山东省莒县第一中学2024届高二数学第二学期期末考试试题含解析

山东省莒县第一中学2024届高二数学第二学期期末考试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则实数的取值是（）A．0 B．4 C．0或-4 D．0或42．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=A． B． C．2 D．33．如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图（如：第三季度华为销量约占50%，苹果销量约占20%，三星销量约占30%）．根据该图，以下结论中一定正确的是（）A．华为的全年销量最大 B．苹果第二季度的销量大于第三季度的销量C．华为销量最大的是第四季度 D．三星销量最小的是第四季度4．已知集合A=A．x0<x≤3 B．x0≤x≤3 C．x5．已知，，则函数的零点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．06．方程的实根所在的区间为（）A． B． C． D．7．已知函数的图象如图，则与的关系是：（）A． B．C． D．不能确定8．设集合，，，则中的元素个数为（）A． B． C． D．9．连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，在已知两次的点数均为偶数的条件下，两次的点数之和不大于8的概率为（）A． B． C． D．10．一个盒子里有7个红球，3个白球，从盒子里先取一个小球，然后不放回的再从盒子里取出一个小球，若已知第1个是红球的前提下，则第2个是白球的概率是（）A． B． C． D．11．《九章算术》中有这样一个问题：今有竹九节，欲均减容之（其意为：使容量均匀递减），上三节容四升，下三节容二升，中三节容几何？（）A．二升 B．三升 C．四升 D．五升12．直线y=a分别与直线y=2x+2，曲线y=x+lnx交于点A、A．3 B．2 C．324二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知直线l过点（1,0）且垂直于𝑥轴，若l被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.14．若复数满足，则的取值范围是______．15．若复数满足，其中为虚数单位，则__________．16．李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为，(其中x为销售辆数)，若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为______元．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（Ⅰ）若函数在上是单调递增函数，求实数的取值范围；（Ⅱ）若，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.18．（12分）已知椭圆满足：过椭圆C的右焦点且经过短轴端点的直线的倾斜角为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为坐标原点，若点在直线上，点在椭圆C上，且，求线段长度的最小值.19．（12分）已知函数．（1）若在处的切线过点，求的值；（2）若在上存在零点，求a的取值范围．20．（12分）某IT从业者绘制了他在26岁～35岁(2009年～2018年)之间各年的月平均收入（单位：千元）的散点图：（1）由散点图知，可用回归模型拟合与的关系，试根据附注提供的有关数据建立关于的回归方程（2）若把月收入不低于2万元称为“高收入者”.试利用（1）的结果，估计他36岁时能否称为“高收入者”？能否有95%的把握认为年龄与收入有关系？附注：①.参考数据：，，,，，,，其中，取，②.参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为:，P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828③.．21．（12分）已知函数fx（1）当a=2，求函数fx（2）若函数fx22．（10分）在平面直角坐标系中，直线：，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.设直线与曲线交于，两点.（1）当时，求，两点的直角坐标；（2）当变化时，求线段中点的轨迹的极坐标方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

求出导函数，转化求解切线方程，通过方程有两个相等的解，推出结果即可．【题目详解】设切点为，且函数的导数，所以，则切线方程为，切线过点，代入得，所以，即方程有两个相等的解，则有，解得或，故选C．【题目点拨】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题．2、D【解题分析】

由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！3、A【解题分析】

根据图象即可看出，华为在每个季度的销量都最大，从而得出华为的全年销量最大，从而得出正确；由于不知每个季度的销量多少，从而苹果、华为和三星在哪个季度的销量大或小是没法判断的，从而得出选项，，都错误．【题目详解】根据图象可看出，华为在每个季度的销量都最大，所以华为的全年销量最大；每个季度的销量不知道，根据每个季度的百分比是不能比较苹果在第二季度和第三季度销量多少的，同样不能判断华为在哪个季度销量最大，三星在哪个季度销量最小；，，都错误，故选．【题目点拨】本题主要考查对销量百分比堆积图的理解．4、A【解题分析】

