山东省莱芜市2024届高二数学第二学期期末检测试题含解析

山东省莱芜市2024届高二数学第二学期期末检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在极坐标中，点到圆的圆心的的距离为（）A． B． C． D．2．已知高为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，若二面角的正切值为4，则（）A． B． C． D．3．学校选派位同学参加北京大学、上海交通大学、浙江大学这所大学的自主招生考试，每所大学至少有一人参加,则不同的选派方法共有A．540种 B．240种 C．180种 D．150种4．若3x+xn展开式二项式系数之和为32，则展开式中含xA．40 B．30 C．20 D．155．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．6．下列随机试验的结果，不能用离散型随机变量表示的是()A．将一枚均匀正方体骰子掷两次，所得点数之和B．某篮球运动员6次罚球中投进的球数C．电视机的使用寿命D．从含有3件次品的50件产品中，任取2件，其中抽到次品的件数7．某随机变量服从正态分布,若在内取值的概率为0.6则在内取值的概率为()A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.38．执行如图所示的程序框图，若输入m=1,n=3，输出的x=1.75，则空白判断框内应填的条件为（）A． B． C． D．9．已知函数，，若成立，则的最小值为（）A． B． C． D．10．设，则“”是“”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．已知随机变量服从正态分布，且，则（）A．0.6826 B．0.1587 C．0.1588 D．0.341312．口袋中装有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任意取出3个小球，以表示取出球的最大号码，则()A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为，则它们的体积比是_____________．14．设随机变量的概率分布列如下图，则_____________．15．用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数，其中两个偶数数字之间恰有一个奇数数字的五位数的个数是_______.（用数字作答）16．湖结冰时，一个球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一个直径为24cm,深为8cm的空穴，则该球的半径为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知集合，函数的定义域为，值域为.（1）若，求不同的函数的个数；（2）若，（ⅰ）求不同的函数的个数；（ⅱ）若满足，求不同的函数的个数.18．（12分）已知中，，且.（1）求m；（2）求.19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，是的中点.（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线和所成的角（结果用反三角函数值表示）20．（12分）某工厂每年定期对职工进行培训以提高工人的生产能力（生产能力是指一天加工的零件数）．现有、两类培训，为了比较哪类培训更有利于提高工人的生产能力，工厂决定从同一车间随机抽取100名工人平均分成两个小组分别参加这两类培训．培训后测试各组工人的生产能力得到如下频率分布直方图．（1）记表示事件“参加类培训工人的生产能力不低于130件”，估计事件的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为工人的生产能力与培训类有关：生产能力件生产能力件总计类培训50类培训50总计100（3）根据频率分布直方图，判断哪类培训更有利于提高工人的生产能力，请说明理由．参考数据0.150.100.0500.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879参考公式：，其中.21．（12分）已知正项数列满足：，，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）设为数列的前项和，证明：.22．（10分）已知函数.（1）求的单调区间；（2）证明：当时，方程在区间上只有一个解；（3）设，其中.若恒成立，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】分析：先把点的坐标和圆的方程都化成直角坐标方程，再求点到圆心的距离得解.详解：由题得点的坐标为，因为，所以，所以圆心的坐标为（2,0），所以点到圆心的距离为，故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查两点间的距离的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平.（2）极坐标化直角坐标的公式为2、D【解题分析】

过作平面于，为中点，连接.证明面角的平面角为,计算得到,通过勾股定理计算得到答案.【题目详解】如图：正三棱锥，过作平面于，为中点，连接.易知：为中点二面角的平面角为正切值为4在中，根据勾股定理：故答案选D【题目点拨】本题考查了三棱锥的外接球，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.3、D【解题分析】分析：按题意5人去三所学校，人数分配可能是1，1，3或1，2，2，因此可用分类加法原理求解．详解：由题意不同方法数有．故选D．点睛：本题考查排列组合的综合应用，此类问题可以先分组再分配，分组时在1，2，2一组中要注意2,2分组属于均匀分组，因此组数为，不是，否则就出错．4、D【解题分析】

