2024届上海市十校数学高二第二学期期末统考试题含解析

2024届上海市十校数学高二第二学期期末统考试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．甲球与某立方体的各个面都相切，乙球与这个立方体的各条棱都相切，丙球过这个立方体的所有顶点，则甲、乙、丙三球的半径的平方之比为（）A．1∶2∶3 B．1∶∶C．1∶∶ D．1∶2∶32．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(-1,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为（）附：若X∼N(μ,σ2)，则PA．1193 B．1359 C．2718 D．34133．下列命题错误的是A．若直线平行于平面，则平面内存在直线与平行B．若直线平行于平面，则平面内存在直线与异面C．若直线平行于平面，则平面内存在直线与垂直D．若直线平行于平面，则平面内存在直线与相交4．展开式中项的系数是A．4 B．5C．8 D．125．函数的极小值点是（）A．1 B．（1，﹣） C． D．（﹣3，8）6．已知三棱锥的四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别为，，，，画该三棱锥的三视图的俯视图时，以平面为投影面，得到的俯视图可以为（）A． B． C． D．7．甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中；乙预测说：我不会获奖，丙获奖丙预测说：甲和丁中有一人获奖；丁预测说：乙的猜测是对的成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，则获奖的是（）A．甲和丁B．乙和丁C．乙和丙D．甲和丙8．若，则()A．2 B．0 C．-1 D．-29．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是（）A．模型1的相关指数R2为0.98 B．模型2的相关指数R2为0.80C．模型3的相关指数R2为0.50 D．模型4的相关指数R2为0.2510．函数的图象是（）A． B．C． D．11．已知函数的导函数的图象如图所示，那么（）A．是函数的极小值点B．是函数的极大值点C．是函数的极大值点D．函数有两个极值点12．已知函数图象如图，是的导函数，则下列数值排序正确的是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若""是""的必要不充分条件,则的取值范围是____．14．已知为虚数单位，则复数的虚部为__________．15．总决赛采用7场4胜制，2018年总决赛两支球队分别为勇士和骑士，假设每场比赛勇士获胜的概率为0.7，骑士获胜的概率为0.3，且每场比赛的结果相互独立，则恰好5场比赛决出总冠军的概率为__________．16．若的展开式中，奇数项的系数之和为-121，则n=___________。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）五一劳动节放假，某商场进行一次大型抽奖活动.在一个抽奖盒中放有红、橙、黄、绿、蓝、紫的小球各2个，分别对应1分、2分、3分、4分、5分、6分.从袋中任取3个小球，按3个小球中最大得分的8倍计分，计分在20分到35分之间即为中奖.每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球中最大得分，求：（1）取出的3个小球颜色互不相同的概率；（2）随机变量的概率分布和数学期望；（3）求某人抽奖一次，中奖的概率.18．（12分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重.大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如表所示的列联表:已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为.（1）请将列联表补充完整；患心肺疾病不患心肺疾病合计男5女10合计50（2）是否有97.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关?说明你的理由；（3）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患胃病.现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其他方面的排查，记选出患胃病的女性人数为，求的分布列以及数学期望.下面的临界值表供参考:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式，其中）19．（12分）某小区所有263户家庭人口数分组表示如下：家庭人口数12345678910家庭数20294850463619843（1）若将上述家庭人口数的263个数据分布记作，平均值记作，写出人口数方差的计算公式（只要计算公式，不必计算结果）；（2）写出他们家庭人口数的中位数（直接给出结果即可）；（3）计算家庭人口数的平均数与标准差.（写出公式，再利用计算器计算，精确到0.01）20．（12分）函数（1）若函数在内有两个极值点，求实数的取值范围；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．21．（12分）已知，不等式的解集为.（1）求；（2）当时，证明：.22．（10分）平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F，过F的动直线l交于M、N两点.（1）若l垂直于x轴，且线段MN的长为1，求的方程；（2）若，求线段MN的中点P的轨迹方程；（3）求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