先化简求出集合A，B，进而求出A∩B．【题目详解】∵集合A={x|x-3xB={x|x≥0}，∴A∩B={x|0＜x≤3}．故选：A．【题目点拨】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5、B【解题分析】

由题意可作出函数f(x)和g(x)的图象，图象公共点的个数即为函数h(x)=f(x)−g(x)的零点个数．【题目详解】可由题意在同一个坐标系中画出f(x)=2lnx，的图象，其中红色的为f(x)=2lnx的图象，由图象可知：函数f(x)和g(x)的图象有2个公共点，即h(x)=f(x)−g(x)的零点个数为2，故选：B．【题目点拨】本题考查函数的零点问题，属于函数与方程思想的综合运用，求零点个数问题通常采用数形结合方法，画出图像即可得到交点个数，属于中等题.6、B【解题分析】

构造函数，考查该函数的单调性，结合零点存在定理得出答案．【题目详解】构造函数，则该函数在上单调递增，，，，由零点存在定理可知，方程的实根所在区间为，故选B.【题目点拨】本题考查零点所在区间，考查零点存在定理的应用，注意零点存在定理所适用的情形，必要时结合单调性来考查，这是解函数零点问题的常用方法，属于基础题．7、B【解题分析】

通过导数的几何意义结合图像即得答案.【题目详解】由于导数表示的几何意义是切线斜率，而由图可知，在A处的切线倾斜角小于在B处切线倾斜角，且都在第二象限，故，答案为B.【题目点拨】本题主要考查导数的几何意义，比较基础.8、C【解题分析】分析：由题意列表计算所有可能的值，然后结合集合元素的互异性确定集合M，最后确定其元素的个数即可.详解：结合题意列表计算M中所有可能的值如下：2341234246836912观察可得：，据此可知中的元素个数为.本题选择C选项.点睛：本题主要考查集合的表示方法，集合元素的互异性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9、D【解题分析】

求出两次点均为偶数的所有基本事件的个数，再求出在两次均为偶数而且和不大于8的基本事件的个数后可得概率．【题目详解】记，，因为，，所以．故选：D.【题目点拨】本题考查条件概率，本题解题关键是求出两次的点数均为偶数的条件下，两次的点数之和不大于8所含有的基本事件的个数．10、B【解题分析】分析：设已知第一次取出的是红球为事件，第二次是白球为事件，先求出的概率，然后利用条件概率公式进行计算即可．详解：设已知第一次取出的是红球为事件，第二次是白球为事件．

则由题意知，所以已知第一次取出的是白球，则第二次也取到白球的概率为．

故选：B．点睛：本题主要考查条件概率的求法，熟练掌握条件概率的概率公式是关键．11、B【解题分析】

由题意可得，上、中、下三节的容量成等差数列．再利用等差数列的性质，求出中三节容量，即可得到答案．【题目详解】由题意，上、中、下三节的容量成等差数列，上三节容四升，下三节容二升，则中三节容量为，故选B．【题目点拨】本题主要考查了等差数列的性质的应用，其中解答中熟记等差数列的等差中项公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．12、D【解题分析】试题分析：设A(x1,a),B(x2,a)，则2(x1+1)=x2+lnx2考点：导数的应用.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】分析：根据题干描述画出相应图形，分析可得抛物线经过点，将点坐标代入可求参数的值，进而可求焦点坐标.详细：由题意可得，点在抛物线上，将代入中，解得：，，由抛物线方程可得：，焦点坐标为.点睛：此题考查抛物线的相关知识，属于易得分题，关键在于能够结合抛物线的对称性质，得到抛物线上点的坐标，再者熟练准确记忆抛物线的焦点坐标公式也是保证本题能够得分的关键.14、【解题分析】

