江西省鹰潭一中2024届数学高二下期末监测试题含解析

江西省鹰潭一中2024届数学高二下期末监测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．“因为偶函数的图象关于轴对称，而函数是偶函数，所以的图象关于轴对称”.在上述演绎推理中，所以结论错误的原因是（）A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误 D．大前提与推理形式都错误2．函数fx=aexx，x∈1,2，且∀x1A．-∞,4e2 B．4e3．已知定义在上的函数的导函数为，且，若存在实数，使不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．4．已知直线（为参数）与曲线的相交弦中点坐标为，则等于（）A． B． C． D．5．一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，则右边程序框图输出的S表示的是（）A．小球第10次着地时向下的运动共经过的路程B．小球第10次着地时一共经过的路程C．小球第11次着地时向下的运动共经过的路程D．小球第11次着地时一共经过的路程6．已知复数，则复数的模为（）A．2 B． C．1 D．07．等差数列an中的a2 ，  A．5 B．4 C．3 D．28．已知曲线的参数方程为：，且点在曲线上，则的取值范围是（）A． B． C． D．9．若函数，函数有3个零点，则k的取值范围是()A．（0，1） B． C． D．10．已知双曲线x2a2-yA．x212-y2811．设，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是（）A．[0,1]B．[1,2]C．[-2,-1]D．[-1,0]12．复数（为虚数单位）的共轭复数是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．有一个容器，下部分是高为的圆柱体，上部分是与圆柱共底面且母线长为的圆锥，现不考虑该容器内壁的厚度，则该容器的最大容积为___________．14．若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为____________15．若一个圆锥的母线长是底面半径的3倍，则该圆锥的侧面积是底面积的_________倍；16．如图，在正三棱柱中，已知它的底面边长为10，高为20，若P、Q分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小为_________（结果用反三角函数表示）．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知二次函数，设方程有两个实根（Ⅰ）如果，设函数的图象的对称轴为，求证：；（Ⅱ）如果，且的两实根相差为2，求实数的取值范围.18．（12分）已知函数，.（1）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围；（2）对于区间上的任意不相等的实数、，都有成立，求的取值范围.19．（12分）设曲线．（Ⅰ）若曲线表示圆，求实数的取值范围；（Ⅱ）当时，若直线与曲线交于两点，且，求实数的值．20．（12分）已知命题实数满足（其中），命题方程表示双曲线.（I）若，且为真命题，求实数的取值范围；(Ⅱ)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．21．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝m，点M是棱CD的中点．（1）求异面直线B1C与AC1所成的角的大小；（2）是否存在实数m，使得直线AC1与平面BMD1垂直？说明理由；（3）设P是线段AC1上的一点（不含端点），满足λ，求λ的值，使得三棱锥B1﹣CD1C1与三棱锥B1﹣CD1P的体积相等．22．（10分）如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上．并记组成该“钉”的四条等长的线段公共点为，钉尖为．（1）判断四面体的形状，并说明理由；（2）设，当在同一水平面内时，求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（3）若该“钉”着地后的四个线段根据需要可以调节与底面成角的大小，且保持三个线段与底面成角相同，若，，问为何值时，的体积最大，并求出最大值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】分析：因为函数不是偶函数，是一个非奇非偶函数，所以小前提错误.详解：因为,所以，所以函数f(x)不是偶函数，所以小前提错误.故答案为：B.点睛：本题主要考查演绎推理中的三段论和函数奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平.2、A【解题分析】

构造函数Fx=fx-x，根据函数的单调性得到F'x≤0在1,2【题目详解】不妨设x1<x2，令Fx=fx-x，则Fx在1,2F'x当x=1时，a∈R，当x∈1,2时，a≤x2所以gx在1,2单调递减，是gxmin【题目点拨】本题考查了函数的单调性，恒成立问题，构造函数Fx=f3、C【解题分析】

对函数求导，分别求出和的值，得到，利用导数得函数的最小值为1，把存在实数，使不等式对于任意恒成立的问题转化为对于任意恒成立，分离参数，分类讨论大于零，等于零，小于零的情况，从而得到的取值范围。【题目详解】由题可得，分别把和代入与中得到，解得：；，，即当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增；要存在实数，使不等式对于任意恒成立，则不等式对于任意恒成立，即不等式对于任意恒成立；（1）当时，显然不等式不成立，舍去；（2）当时，不等式对于任意恒成立转化为对于任意恒成立，即，解得：；（3）当时，不等式对于任意恒成立转化为对于任意恒成立，即，解得：；综述所述，实数的取值范围是故答案选C【题目点拨】本题考查函数解析式的求法，利用导数求函数最小值，分类参数法，考查学生转化的思想，分类讨论的能力，属于中档题。4、A【解题分析】

