2024届福建省福州市三校联盟数学高二下期末检测模拟试题含解析

2024届福建省福州市三校联盟数学高二下期末检测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．执行如图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的值为（）A． B． C． D．2．设函数f（x）＝，若函数f（x）的最大值为﹣1，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣2） B．[2，+∞） C．（﹣∞，﹣1] D．（﹣∞，﹣2]3．已知双曲线与椭圆：有共同的焦点，它们的离心率之和为，则双曲线的标准方程为（）A． B． C． D．4．设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|2﹣x＞0},则A∩B＝（）A．[﹣3，2） B．（2，3] C．[﹣1，2） D．（﹣1，2）5．已知关于的实系数一元二次方程的一个根在复平面上对应点是，则这个方程可以是（）A． B．C． D．6．已知是定义在上的奇函数，且，若，则（）A．-3 B．0 C．3 D．20197．已知函数，的值域是，则实数的取值范围是()A．（1,2） B． C．（1,3） D．（1,4）8．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立地做10次和15次验，并且利用线性回归方程，求得回归直线分别为和．已知两个人在试验中发现对变x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都为t，那么下列说法正确的（）A．与相交于点（s，t）B．与相交，交点不一定是（s，t）C．与必关于点（s，t）对称D．与必定重合9．已知双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（）A． B． C． D．10．已知，若的展开式中各项系数之和为，则展开式中常数项为（）A． B． C． D．11．“四边形是矩形，四边形的对角线相等”补充以上推理的大前提是（）A．正方形都是对角线相等的四边形 B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D．矩形都是对边平行且相等的四边形12．圆与圆的公切线有几条（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知一个总体为：、、、、，且总体平均数是，则这个总体的方差是______．14．函数在上的减区间为_____．15．定义在上的偶函数满足且在[—1，0]上是增函数，给出下列关于的判断:①是周期函数；②关于直线对称；③是[0，1]上是增函数；④在[1，2]上是减函数；⑤.其中正确的序号是_________.16．若不等式有且只有1个正整数解，则实数a的取值范围是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了解人们]对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研.人社部从网上年龄在1565岁的人群中随机调查100人，调査数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：年龄支持“延迟退休”的人数155152817（1）由以上统计数据填列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；45岁以下45岁以上总计支持不支持总计（2）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动.现从这8人中随机抽2人①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率.②记抽到45岁以上的人数为，求随机变量的分布列及数学期望.18．（12分）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，短轴长为(1)求椭圆C的方程；(2)当直线l的斜率为3时,求ΔPOQ的面积；(3)在x轴上是否存在点M(m,0),满足|PM|=|QM|？若存在,求出m的取值范围；若不存在,请说明理由.19．（12分）已知函数，其中为实常数.（1）若当时，在区间上的最大值为，求的值；（2）对任意不同两点，，设直线的斜率为，若恒成立，求的取值范围.20．（12分）某校为“中学数学联赛”选拔人才，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：分数不小于本次考试成绩中位数的具有复赛资格，某校有900名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如图．（1）求获得复赛资格应划定的最低分数线；（2）从初赛得分在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间与各抽取多少人？（3）从（2）抽取的7人中，选出4人参加全市座谈交流，设表示得分在中参加全市座谈交流的人数，学校打算给这4人一定的物质奖励，若该生分数在给予500元奖励，若该生分数在给予800元奖励，用Y表示学校发的奖金数额，求Y的分布列和数学期望。21．（12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，又底面，，为的中点.（1）求证：；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.22．（10分）如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，，平面，，.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

读懂流程图，可知每循环一次，的值减少4，当时，得到的值.【题目详解】根据流程图，可知每循环一次，的值减少4，输入，因为2019除以4余3，经过多次循环后，再经过一次循环后满足的条件，输出【题目点拨】流程图的简单问题，找到循环规律，得到的值，得到输出值.属于简单题.2、D【解题分析】

考虑x≥1时，f（x）递减，可得f（x）≤﹣1，当x＜1时，由二次函数的单调性可得f（x）max＝1+a，由题意可得1+a≤﹣1，可得a的范围．【题目详解】当x≥1时，f（x）＝﹣log1（x+1）递减，可得f（x）≤f（1）＝﹣1，当且仅当x＝1时，f（x）取得最大值﹣1；当x＜1时，f（x）＝﹣（x+1）1+1+a，当x＝﹣1时，f（x）取得最大值1+a，由题意可得1+a≤﹣1，解得a≤﹣1．故选：D．【题目点拨】本题考查分段函数的最值求法，注意运用对数函数和二次函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．3、C【解题分析】