根据复数的模的几何意义，结合的几何意义，设出圆上任意一点坐标，利用两点间距离公式列式，化简求得的取值范围.【题目详解】由于复数满足，故复数对应的点在圆心为原点，半径为的圆上，设圆上任意一点的坐标为.表示圆上的点到和两点距离之和，即①，①式平方得，由于，所以，所以，所以，所以.故答案为：.【题目点拨】本小题主要考查复数模的几何意义，考查运算求解能力，属于中档题.15、【解题分析】分析：先设,再代入，利用复数相等的概念得到z,再求.详解：设，代入得所以，故答案为.点睛：（1）本题主要考查复数的计算和复数的模，考查复数相等的概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2)求复数z可以利用直接法和待定系数法，本题利用的是待定系数法.16、33000【解题分析】

设其中一家连锁店销售辆，则另一家销售辆，再列出总利润的表达式，是一个关于的二次函数，再利用二次函数的性质求出它的最大值即可．【题目详解】依题意，可设甲这一家销售了辆电动车，则乙这家销售了辆电动车，总总利润，所以，当时，取得最大值，且，故答案为.【题目点拨】本题考查函数模型的选择与应用，考查二次函数最值等基础知识，解题的关键在于确定函数的解析式，考查学生的应用能力，属于中等题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解题分析】

（Ⅰ）将问题转化为对恒成立，然后利用参变量分离法得出，于是可得出实数的取值范围；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数在上是增函数，设，并设，得知在区间上为减函数，转化为在上恒成立，利用参变量分离法得到，然后利用导数求出函数在上的最大值可求出实数的取值范围。【题目详解】（Ⅰ）易知不是常值函数，∵在上是增函数，∴恒成立，所以，只需；（Ⅱ）因为，由（Ⅰ）知，函数在上单调递增，不妨设，则，可化为，设，则，所以为上的减函数，即在上恒成立，等价于在上恒成立，设，所以，因，所以，所以函数在上是增函数，所以（当且仅当时等号成立）．所以．即的最小值为1．【题目点拨】本题考查函数的单调性与导数之间的关系，考查利用导数研究函数不等式恒成立问题，对于函数双变量不等式问题，应转化为新函数的单调性问题，难点在于利用不等式的结构构造新函数，考查分析能力，属于难题。18、（I）；（Ⅱ）.【解题分析】

（Ⅰ）设出短轴端点的坐标，根据过右焦点与短轴端点的直线的倾斜角为，可以求出斜率，这样就可以求出，再根据右焦点，可求出，最后利用求出，最后写出椭圆标准方程；（Ⅱ）设点的坐标分别为，其中，由，可得出等式，求出线段长度的表达式，结合求出的等式和基本不等式，可以求出线段长度的最小值.【题目详解】（I）设椭圆的短轴端点为（若为上端点则倾斜角为钝角），则过右焦点与短轴端点的直线的斜率，（Ⅱ）设点的坐标分别为，其中,即就是，解得.又，且当时等号成立，所以长度的最小值为【题目点拨】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了利用基本不等式求线段长最小值问题，考查了数学运算能力.19、（1）；（2）．【解题分析】

（1）求出，然后求出和，然后表示出切线方程，把点代入方程即可取出（2）由得，然后求出，的值域即可.【题目详解】解：（1）∵．∴，又∵，∴在点处的切线方程为，即．由过点得：，．（2）由，得，令，．∴，令，解得，或．易知，，，，由在上存在零点，得的取值范围为．【题目点拨】若方程有根，则的范围即为函数的值域.20、（1）（2）他36岁时能称为“高收入者”,有95%的把握认为年龄与收入有关系【解题分析】

（1）分别计算出，，带入即可．（2）将2代入比较即可，计算观测值，与临界值比较可得结论．【题目详解】（1）令，则∴∴(2)把带入（千元）≥2（万元）∴他36岁时能称为“高收入者”.故有95%的把握认为年龄与收入有关系【题目点拨】本题考查线性回归直线、独立性检验，属于基础题．21、（1）见解析；(2)0,2【解题分析】

（1）代入a的值，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点个数确定a的范围即可．【