根据参数方程与普通方程的互化，得直线的普通方程为，由极坐标与直角坐标的互化，得曲线普通方程为，再利用“平方差”法，即可求解．【题目详解】由直线（为参数），可得直线的普通方程为，由曲线，可得曲线普通方程为，设直线与椭圆的交点为，，则，，两式相减，可得.所以，即直线的斜率为，所以，故选A．【题目点拨】本题主要考查了参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及中点弦问题的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用中点弦的“平方差”法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5、C【解题分析】结合题意阅读流程图可知，每次循环记录一次向下运动经过的路程，上下的路程相等，则表示小球第11次着地时向下的运动共经过的路程.本题选择C选项.6、C【解题分析】

根据复数的除法运算求出，然后再求出即可．【题目详解】由题意得，∴．故选C．【题目点拨】本题考查复数的除法运算和复数模的求法，解题的关键是正确求出复数，属于基础题．7、D【解题分析】

求导，根据导数得到a2,a4030是方程x【题目详解】由题意可知：f'x=x2-8x+6，又a2,a4030是函数f∴log2【题目点拨】本题考查了等差数列的性质，函数的极值，对数运算，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.8、C【解题分析】分析：由题意得曲线C是半圆，借助已知动点在单位圆上任意动，而所求式子，的形式可以联想成在单位圆上动点P与点C（0，1）构成的直线的斜率，进而求解．详解：∵即

其中由题意作出图形，，

令，则可看作圆上的动点到点的连线的斜率而相切时的斜率，

由于此时直线与圆相切，

在直角三角形中，，由图形知，的取值范围是则的取值范围是．

故选C．点睛：此题重点考查了已知两点坐标写斜率，及直线与圆的相切与相交的关系，还考查了利用几何思想解决代数式子的等价转化的思想．9、A【解题分析】

画出的图像，有3个零点等价于有3个交点。【题目详解】有3个零点等价于有3个交点记则过原点作的切线，有3个零点等价于有3个交点记则过原点作的切线，设切点为则切线方程为：，又切线过原点，即，将，，代入解得，所以切线斜率所以【题目点拨】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查了函数零点个数的问题，属于中档题。10、D【解题分析】试题分析：因为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为62，所以ca考点：双曲线的性质．11、D【解题分析】试题分析：函数f（x）在区间[a，b]上有零点，需要f（x）在此区间上的图像连续且两端点函数值异号，即f（a）f（b）≤0，把选择项中的各端点值代入验证可得答案D．考点：零点存在定理12、B【解题分析】

根据复数除法运算，化简复数，再根据共轭复数概念得结果【题目详解】，故的共轭复数.故选B.【题目点拨】本题考查复数除法运算以及共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

设圆柱底面圆的半径为，分别表示出圆柱和圆锥的体积，利用导数求得极值点，并判断在极值点左右两侧的单调性，即可求得函数的最大值，即为容器的最大容积.【题目详解】设圆柱底面圆的半径为，圆柱体的高为，则圆柱的体积为；圆锥的高为，则圆锥的体积，所以该容器的容积为则，令，即，化简可得，解得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，取得最大值；代入可得，故答案为：.【题目点拨】本题考查了导数在体积最值问题中的综合应用，圆柱与圆锥的体积公式应用，属于中档题.14、【解题分析】

因为点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值是过点P的切线与直线平行的时候，则，即点（1，1）那么可知两平行线间的距离即点（1，1）到直线的距离为15、1；【解题分析】

分别计算侧面积和底面积后再比较．【题目详解】由题意，，，∴．故答案为1．【题目点拨】本题考查圆锥的侧面积，掌握侧面积计算公式是解题关键．属于基础题．16、；【解题分析】

作出两异面直线所成的角，然后在三角形求解．【题目详解】取中点，连接，∵是中点，∴，∴异面直线与所成的角为或其补角．在正三棱柱中，，则，，∴，，，∴，∴异面直线与所成的角的余弦为，角的大小为．故答案为．【题目点拨】本题考查异面直线所成的角，解题关键是作出两条异面直线所成的角，然后通过解三角形得出结论．方法是根据定义，平移其中一条直线使之与另一条相交，则异面直线所成的角可确定．平行线常常通过中位线、或者线面平行的性质定理等得出．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析（2）【解题分析】分析：（1）有转化为有两根：一根在与之间，另一根小于，利用一元二次方程的根分布可证；（2）先有，知两根同号，在分两根均为正和两根均为负两种情况的讨论，再利用两个之和与两根之积列不等式可求的取值范围.详解：（1）设，且，则由条件x1<2<x2<4得（2），又或综上：点睛：利用函数的零点求参数范围问题，通常有两种解法：一种是利用方程中根与系数的关系或利用函数思想结合图象求解；二种是构造两个函数分别作出图象，利用数形结合求解，此类题目也体现了函数与方程，数形结合的思想.18、（1）（2）或【解题分析】

(1)由得，即与的图象在上有唯一交点.设,利用导数讨论出函数的单调性，得出答案.

