2024届云南省昆明市禄劝县一中高二数学第二学期期末考试试题含解析

2024届云南省昆明市禄劝县一中高二数学第二学期期末考试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，则中（）A．至少有一个不小于1 B．至少有一个不大于1C．都不大于1 D．都不小于12．已知命题p：∃x0>0，使得(A．∀x≤0，总有(x+2)ex≥1 B．C．∀x>0，总有(x+2)ex≥1 D．3．已知二项式的展开式中二项式系数之和为64，则该展开式中常数项为A．－20 B．－15 C．15 D．204．某大学中文系共有本科生5000人，期中一、二、三、四年级的学生比为5:4:3:1，要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本，则应抽二年级的学生A．100人 B．60人 C．80人 D．20人5．已知随机变量服从正态分布,且,则()A． B． C． D．6．从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率（）A．小 B．大 C．相等 D．大小不能确定7．设.若函数，的定义域是.则下列说法错误的是（）A．若，都是增函数，则函数为增函数B．若，都是减函数，则函数为减函数C．若，都是奇函数，则函数为奇函数D．若，都是偶函数，则函数为偶函数8．已知集合，，若，则等于（）A．1 B．2 C．3 D．49．已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是A． B． C． D．10．若过点可作两条不同直线与曲线段C：相切，则m的取值范围是（）A． B． C． D．11．已知圆柱的轴截面的周长为，则圆柱体积的最大值为（）A． B． C． D．12．若向量，，则向量与（）A．相交 B．垂直 C．平行 D．以上都不对二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数的定义域为，导函数在内的图像如图所示，则函数在内有________个极大值点。14．椭圆（为参数）的焦距为________.15．连续3次抛掷一枚质地均匀的硬币，在至少有一次出现正面向上的条件下，恰有一次出现反面向上的概率为．16．若点的柱坐标为，则点的直角坐标为______；三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设点是抛物线上异于原点的一点，过点作斜率为、的两条直线分别交于、两点（、、三点互不相同）．（1）已知点，求的最小值；（2）若，直线的斜率是，求的值；（3）若，当时，点的纵坐标的取值范围．18．（12分）已知函数.（1）若在处的切线与轴平行，求的值；（2）当时，求的单调区间.19．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程:在直角坐标系中，曲线（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程；（2）已知点，直线的极坐标方程为，它与曲线的交点为，，与曲线的交点为，求的面积.20．（12分）已知sinα=-817且π<α<3π2，求sin21．（12分）已知是虚数单位，复数，复数的共轭复数.（1）若，求实数的值；（2）若是纯虚数，求.22．（10分）以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且在两种坐标系中取相同的长度单位.曲线的极坐标方程是.（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线与轴正半轴及轴正半轴交于点，在第一象限内曲线上任取一点，求四边形面积的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

用反证法证明，假设同时大于，推出矛盾得出结果【题目详解】假设，，，三式相乘得，由，所以，同理，，则与矛盾，即假设不成立，所以不能同时大于，所以至少有一个不大于，故选【题目点拨】本题考查的是用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，在此基础上推出矛盾，是解题的关键，同时还运用了基本不等式，本题较为综合2、C【解题分析】

原命题为特称命题，则其否定为全称命题，即可得到答案【题目详解】∵命题p：∃x0∴¬p：∀x>0，总有(x+2)故选C【题目点拨】本题主要考查的是命题及其关系，命题的否定是对命题结论的否定，属于基础题．3、C【解题分析】

利用二项式系数之和为64解得，再利用二项式定理得到常数项.【题目详解】二项式的展开式中二项式系数之和为64当时，系数为15故答案选C【题目点拨】本题考查了二项式定理，先计算出是解题的关键，意在考查学生的计算能力.4、C【解题分析】

要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本,

则应抽二年级的学生人数为:

(人).

故答案为80.5、B【解题分析】

先计算出，由正态密度曲线的对称性得出，于是得出可得出答案．【题目详解】由题可知，，由于，所以，，因此，，故选B.【题目点拨】本题考查正态分布在指定区间上的概率，考查正态密度曲线的对称性，解题时要注意正态密度曲线的对称轴，利用对称性来计算，考查运算求解能力，属于基础题．6、B【解题分析】试题分析：四种不同的玻璃球，可设为，随意一次倒出一粒的情况有4种，倒出二粒的情况有6种，倒出3粒的情况有4种，倒出4粒的情况有1种，那么倒出奇数粒的有8种，倒出偶数粒的情况有7种，故倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率大.考点：古典概型.7、C【解题分析】

根据题意得出，据此依次分析选项，综合即可得出答案．【题目详解】根据题意可知，，则，据此依次分析选项：对于A选项，若函数、都是增函数，可得图象均为上升，则函数为增函数，A选项正确；对于B选项，若函数、都是减函数，可得它们的图象都是下降的，则函数为减函数，B选项正确；对于C选项，若函数、都是奇函数，则函数不一定是奇函数，如，，可得函数不关于原点对称，C选项错误；对于D选项，若函数、都是偶函数，可得它们的图象都关于轴对称，则函数为偶函数，D选项正确．故选C．【题目点拨】本题考查分段函数的奇偶性与单调性的判定，解题时要理解题中函数的定义，考查判断这些基本性质时，可以从定义出发来理解，也可以借助图象来理解，考查分析问题的能力，属于难题．8、D【解题分析】

由已知可得，则.【题目详解】由，得或又由，得，则，即故选：D【题目点拨】本题考查了集合的并集运算，属于基础题.9、C【解题分析】试题分析：当时，，函数有两个零点和，不满足题意，舍去；当时，，令，得或．时，；时，；时，，且，此时在必有零点，故不满足题意，舍去；当时，时，；时，；时，，且，要使得存在唯一的零点，且，只需，即，则，选C．考点：1、函数的零点；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数判断函数的单调性．10、D【解题分析】

