.20．（12分）已知函数.(1)若,解不等式;(2)若不等式对任意的实数恒成立，求的取值范围.21．（12分）已知椭圆的左右顶点分别是，，点在椭圆上，过该椭圆上任意一点P作轴，垂足为Q，点C在的延长线上，且．（1）求椭圆的方程；（2）求动点C的轨迹E的方程；（3）设直线（C点不同A、B）与直线交于R，D为线段的中点，证明：直线与曲线E相切；22．（10分）已知椭圆左右焦点分别为，，若椭圆上的点到，的距离之和为，求椭圆的方程和焦点的坐标；若、是关于对称的两点，是上任意一点，直线，的斜率都存在，记为，，求证：与之积为定值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

对给出的四个选项分别进行分析、讨论后可得结果．【题目详解】对于A，函数，当时，；当时，，所以不满足题意．对于B，当时，单调递增，不满足题意．对于C，当时，，不满足题意．对于D，函数为偶函数，且当时，函数有两个零点，满足题意．故选D．【题目点拨】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．2、A【解题分析】

先求出从12人中选3人的方法数，再计算3人中有1人是老师的方法数，最后根据概率公式计算．【题目详解】从12人中选3人的方法数为n=C123=220，3人中愉有∴所求概率为P=m故选A．【题目点拨】本题考查古典概型，解题关键是求出完成事件的方法数．3、B【解题分析】试题分析：用数学归纳法证明某命题时，左式为在验证时，左边所得的代数式应为；故选B考点：数学归纳法．4、D【解题分析】

根据复数的模长公式进行计算即可．【题目详解】z＝8+6i，则8﹣6i，则||10，故选：D．【题目点拨】本题主要考查复数的模长的计算，根据条件求出是解决本题的关键．5、A【解题分析】

，，向量在方向上的投影为，故选A．6、C【解题分析】由于,则由正态分布图形可知图形关于对称，故，则，故选C.7、C【解题分析】

由不等式性质求出集合A、B，由交集的定义求出可得答案.【题目详解】解：可得；，可得=故选C.【题目点拨】本题考查了交集及其运算，求出集合A、B并熟练掌握交集的定义是解题的关键.8、C【解题分析】

解不等式得集合A，B,再由交集定义求解即可.【题目详解】由已知所以，故选C.【题目点拨】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.9、B【解题分析】

根据题目可知，过作准线的垂线，垂足为，则由抛物线的定义，结合，可得，设的倾斜角为，当取得最大值时，最小，此时直线与抛物线相切，即可求出的的坐标，再利用双曲线的定义，即可求得双曲线得离心率。【题目详解】由题意知，由对称性不妨设P点在y轴的右侧，过作准线的垂线，垂足为，则根据则抛物线的定义，可得，设的倾斜角为，当取得最大值时，最小，此时直线与抛物线相切，设直线的方程为，与联立，得，令，解得可得，又此时点P恰好在以A、B为焦点的双曲线上双曲线的实轴故答案选B。【题目点拨】本题主要考查了双曲线与抛物线的性质的应用，在解决圆锥曲线相关问题时常用到方程思想以及数形结合思想。10、C【解题分析】

运用离心率公式和基本量的关系可得的关系，即可得到双曲线的渐近线的方程，求得抛物线的焦点坐标，可得点的坐标，求得到渐近线的距离，结合弦长公式，可得半径为，进而得到所求圆的方程.【题目详解】由题意，即，可得双曲线的渐近线方程为，即为，圆的圆心是抛物线的焦点，可得，圆截双曲线C的渐近线所得的弦长为2，由圆心到直线的距离为，可得，解得，可圆的方程为，故选C.【题目点拨】本题主要考查了双曲线的方程和几何性质的应用，其中解答中涉及到双曲线的离心率的求法，圆的标准方程的求法，以及运用点到直线的距离公式和圆的弦长公式等知识点的综合应用，着重考查了推理与运算能力.11、B【解题分析】分析：先排第一个节目，同时把C、D捆绑在一起作为一个元素，按第一个节目排A还是排B分类，如果第一个是B，则第二步排最后一个节目，如果第一个是A，则后面全排列即可．详解：由题意不同节目顺序有．故选B．点睛：本题考查了排列、组合题两种基本方法(1)限制元素(位置)优先法：①元素优先法：先考虑有限制条件的元素，再考虑其他元素；②位置优先法：先考虑有限制条件的位置，再考虑其他位置．(2)相邻问题捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”作全排列，最后再“松绑”——将“捆绑”元素在这些位置上作全排列．12、A【解题分析】