(2)不妨设，当时，,则在上单调递增，则转化为，即在上单调递减，所以恒成立，当时，即在上单调递增，从而可求答案.【题目详解】【题目详解】（1）解：由，得，设，，则问题等价于与的图象在上有唯一交点，∵，∴时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，∵，且时，，∴.（2）解：，在上单调递增.不妨设，当时，,则在上单调递增，，，∴可化为，∴，设，即，∵在上单调递减，∴恒成立，即在上恒成立，∵，∴，当时，，，∴可化为，∴，设，即，∵在上单调递增，∴恒成立，即在上恒成立.∴，∴，综上所述：或.【题目点拨】本题考查根据方程根的个数求参数范围和构造函数利用函数的单调性求参数范围，属于中档题.19、(1)或.(2).【解题分析】分析：（Ⅰ）根据圆的一般方程的条件列不等式求出的范围；

（Ⅱ）利用垂径定理得出圆的半径，从而得出的值．详解：(Ⅰ)曲线C变形可得：，由可得或(Ⅱ)因为a=3，所以C的方程为即，所以圆心C（3,0），半径,因为所以C到直线AB的距离,解得..点睛：本题考查了圆的标准方程，考查圆的弦长的求法，属于基础题．20、（Ⅰ）（Ⅱ）【解题分析】

（Ⅰ）将代入不等式，并解出命题中的不等式，同时求出当命题为真命题时实数的取值范围，由条件为真命题，可知这两个命题都是真命题，然后将两个范围取交集可得出实数的取值范围；（Ⅱ）解出命题中的不等式，由是的必要不充分条件，得出命题中实数的取值范围是命题中不等式解集的真子集，然后列不等式组可求出实数的取值范围．【题目详解】（Ⅰ）由得，若，为真时实数t的取值范围是.由表示双曲线,得,即为真时实数的取值范围是.若为真，则真且真，所以实数t的取值范围是（Ⅱ）设，是的必要不充分条件，.当时，，有，解得；当时，，显然，不合题意．∴实数a的取值范围是．【题目点拨】本题第（1）问考查复合命题的真假与参数，第（2）问考查充分必要性与参数，一般要结合两条件之间的关系转化为集合间的包含关系，考查转化与化归数学思想，属于中等题．21、（1）90°（2）存在，m，理由见解析（3）λ【解题分析】

（1）根据题意只需证明平面，即可得到B1C⊥AC1，从而可得答案.（2）存在实数m，使得直线AC1与平面BMD1垂直．只需证明BM⊥AC1，AC1⊥D1M，即可得到直线AC1⊥平面BMD1；（3）计算，，设AC1与平面B1CD1的斜足为O，则AO＝2OC1，则P为AO的中点，从而可得答案.【题目详解】（1）连接BC1，如图所示：由四边形BCC1B1为正方形，可得B1C⊥BC1，又ABCD﹣A1B1C1D1为长方体，可得AB⊥B1C，而AB∩BC1＝B，∴B1C⊥平面ABC1，而AC1⊂平面ABC1，∴B1C⊥AC1，即异面直线B1C与AC1所成的角的大小为90°；（2）存在实数m，使得直线AC1与平面BMD1垂直．事实上，当m时，CM，∵BC＝1，∴，则Rt△ABC∽Rt△BCM，则∠CAB＝∠MBC，∵∠CAB+∠ACB＝90°，∴∠MBC+∠ACB＝90°，即AC⊥BM，又CC1⊥BM，AC∩CC1＝C，∴BM⊥平面ACC1，则BM⊥AC1，同理可证AC1⊥D1M，又D1M∩BM＝M，∴直线AC1⊥平面BMD1；（3）∵，，设AC1与平面B1CD1的斜足为O，则AO＝2OC1，∴在线段AC1上取一点P，要使三棱锥B1﹣CD1C1与三棱锥B1﹣CD1P的体积相等，则P为AO的中点，即．【题目点拨】本题考查了直线与平面垂直的判定定理，考查了直线与平面垂直的性质，考查了棱柱和棱锥的体积公式，属于中档题.22、（1）正四面体；理由见解析（2）；（3）当时，最大体积为：；【解