2024届湖南省邵东县一中高二数学第二学期期末联考试题含解析

2024届湖南省邵东县一中高二数学第二学期期末联考试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在正四面体中，点，分别在棱，上，若且，，则四面体的体积为（）A． B． C． D．2．若，则的取值范围为（）A． B． C． D．3．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于4”；事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则的值等于（）A． B． C． D．4．过点且与平行的直线与圆：交于，两点，则的长为（）A． B． C． D．5．对33000分解质因数得，则的正偶数因数的个数是（）A．48 B．72 C．64 D．966．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．80B．160C．240D．4807．如图，在矩形中的曲线分别是，的一部分，，，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A． B． C． D．8．已知正项等差数列满足：，等比数列满足：，则（）A．-1或2 B．0或2 C．2 D．19．某三棱柱的底面是边长为2的正三角形，高为6，则该三棱柱的体积为A． B． C． D．10．安排4名志愿者完成5项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A．120种 B．180种 C．240种 D．480种11．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是()A．[－3,3] B．C． D．[－1,1]12．从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组，则按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的平方根是______．14．设直线（为参数），曲线（为参数），直线与曲线交于两点，则__________.15．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有__________种(用数字作答)．16．已知全集,集合,,则______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如表：零件的个数x（个）2345加工的时间y（小时）2.5344.5参考公式：，，残差（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2）求出关于的线性回归方程；（3）求第二个点的残差值，并预测加工10个零件需要多少小时？18．（12分）已知等差数列的公差为，等差数列的公差为，设，分别是数列，的前项和，且，，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：.19．（12分）已知向量a＝(3sinα，cosα)，b＝(2sinα,5sinα－4cosα)，α∈，且a⊥b.(1)求tanα的值；(2)求cos的值．20．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）曲线与相交于两点，求过两点且面积最小的圆的标准方程.21．（12分）如图，一条小河岸边有相距的两个村庄（村庄视为岸边上两点），在小河另一侧有一集镇（集镇视为点），到岸边的距离为，河宽为，通过测量可知，与的正切值之比为．当地政府为方便村民出行，拟在小河上建一座桥（分别为两岸上的点，且垂直河岸，在的左侧），建桥要求：两村所有人到集镇所走距离之和最短，已知两村的人口数分别是人、人，假设一年中每人去集镇的次数均为次．设．（小河河岸视为两条平行直线）（1）记为一年中两村所有人到集镇所走距离之和，试用表示；（2）试确定的余弦值，使得最小，从而符合建桥要求．22．（10分）已知函数（1）求函数在点处的切线方程；（2）若在时恒成立，求的取值范围。

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

由题意画出图形，设，，，由余弦定理得到关于，，的方程组，求解可得，的值，然后分别求出三角形的面积及A到平面的高，代入棱锥体积公式得答案．【题目详解】如图，设，，，∵，，∴由余弦定理得，①②③③-①得，，即，∵，则，代入③，得，又，得，，∴．∴A到平面PEF的距离．∴，故选C．【题目点拨】本题考查棱柱、棱锥、棱台体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．2、D【解题分析】

由，得，设，，当时，递减；当时，递增，，，故选D.【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得的范围.3、C【解题分析】本小题属于条件概率所以事件B包含两类：甲5乙2;甲6乙1;所以所求事件的概率为4、D【解题分析】

由题意可得直线，求得圆心到直线距离，再由弦长公式即可求解【题目详解】设直线过点，可得，则直线圆的标准方程为，圆心为，圆心到直线距离，，故选D【题目点拨】本题考查用设一般方程求平行直线方程以及几何法求圆的弦长问题5、A【解题分析】分析：分的因数由若干个、若干个、若干个、若干个相乘得到，利用分步计数乘法原理可得所有因数个数，减去不含的因数个数即可得结果.详解：的因数由若干个（共有四种情况），若干个（共有两种情况），若干个（共有四种情况），若干个（共有两种情况），由分步计数乘法原理可得的因数共有，不含的共有，正偶数因数的个数有个，即的正偶数因数的个数是，故选A.点睛：本题主要考查分步计数原理合的应用，属于中档题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.6、B【解题分析】由三视图可知，该几何体是由一个三棱柱截去一个三棱锥得到的，三棱柱的底面是直角三角形，两直角边边长为6和8，三棱柱的高为10，三棱锥的底面是直角三角形，两直角边为6和8，三棱锥的高为10，所以几何体的体积V=17、A【解题分析】

先利用定积分计算阴影部分面积，再用阴影部分面积除以总面积得到答案.【题目详解】曲线分别是，的一部分则阴影部分面积为：总面积为：【题目点拨】本题考查了定积分，几何概型，意在考查学生的计算能力.8、C【解题分析】分析：根据数列的递推关系，结合等差和等比数列的定义和性质求出数列的通项公式即可得到结论．详解：由，得，

∵是正项等差数列，

∴

，∵是等比数列，则，即

故选：D．点睛：本题主要考查对数的基本运算，根据等差数列和等比数列的性质，求出数列的通项公式是解决本题的关键．9、C【解题分析】

计算结果.【题目详解】因为底面是边长为2的正三角形，所以底面的面积为，则该三棱柱的体积为．【题目点拨】本题考查了棱柱的体积公式，属于简单题型.10、C【解题分析】