首先画出函数y=x+1+x-1的图像，求解不等式【题目详解】如图:y=x+1由图像可知x+1+x-1≥2恒成立，所以解集是R，x-1≤x≤1是R的真子集，所以“故选A.【题目点拨】本题考查了充分不必要条件的判断，属于基础题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】为纯虚数，则14、4038.【解题分析】

由函数图象的对称性得：函数图象与函数图象的交点关于点对称，则，,即，得解．【题目详解】由知：得函数的图象关于点对称又函数的图象关于点对称则函数图象与函数图象的交点关于点对称则故，即本题正确结果：【题目点拨】本题考查利用函数图象的对称性来求值的问题，关键是能够根据函数解析式判断出函数的对称中心，属中档题．15、【解题分析】

由正六棱柱的几何特征可得为正六棱柱相邻两个侧面所成的二面角的平面角，根据正六边形的内角计算即可.【题目详解】解：如图，由正六棱柱的几何特征可知，则为正六棱柱相邻两个侧面所成的二面角的平面角，.故答案为：.【题目点拨】本题考查二面角的求解，关键是要找到二面角的平面角，是基础题.16、.【解题分析】分析：确定A1C1到底面ABCD的距离为正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高，即可求得结论．详解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，∴平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∵A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴A1C1∥平面ABCD∴A1C1到底面ABCD的距离为正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，AC1与底面ABCD成60°角，∴A1A=2tan60°=故答案为．点睛：本题考查线面距离，确定A1C1到底面ABCD的距离为正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高是解题的关键．如果直线和已知的平面是平行的，可以将直线和平面的距离，转化为直线上一点到平面的距离.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）答案不唯一，具体见解析【解题分析】

（1）当时，，利用导数的几何意义求曲线的切线方程；（2）求函数的导数，讨论，，三种情况函数的单调性，得到函数的最大值.【题目详解】解：当时，，，所以切线方程为，即当时，当，，单调递增，此时，当时，当，，单调递减，当，，单调递增，此时,又，所以当时，当时，.当时，当，，单调递减，此时综上，当时，，当时，.【题目点拨】本题第二问考查了根据函数的导数求函数的最值，第二问的难点是当时，根据函数的单调性可知函数的最大值是或，需做差讨论得到和的大小关系.18、见解析【解题分析】

根据正弦定理，可得，然后利用余弦定理可得，最后可得结果.【题目详解】证法一：由正弦定理及，得，，，，又，由余弦定理，得，即，为等腰直角三角形．证法二：由正弦定理及，得，，，，，由正弦定理及，得，，，，，，，，，为等腰直角三角形．【题目点拨】本题考查利用正弦定理、余弦定理的判断三角形的形状，关键在于边角之间的转化，属基础题.19、（1）；（2）【解题分析】

（1）由为参数），消去参数，得曲线的普通方程，然后利用伸缩与平移变换可得的普通方程；（2）分别把代入与的极坐标方程，求得，的值，则的值可求．【题目详解】（1）将代入直线l的方程，得：化简得直线l的极坐标方程为.由曲线C的参数方程消去参数得曲线C的普通方程为：，伸缩变换，即，代入，得，即故曲线的普通方程为：.（2）由（1）将曲线的普通方程化为极坐标方程为，将（）代入，得，将（）代入得，故.【题目点拨】本题考查参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程中参数的几何意义及其应用，着重考查了运算与求解能力，是中档题．20、（1）；（2）【解题分析】分析：第一问先将代入解析式，之后应用零点分段法将绝对值不等式转化为若干个不等式组，最后取并集即可得结果；第二问将恒成立问题转化为最值问题来处理，应用绝对值的性质，将不等式的左边求得其最小值，之后将其转化为关于b的绝对值不等式，利用平方法求得结果.详解：（1）所以解集为：.(2)所以的取值范围为：.点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的求解问题，在解题的过程中，需要用到零点分段法求绝对值不等式的解集，再者对于恒成立问题可以向最值来转化，而求最值时需要用到绝对值不等式的性质，之后应用平方法求解即可得结果.21、（1）；（2）；（3）证明略；【解题分析】

（1）根据顶点坐标可知，将代入椭圆方程可求得，进而得到椭圆方程；（2）设，，可得到，将代入椭圆方程即可得到所求的轨迹方程；（3）设，可得直线方程，进而求得和点坐标；利用向量坐标运算可求得，从而证得结论.【题目详解】（1）由题意可知：将代入椭圆方程可得：，解得：椭圆的方程为：（2）设，由轴，可得：，即将代入椭圆方程得：动点的轨迹的方程为：（3）设，则直线方程为：令，解得：，即直线与曲线相切【题目点拨】本题考查直线与椭圆、直线与圆的综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、动点轨迹的求解问题、直线与圆位置关系的证明等知识；求解动点轨迹的常用方法是利用动点表示出已知曲线上的点的