设切点为，写出切线方程为，把代入，关于的方程在上有两个不等实根，由方程根的分布知识可求解.【题目详解】设切点为，,则切线方程为，在切线上，可得，函数在上递增，在上递减，，又，，∴如果有两解，则.故选：D.【题目点拨】本题考查导数的几何意义，考查方程根的分布问题。由方程根的个数确定参数取值范围，可采用分离参数法，转化为直线与函数图象交点个数问题。11、B【解题分析】

分析:设圆柱的底面半径为r，高为h，则4r+2h=12，即2r+h=6，利用基本不等式，可求圆柱体积的最大值．详解:设圆柱的底面半径为r，高为h，则4r+2h=12，即2r+h=6，∴2r+h=r+r+h≥3，∴r2h≤∴V=πr2h≤8π，∴圆柱体积的最大值为8π，点睛:(1)本题主要考查圆柱的体积和基本不等式,意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，三者缺一不可.12、C【解题分析】

根据向量平行的坐标关系得解.【题目详解】，所以向量与平行.【题目点拨】本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

先记导函数与轴交点依次是，且；根据导函数图像，确定函数单调性，进而可得出结果.【题目详解】记导函数与轴交点依次是，且；由导函数图像可得：当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；所以，当或，原函数取得极大值，即极大值点有两个.故答案为2【题目点拨】本题主要考查导函数与原函数间的关系，熟记导数的方法研究函数单调性与极值即可，属于常考题型.14、1【解题分析】

根据题意，将椭圆的参数方程变形为普通方程，据此可得a、b的值，计算可得c的值，由椭圆的几何性质分析可得答案．【题目详解】解：根据题意，椭圆的参数方程为（θ为参数），则其标准方程为y1＝1，其中a，b＝1，则c1，则椭圆的焦距1c＝1；故答案为：1．【题目点拨】本题考查椭圆的参数方程，椭圆简单的几何性质，关键是将椭圆的参数方程变形为普通方程．15、【解题分析】试题分析：至少有一次正面向上的概率为，恰有一次出现反面向上的概率为，那么满足题意的概率为．考点：古典概型与排列组合．16、【解题分析】

由柱坐标转化公式求得直角坐标。【题目详解】由柱坐标可知，所以，所以直角坐标为。所以填。【题目点拨】空间点P的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换公式为。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）（3）或【解题分析】

（1）因为,设,则,由两点间距离公式可求得:,即可得出的最小值;（2）因为,所以,设的直线方程:,将与联立方程组,消掉,通过韦达定理,将点坐标用表示同理可得到坐标.即可求得直线的斜率是,进而求得答案;（3）因为,故.、两点抛物线上,可得,,即可求得向量和.由,可得到关于和方程,将方程可以看作关于的一元二次方程,因为且,,故此方程有实根,,即可求得点的纵坐标的取值范围.【题目详解】（1）在,设,则由两点间距离公式可求得:令,(当即取等号)的最小值.（2）,,故则的直线方程:将与联立方程组,消掉则:,得:化简为:.由韦达定理可得:解得:,可得:,故同理可得:直线的斜率是故:即的值为.（3）,,故,在、两点抛物线上,,,故整理可得:、、三点互不相同,故:,可得:即:此方程可以看作关于的一元二次方程,且,,故此方程有两个不相等的实根:即故:解得:或点的纵坐标的取值范围:或.【题目点拨】在求圆锥曲线与直线交点问题时,通常用直线和圆锥曲线联立方程组,通过韦达定理建立起直线的斜率与交点横坐标的关系式.将直线与抛物线恒有交点问题,转化成求解一元二次方程有实根问题,是解本题的关键.18、（1）（2）函数在上递增，在上递减【解题分析】

（1）求导数，将代入导函数，值为0，解得.（2）当时，代入函数求导，根据导数的正负确定函数单调性.【题目详解】解：（1）函数的定义域为又，依题有，解得．（2）当时，，令，解得，（舍）当时，，递增，时，，递减；所以函数在上递增，在上递减．【题目点拨】本题考查了函数的切线，函数的单调性，意在考查学生的计算能力.19、（1）（2）【解题分析】

（1）首先把参数方程转化为普通方程，利用普通方程与极坐标方程互化的公式即可得到曲线的极坐标方程；（2）分别联立与的极坐标方程、与的极坐标方程，得到、两点的极坐标，即可求出的长，再计算出到直线的距离，由此即可得到的面积．【题目详解】解：（1），其普通方程为，化为极坐标方程为（2）联立与的极坐标方程：，解得点极坐标为联立与的极坐标方程：，解得点极坐标为，所以，又点到直线的距离，故的面积.【题目点拨】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化，利用极径的几何意义求三角形面积是解题的关键，属于中档题．20、sinα2=417【解题分析】

先利用同角三角函数的基本关系计算出cosα的值，并计算出α2的取值范围，然后利用半角公式计算出sinα2和cos【题目详解】∵sinα=-817，又π2<αcosα2=-【题目点拨】本题考查利用半角公式求值，同时也考查了利用同角三角函数的基本关系，在利用同角三角函数的基本关系时，要考查角的范围，确定所求三角函数值的符号，再结合相关公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.21、（1）4；（2）.【解题分析】

（1）先求出，再根据，求出实数的值；（2）由已知得，再根据是纯虚数求出a的值即得解.【题目详解】（1）由已知得（2）由已知得是纯虚数，,解得，.【题目点拨】本题主要考查复数的计算和复数的概念，考查复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