先根据二项式系数的性质求得n＝5，可得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得结果．【题目详解】由3x+xn展开式的二项式系数之和为2n＝32，求得可得3x+x5展开式的通项公式为Tr+1=C5r•3x5-r•xr令5-r2＝3，求得r＝4，则展开式中含x3故选：D．【题目点拨】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．5、D【解题分析】因为，由题设可得在上恒成立，令，则，又，且，故，所以问题转化为不等式在上恒成立，即不等式在上恒成立．令函数，则，应选答案D．点睛：本题的求解过程自始至终贯穿着转化与化归的数学思想，求函数的导数是第一个转化过程，换元是第二个转化过程；构造二次函数是第三个转化过程，也就是说为达到求出参数的取值范围，求解过程中大手笔地进行三次等价的转化与化归，从而使得问题的求解化难为易、化陌生为熟悉、化繁为简，彰显了数学思想的威力．6、C【解题分析】分析：直接利用离散型随机变量的定义逐一判断即可.详解：随机取值的变量就是随机变量，随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量两种，随机变量的函数仍为随机变量，有些随机变量，它全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个,这种随机变量称为“离散型随机变量”，题目中都属于离散型随机变量，而电视机的使用寿命属于连续型随机变量，故选C.点睛：随机取值的变量就是随机变量，随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量两种（变量分为定性和定量两类，其中定性变量又分为分类变量和有序变量；定量变量分为离散型和连续型），随机变量的函数仍为随机变量，本题考的离散型随机变量.7、D【解题分析】分析：由正态分布曲线图，内取值的概率为0.6，区间关于对称，得解。详解：由正态分布曲线图，内取值的概率为，区间关于对称，故上的概率为.故选D点睛：正态分布，在区间段的概率，利用图像的对称性可得出左右两侧的区间的概率。8、B【解题分析】当第一次执行，返回，第二次执行，返回，第三次，，要输出x,故满足判断框，此时，故选B.点睛：本题主要考查含循环结构的框图问题．属于中档题．处理此类问题时，一般模拟程序的运行，经过几次运算即可跳出循环结束程序，注意每次循环后变量的变化情况，寻找规律即可顺利解决，对于运行次数比较多的循环结构，一般能够找到周期或规律，利用规律或周期确定和时跳出循环结构，得到问题的结果.9、A【解题分析】

根据得到，的关系，利用消元法转化为关于的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论．【题目详解】设，则，，令，所以，又在增函数，且，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增．所以，即的最小值为．故选A.【题目点拨】本题主要考查导数的应用，利用消元法进行转化，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的极值和最值是解决本题的关键，有一定的难度．10、B【解题分析】

分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.【题目详解】化简不等式，可知推不出；由能推出，故“”是“”的必要不充分条件，故选B．【题目点拨】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．11、D【解题分析】分析：根据随机变量符合正态分布，知这组数据是以为对称轴的，根据所给的区间的概率与要求的区间的概率之间的关系，单独要求的概率的值．详解：∵机变量服从正态分布，，

，

∴.故选：D．点睛：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查根据正态曲线的性质求某一个区间的概率，属基础题．12、A【解题分析】

首先计算各个情况概率,利用数学期望公式得到答案.【题目详解】故.故本题正确答案为A.【题目点拨】本题考查了概率的计算和数学期望的计算,意在考查学生的计算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

设圆锥母线长为，小圆锥半径为、高为，大圆锥半径为，高为，根据侧面积之比可得，再由圆锥侧面展幵扇形圆心角的公式得到，利用勾股定理得到关于的式子，从而将两个圆锥的体积都表示成的式子，，求出它们的比值.【题目详解】设圆锥母线长为，侧面积较小的圆锥半径为，侧面积较大的圆锥半径为，它们的高分别为，则，得，两圆锥的侧面展幵图恰好拼成一个圆，，得，再由勾股定理，得，同理可得，，两个圆锥的体积之比为，故答案为.【题目点拨】本题主要考查圆锥的性质与侧面积，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于中档题.14、【解题分析】