根据题意，分两步进行分析：先将5项工作分成4组，再将分好的4组进行全排，对应4名志愿者，分别求出每一步的情况数，由分步计数原理计算即可得到答案。【题目详解】根据题意，分2步进行分析：（1）先将5项工作分成4组，有种分组方法；（2）将分好的4组进行全排，对应4名志愿者，有种情况；分步计数原理可得：种不同的安排方式。故答案选C【题目点拨】本题考查排列、组合的综合应用，注意题目中“每人至少完成1项，每项工作由1人完成”的要求，属于基础题。11、D【解题分析】

根据充分、必要条件的定义，可知当时，恒成立，解一元二次不等式即可。【题目详解】依题意可知，当时，恒成立，所以，解得，故选D。【题目点拨】本题主要考查充分、必要条件定义的应用以及恒成立问题的解法。12、A【解题分析】按性别分层抽样男生女生各抽4人和2人；从8名女生中抽4人的方法为种；，4名男生中抽2人的方法为种；所以按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为故选A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

设的平方根为，由列方程组，解方程组求得.【题目详解】设的平方根为（为实数），故，所以，解得，或，故.故答案为：.【题目点拨】本小题主要考查负数的平方根，考查复数运算，属于基础题.14、【解题分析】试题分析：由题意得，曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为，所以圆心到直线的距离为，所以直线与曲线交于．考点：直线与圆的位置的弦长的计算．15、60【解题分析】试题分析：当一，二，三等奖被三个不同的人获得，共有种不同的方法，当一，二，三等奖被两个不同的人获得，即有一个人获得其中的两个奖，共有,所以获奖的不同情况有种方法,故填：60.考点：排列组合【方法点睛】本题主要考察了排列组合和分类计数原理，属于基础题型，重点是分析不同的获奖情况包含哪些情况，其中一，二，三等奖看成三个不同的元素，剩下的5张无奖奖券看成相同元素，那8张奖券平均分给4人，每人2张，就可分为三张奖券被3人获得，或是被2人获得的两种情况，如果是被3人获得，那这4组奖券就可看成4个不同的元素的全排列，如何2人获得，3张奖券分为2组，从4人挑2人排列，最后方法相加.16、【解题分析】

利用集合补集和交集的定义直接求解即可.【题目详解】因为全集,集合,,所以.故答案为：【题目点拨】本题考查了集合的补集、交集的定义,属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）；（3）；8.05个小时【解题分析】

按表中信息描点．利用所给公式分别计算出和残差，计算出即为预测值．【题目详解】（1）作出散点图如下：（2），，，所求线性回归方程为：（3）当代入回归直线方程，得（小时）加工10个零件大约需要8.05个小时【题目点拨】本题考查线性回归直线，考查学生的运算能力，属于基础题．18、（1），；（2）见解析【解题分析】

（1）由等差数列的通项公式及求和公式列的方程组求解则可求，进而得（2）利用分组求和即可证明【题目详解】（1）因为数列，是等差数列，且，，所以.整理得，解得，所以，即，，即.综上，，.（2）由（1）得，所以，即.【题目点拨】本题考查等差数列的通项公式及求和公式，裂项相消求和，考查推理计算能力，是中档题19、（1）－（2）【解题分析】(1)∵a⊥b，∴a·b＝0.而a＝(3sinα，cosα)，b＝(2sinα，5sinα－4cosα)，故a·b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0，即＝0.由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0.解得tanα＝－或tanα＝.∵α∈，∴tanα＜0，∴tanα＝－.(2)∵α∈，∴∈.由tanα＝－，求得tan＝－或tan＝2(舍去)．∴sin＝，cos＝－，∴cos＝coscos－sin·sin＝－×－×＝－20、（1）曲线的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）【解题分析】试题分析：（1）利用消参和极坐标公式，化参数方程和极坐标方程为普通方程；（2）直线和椭圆相交，联立求中点即为圆心，弦长即为直径，所以过两点且面积最小的圆的标准方程为．试题解析：（1）由消去参数，得，即曲线的普通方程为，由，得，即，即．即曲线的直角坐标方程为；（2）过两点且面积最小的圆是以线段为直径的圆，令．由，得，所以，所以圆心坐标为，又因为半径，所以过两点且面积最小的圆的标准方程为．21、（1），；（2）当时，符合建桥要求.【解题分析】

（1）利用正切值之比可求得，；根据可表示出和，代入整理可得结果；（2）根据（1）的结论可得，利用导数可求得时，取得最小值，得到结论.【题目详解】（1）与的正切值之比为则，，，，（2）由（1）知：，，令，解得：令，且当时，，；当时，，函数在上单调递减；在上单调递增；时，函数取最小值，即当时，符合建桥要求【题目点拨】本题考查函数解析式和最值的求解问题，关键是能够通过根据题意建立起所求函数和变量之间的关系，利用导数来研究函数的最值.22、（1）（2）【解题分析】

（1）求得函数的导数，得到，，利用直