由椭圆方程求出双曲线的焦点坐标，及椭圆的离心率，结合题意进一步求出双曲线的离心率，从而得到双曲线的实半轴长，再结合隐含条件求得双曲线的虚半轴长得答案．【题目详解】由椭圆，得，，则，双曲线与椭圆的焦点坐标为，，椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为．设双曲线的实半轴长为m，则，得，则虚半轴长，双曲线的方程是．故选C．【题目点拨】本题考查双曲线方程的求法，考查了椭圆与双曲线的简单性质，是中档题．4、C【解题分析】

求得集合A={x|-1≤x≤3},B={x|x<2}，根据集合的交集运算，即可求解．【题目详解】由题意，集合A={x|x所以A∩B={x|-1≤x<2}=[-1,2)．故选：C．【题目点拨】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确求解集合A,B，再根据集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5、A【解题分析】

先由题意得到方程的两复数根为，(为虚数单位)，求出，，根据选项，即可得出结果.【题目详解】因为方程的根在复平面内对应的点是，可设根为：，(为虚数单位)，所以方程必有另一根，又，，根据选项可得，该方程为.故选A【题目点拨】本题主要考查复数的方程，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.6、B【解题分析】

根据题意，由函数的奇偶性分析可得，函数是周期为4的周期函数，据此求出、、的值，进而结合周期性分析可得答案.【题目详解】解：根据题意，是定义在上的奇函数，则，又由，则有，即，变形可得：，即函数是周期为4的周期函数，是定义在上的奇函数，则，又由，则，故.故选：B.【题目点拨】本题考查函数的奇偶性周期性的综合应用，涉及函数值的计算，属于基础题.7、B【解题分析】

先求出当x≤2时，f（x）≥4，则根据条件得到当x＞2时，f（x）=3+logax≥4恒成立，利用对数函数的单调性进行求解即可．【题目详解】当x≤2时，f（x）=﹣x+6≥4，要使f（x）的值域是[4，+∞），则当x＞2时，f（x）=3+logax≥4恒成立，即logax≥1，若0＜a＜1，则不等式logax≥1不成立，当a＞1时，则由logax≥1=logaa，则a≤x，∵x＞2，∴a≤2，即1＜a≤2，故选：D．【题目点拨】本题主要考查函数值域的应用，利用分段函数的表达式先求出当x≤2时的函数的值域是解决本题的关键．8、A【解题分析】

根据线性回归方程l1和l2都过样本中心点（s，t），判断A说法正确．【题目详解】解：根据线性回归方程l1和l2都过样本中心点（s，t），∴与相交于点，A说法正确．故选：A．【题目点拨】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题．9、B【解题分析】

由渐近线方程得出的值，结合可求得【题目详解】∵双曲线的一条渐近线方程为，∴，∴，解得，即离心率为．故选：B．【题目点拨】本题考查双曲线的渐近线和离心率，解题时要注意，要与椭圆中的关系区别开来．10、B【解题分析】

通过各项系数和为1，令可求出a值，于是可得答案.【题目详解】根据题意，在中，令，则，而，故，所以展开式中常数项为，故答案为B.【题目点拨】本题主要考查二项式定理，注意各项系数之和和二项式系数和之间的区别，意在考查学生的计算能力，难度不大.11、B【解题分析】

根据题意，用三段论的形式分析即可得答案．【题目详解】根据题意，用演绎推理即三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据，∵由四边形是矩形，得到四边形的对角线相等的结论，∴大前提一定是矩形都是对角线相等的四边形，故选B．【题目点拨】本题考查演绎推理的定义，关键是掌握演绎推理的形式，属于基础题.12、C【解题分析】

首先求两圆的圆心距，然后判断圆心距与半径和或差的大小关系,最后判断公切线的条数.【题目详解】圆，圆心，，圆,圆心，，圆心距两圆外切，有3条公切线.故选C.【题目点拨】本题考查了两圆的位置关系，属于简单题型.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

利用总体平均数为求出实数的值，然后利用方差公式可求出总体的方差.【题目详解】由于该总体的平均数为，则，解得.因此，这个总体的方差为.故答案为：.【题目点拨】本题考查方差的计算，利用平均数和方差公式进行计算是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.14、【解题分析】

利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式为,结合正弦函数图像,即可求得函数的减区间.【题目详解】函数根据正弦函数减区间可得:,解得:,故函数的减区间为:再由,可得函数的减区间为故答案为:【题目点拨】本题主要考查三角函数的单调区间的求法,利用正弦函数的图像和性质是解决本题的关键,考查了计算能力,属于基础题.15、①②⑤.【解题分析】,周期为2,,又，所以f(x)关于直线x=1对称，又因为f(x)为偶函数，在[-1，0]是增函数，所以在[0,1]上是减函数，由于f(x)在[1,2]上的图像与[-1,0]上的相同，因而在[1,2]也是增函数，综上正确的有①②⑤.16、【解题分析】