利用概率之和为求得的值.解，求得的值，将对应的概率相加求得结果.【题目详解】根据，解得.解得或，故所求概率为.【题目点拨】本小题主要考查分布列的概率计算，考查含有绝对值的方程的解法，属于基础题.15、36【解题分析】

将两个偶数以及两个偶数之间的奇数当作一个小团体，先进行排列，再将其视为一个元素和剩余两个奇数作全排列即可.【题目详解】根据题意，先选择一个奇数和两个偶数作为一个小团体，再将剩余两个奇数和该小团体作全排列，则满足题意的五位数的个数是种.故答案为：36.【题目点拨】本题考查捆绑法，属排列组合基础题.16、13cm【解题分析】

设球半径为R，则，解得，故答案为13.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）36；（2）（ⅰ）81；（ⅱ）19【解题分析】

（1）当定义域有4个元素，值域有3个元素，把4个元素分成2，1，1的三组，再对应值域里的3个元素，有；（2）（ⅰ）分值域有1个元素，2个元素，3个元素，讨论函数个数；（ⅱ）满足条件的有0，0，2，2或0，1，1，2或1，1，1，1三类，分三类求满足条件的函数个数.【题目详解】（1）函数的定义域是，值域是定义域里有2个数对着值域里面一个数，另外两个数是1对1，不同的函数的个数是个.（2）（ⅰ）值域不能为空集，当是单元素集合时，，，，定义域是，此时定义域里4个元素对应的都是值域里的一个数，此时有3个函数；当是双元素集合时，此时定义域里两个元素对应值域里一个元素，有个函数；当定义域里有3个元素对应值域里一个元素，定义域里第4个元素对应值域里一个元素时有个函数；当集合是三个元素时，如（1）有36个函数，一共有3+18+24+36=81个函数；（ⅱ）满足，的有0，0，2，2，函数个数是个，0，1，1，2时，函数个数是个，1，1，1，1时，函数个数是1个，共有个.【题目点拨】本题考查排列组合的应用，意在考查转化和推理，以及分类讨论和计算求解能力，属于中档题型.18、（1）（2）29524【解题分析】

（1）由二项式定理求出第4项和第7项的系数，代入已知可得；（2）令得所有项系数和，令得奇数项系数和与偶数项系数和的差，两者结合后可得偶数项系数和，是常数项易求，从而可得，【题目详解】（1）因为，，依题意得：，因为，所以，得.（2）令得：.①令得：.②由①②得：，即.又，所以【题目点拨】本题考查二项式定理的应用和赋值法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，导向对发展数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注.19、（1）；（2）.【解题分析】

（1）利用三棱锥的体积计算公式即可得出；（2）由于，可得或其补角为异面直线和所成的角，由平面，可得，再利用直角三角形的边角关系即可得出【题目详解】（1）平面，底面ABCD是矩形，高，，，，故（2），或其补角为异面直线和所成的角，又平面ABCD，，又，平面PAB，，于是在中，，，，异面直线和所成的角是【题目点拨】本题考查三棱锥体积公式的计算，异面直线所成的夹角，属于基础题20、(1)(2)见解析；(3)见解析【解题分析】

（1）由频率分布直方图用频率估计概率，求得对应的频率值，用频率估计概率即可；（2）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（3）根据频率分布直方图，判断、类生产能力在130以上的频率值，比较得出结论．【题目详解】解：（1）由频率分布直方图，用频率估计概率得，所求的频率为，估计事件的概率为；（2）根据题意填写列联表如下，类培训生产能力件的人数为，类培训生产能力件的人数为，类培训生产能力件的人数为，类培训生产能力件的人数为，生产能力件生产能力件总计类培训361450类培训123850总计4852100由列联表计算，所以有的把握认为工人的生产能力与培训类有关；（3）根据频率分布直方图知，类生产能力在130以上的频率为0.28，类培训生产能力在130以上的频率为0.76，判断类培训更有利于提高工人的生产能力．【题目点拨】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题．21、（Ⅰ）；（Ⅱ）详