设立方体为以2为边长的正方体，分别求出甲乙丙的半径，即可得出答案。【题目详解】设立方体为以2为边长的正方体，则，，所以【题目点拨】设立方体为以2为边长的正方体，分别求出甲乙丙的半径，即可得出答案。2、B【解题分析】由正态分布的性质可得，图中阴影部分的面积S=0.9545-0.6827则落入阴影部分（曲线C为正态分布N(-1,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为本题选择B选项.点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.3、D【解题分析】分析：利用空间中线线、线面间的位置关系求解．详解：A.若直线平行于平面，则平面内存在直线与平行，正确；B.若直线平行于平面，则平面内存在直线与异面，正确；C.若直线平行于平面，则平面内存在直线与垂直，正确，可能异面垂直；D.若直线平行于平面，则平面内存在直线与相交，错误，平行于平面，与平面没有公共点.故选D.点睛：本题主要考查命题的真假判断，涉及线面平行的判定和性质，属于基础题．4、B【解题分析】

把（1+x）5按照二项式定理展开，可得（1﹣x）（1+x）5展开式中x2项的系数．【题目详解】（1﹣x）（1+x）5=（1﹣x）（1+5x+10x2+10x3+5x4+x5），其中可以出现的有1*10x2和﹣x*5x，其它的项相乘不能出现平方项，故展开式中x2项的系数是10﹣5=5，故选B．【题目点拨】这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等．5、A【解题分析】

求得原函数的导数，令导数等于零，解出的值，并根据单调区间判断出函数在何处取得极小值，并求得极值，由此得出正确选项.【题目详解】，由得函数在上为增函数，上为减函数，上为增函数，故在处有极小值，极小值点为1.选A【题目点拨】本小题主要考查利用导数求函数的极值点，属于基础题.6、C【解题分析】点在的投影为，点在的投影为，在的投影为，在的投影为，连接四点，注意实线和虚线，得出俯视图，选C7、B【解题分析】

从四人的描述语句中可以看出，乙、丁的表述要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，再进行判断【题目详解】若乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，推出矛盾．故乙、丙预测不成立时，推出获奖的是乙和丁答案选B【题目点拨】真假语句的判断需要结合实际情况，作出合理假设，才可进行有效论证8、C【解题分析】令可得：，令，可得：，据此可得：-1.本题选择C选项.点睛：因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．9、A【解题分析】解：因为回归模型中拟合效果的好不好，就看相关指数是否是越接近于1，月接近于1，则效果越好．选A10、A【解题分析】

根据已知中函数的解析式，利用导数法分析出函数的单调性及极值，比照四个答案函数的图象，可得答案．【题目详解】∵，∴，令得；当时，，即函数在内单调递减，可排除B,D；又时，，排除C，故选A.【题目点拨】本题考查的知识点是函数的图象，分析出函数的单调性是解答的关键，属于中档题.11、C【解题分析】

通过导函数的图象可知；当在时，；当在时，，这样就可以判断有关极值点的情况.【题目详解】由导函数的图象可知：当在时，，函数单调递增；当在时，，函数单调递减，根据极值点的定义，可以判断是函数的极大值点，故本题选C.【题目点拨】本题考查了通过函数导函数的图象分析原函数的极值点的情况.本题容易受导函数的单调性的干扰.本题考查了识图能力.12、C【解题分析】结合函数的图像可知过点的切线的倾斜角最大，过点的切线的倾斜角最小，又因为点的切线的斜率，点的切线斜率，直线的斜率，故，应选答案C．点睛：本题旨在考查导数的几何意义与函数的单调性等基础知识的综合运用．求解时充分借助题设中所提供的函数图形的直观，数形结合进行解答．先将经过两切点的直线绕点逆时针旋转到与函数的图像相切，再将经过两切点的直线绕点顺时针旋转到与函数的图像相切，这个过程很容易发现，从而将问题化为直观图形的问题来求解．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据充分条件和必要条件的定义,结合不等式的关系进行求解,即可求得答案.【题目详解】若""是""的必要不充分条件则即即的取值范围是:.故答案为:.【题目点拨】本题考查利用必要不充分条件求参数的取值范围,利用“小范围能推出大范围”即可得出参数的范围,考查了分析能力,属于基础题.14、【解题分析】