令（），求出，由导数研究函数的单调性，可得唯一的正整数解是什么，从而得出的范围．【题目详解】令（），则.当时，由得；由得；所以在单调递增，在单调递减，不合题意，舍去；当时，有，显然不成立；当时，由得；由得；所以在单调递减，在单调递增，依题意，需解得，故实数a的取值范围是.【题目点拨】本题考查不等式的正整数解，实质考查用导数研究函数的单调性．掌握用导数研究函数单调性的方法是解题关键．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)列联表见解析，在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”有差异.(2)①.②分布列见解析，.【解题分析】

分析：（1）根据频率分布直方图得到45岁以下与45岁以上的人数，由此可得列联表，求得后在结合临界值表可得结论．（2）①结合条件概率的计算方法求解；②由题意可得的可能取值为0,1,2，分别求出对应的概率后可得分布列和期望．详解：（1）由频率分布直方图知45岁以下与45岁以上各50人，故可得列联表如下：45岁以下45岁以上总计支持354580不支持15520总计5050100由列联表可得，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异．（2）①从不支持“延迟退休”的人中抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁以上的应抽2人．设“抽到1人是45岁以下”为事件A，“抽到的另一人是45岁以上”为事件B，则,∴,即抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率为．②从不支持“延迟退休”的人中抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁以上的应抽2人．由题意得的可能取值为0,1,2.，，.故随机变量的分布列为：012所以.18、（1）x24+y23=1（2）453（3）在【解题分析】

（1）根据题中条件列有关a、b、c的方程组，解出这三个数，可得出椭圆C的标准方程；（2）先写出直线l的方程，并设点Px1,y1、Qx2,y2，将直线l的方程与椭圆C的方程联立，利用弦长公式求出（3）①当直线l的斜率为零时，得出m=0；②当直线l的斜率不为零时，设直线l的方程为y=kx-1，设点Px1,y1、Qx2,y2，将直线l的方程与椭圆C的方程联立，并列出韦达定理，求出线段PQ的中点【题目详解】（1）由已知得2b=23ca所以椭圆C的方程为x2（2）设直线l: y=3(x-1)，设点由y=3(x-1)x24点O到直线l的距离为d=32，则（3）当直线l的斜率不存在时，不符合题意；当直线l的斜率为0时，m=0，当直线l的斜率不为0时，设直线l:y=k(x-1)(k≠0)，设P由y=k(x-1)x2∴x1+xPQ的中点N4k23+4kkMN⋅kPQ综上，在x轴上存在点M(m,0)，满足PM=QM，且m的取值范围为【题目点拨】本题考查椭圆方程的求解，考查椭圆中三角形面积的计算以及直线与椭圆位置关系的综合问题，这种类型问题常用韦达定理法求解，解题时要将题中一些问题等价转化，考查计算能力，属于中等题。19、(1)(2)【解题分析】

（1）讨论与0，1，e的大小关系确定最值得a的方程即可求解；（2）原不等式化为，不妨设，整理得，设，当时，，得，分离，求其最值即可求解a的范围【题目详解】（1），令，则.所以在上单调递增，在上单调递减.①当，即时，在区间上单调递减，则，由已知，，即，符合题意.②当时，即时，在区间上单调递增，在上单调递减，则，由已知，，即，不符合题意，舍去.③当，即时，在区间上单调递增，则，由已知，，即，不符合题意，舍去.综上分析，.（2）由题意，，则原不等式化为，不妨设，则，即，即.设，则，由已知，当时，不等式恒成立，则在上是增函数.所以当时，，即，即恒成立，因为，当且仅当，即时取等号，所以.故的取值范围是.【题目点拨】本题考查函数的单调性，不等式恒成立问题，构造函数与分离变量求最值，分类讨论思想，转化化归能力，是中档题20、（1）本次考试复赛资格最低分数线应划为100分；（2）5人，2人；（3）元.【解题分析】

（1）求获得复赛资格应划定的最低分数线，即是求考试成绩中位数，只需满足中位数两侧的频率之和均为0.5即可；（2）先确定得分在区间与的频率之比，即可求解；（3）先确定的可能取值，再求出其对应的概率，即可求出分布列和期望.【题目详解】（1）由题意知的频率为：，的频率为：所以分数在的频率为：，从而分数在的，假设该最低分数线为由题意得解得．故本次考试复赛资格最低分数线应划为100分。（2）在区间与，，在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人，分在区间与各抽取5人，2人，结果是5人，2人．（3）的可能取值为2，3，4，则：，从而Y的分布列为Y260023002000(元)．【题目点拨】本题主要考查频率分布直方图求中位数，以及分层抽样和超几何分布等问题，熟记相关概念，即可求解，属于常考题型.21、(1)证明见解析.(2).【解题分析