先化简复数，再利用复数的概念求解.【题目详解】因为复数，所以复数的虚部为.故答案为：【题目点拨】本题主要考查复数的概念及运算，还考查了理解辨析和运算求解的能力，属于基础题.15、0.3108【解题分析】分析：设“勇士以比分4：1获胜”为事件，“第场比赛取胜”记作事件，由能求出勇士队以比分4：1获胜的概率．设“骑士以比分4：1获胜”为事件，“第场比赛取胜”记作事件，由能求出骑士队以比分4：1获胜的概率．则恰好5场比赛决出总冠军的概率为.详解：设“勇士以比分4：1获胜”为事件，“第场比赛取胜”记作事件，由能求出勇士队以比分4：1获胜的概率．则设“骑士以比分4：1获胜”为事件，“第场比赛取胜”记作事件，由能求出骑士队以比分4：1获胜的概率．则则恰好5场比赛决出总冠军的概率为即答案为0.3108.点睛：本题主要考查了次独立重复试验中恰好发生次的概率，同时考查了分析问题的能力和计算能力，属于中档题．16、5【解题分析】

令和，作和即可得到奇数项的系数和，从而构造出方程解得结果.【题目详解】令得：令得：奇数项的系数和为：，解得：本题正确结果：【题目点拨】本题考查二项式系数的性质应用问题，关键是采用赋值的方式快速得到系数和.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）分布列见解析，数学期望为（3）【解题分析】

（1）设事件表示“取出的3个小球上的颜色互不相同”，利用古典概型、排列组合能求出取出的3个小球颜色互不相同的概率；（2）由题意得有可能的取值为：2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的概率分布列和数学期望；（3）设事件C表示“某人抽奖一次，中奖”，则，由此能求出结果.【题目详解】（1）“一次取出的3个小球上的颜色互不相同”的事件记为，则（2）由题意有可能的取值为：2，3，4，5，6；；；；所以随机变量的概率分布为23456因此的数学期望为（3）“某人抽奖一次，中奖”的事件为，则【题目点拨】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.18、（1）见解析（2）有97.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关.（3）见解析，【解题分析】

（1）由题意可知：在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为，即可求得患心肺疾病的为20人，即可完成列联表；（2）再代入公式计算得出，与5.024比较即可得出结论；（3）在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，记选出患胃病的女性人数为，则服从超几何分布，即可得到的分布列和数学期望．【题目详解】解：（1）列联表补充如表所示患心肺疾病不患心肺疾病合计男10515女102535合计203050（2）∵∴∵∴有97.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关.（3）根据题意，的值可能为0，1，2，3，，，，分布列如表:0123则【题目点拨】本题考查独立性检验的应用问题，考查随机变量得分布列和数学期望，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19、（1）；（2）；（3）平均数4.30人，方差【解题分析】

（1）根据方差的计算公式可得结果；（2）根据中位数的概念可得结果；（3）根据平均数与标准差的公式计算即可.【题目详解】解：（1）由方差的计算公式得：人口数方差为；（2）263户家庭，则中位数为第户家庭的人口数，，，所以中位数为4；（3）平均数：，标准差：【题目点拨】本题考查平均数，标准差，中位数的计算，是基础题.20、（1）或．（2）【解题分析】

（1）先对函数求导、然后因式分解，根据函数在在内有两个极值点列不等式组，解不等式组求得的取值范围.（2）先对函数求导并因式分解.对分成三种情况，利用的单调性，结合不等式在上恒成立列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【题目详解】解：（1）由题意知，．有得：或．（2）．①当时，，符合题意．②当时，令，得或，此时函数的增区间为，减区间为．此时只需：解得：或，故．③当时，令，得或，此时函数的增区间为，，减区间为，此时只需：解得：，故，由上知实数的取值范围为．【题目点拨】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间、极值，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法