黑龙江省肇东一中2024届数学高二第二学期期末达标检测模拟试题含解析

黑龙江省肇东一中2024届数学高二第二学期期末达标检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知为正整数用数学归纳法证明时，假设时命题为真，即成立，则当时，需要用到的与之间的关系式是()A． B．C． D．2．已知f(x-1x)=A．f(x+1)=(x+1)2C．f(x+1)=(x+1)23．由直线，曲线以及轴所围成的封闭图形的面积是（）A． B． C． D．4．直线的倾斜角为（）A． B． C． D．5．已知函数是定义在上的偶函数，且，若函数有6个零点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．6．箱子中有标号为1，2，3，4，5，6且大小、形状完全相同的6个球，从箱子中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．若有4人参与摸奖，则恰好有3人获奖的概率为()A．16625 B．96625 C．6247．已知集合，，则（）A． B． C． D．8．设，向量，若，则等于()A． B． C．－4 D．49．在一次投篮训练中，某队员连续投篮两次.设命题是“第一次投中”，是“第二次投中”，则命题“两次都没有投中目标”可表示为A． B． C． D．10．已知ξ服从正态分布，a∈R，则“P（ξ＞a）=0.5”是“关于x的二项式的展开式的常数项为3”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分又不必要条件 D．充要条件11．已知函数，若关于的方程有5个不同的实数解，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A． B． C．48 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同．则双曲线的方程为．14．曲线在（其中为自然对数的底数）处的切线方程为______．15．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是．16．已知集合，，则_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）讨论函数在上的单调性；（2）当时，若时，求证：.18．（12分）已知正项数列中，且（1）分别计算出的值，然后猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想.19．（12分）已知函数，.（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，若函数在上有两个不同的零点，求的取值范围.20．（12分）在中，已知.（1）求角的余弦值；（2）若，边上的中线，求的面积.21．（12分）已知函数,．（Ⅰ）求函数的单调减区间；（Ⅱ）证明:；（Ⅲ）当时，恒成立，求实数的值.22．（10分）某校在本校任选了一个班级，对全班50名学生进行了作业量的调查，根据调查结果统计后，得到如下的列联表，已知在这50人中随机抽取2人，这2人都“认为作业量大”的概率为.认为作业量大认为作业量不大合计男生18女生17合计50（1）请完成上面的列联表；（2）根据列联表的数据，能否有的把握认为“认为作业量大”与“性别”有关？附表：0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828附：（其中）

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】分析：先根据条件确定式子，再与相减得结果.详解：因为，所以，所以,选C.点睛：本题考查数学归纳法，考查数列递推关系.2、C【解题分析】

将等式变形为fx-1xfx+1【题目详解】∵x-1x∵fx-1x因此，fx+1=【题目点拨】本题考查函数的解析式，属于中等题，求函数解析式常见题型由以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意换元后参数的范围；（3）待定系数法求解析式，这种方法既适合已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法适合求自变量互为倒数或相反数的函数解析式．3、C【解题分析】

作出图象，确定被积函数以及被积区间，再利用定积分公式可计算出所围成封闭图形的面积。【题目详解】如下图所示，联立，得，则直线与曲线交于点，结合图形可知，所求区域的面积为，故选：C。【题目点拨】本题考查利用定积分求曲边多边形区域的面积，确定被积函数与被积区间是解这类问题的关键，考查计算能力与数形结合思想，属于中等题。4、B【解题分析】试题分析：记直线的倾斜角为，∴，故选B.考点：直线的倾斜角.5、D【解题分析】

函数F（x）=f（x）﹣m有六个零点等价于当x>0时，函数F（x）=f（x）﹣m有三个零点，即可即m=f（x）有3个不同的解，求出在每一段上的f（x）的值域，即可求出m的范围．【题目详解】函数f（x）是定义在R上的偶函数，函数F（x）=f（x）﹣m有六个零点，则当x>0时，函数F（x）=f（x）﹣m有三个零点，令F（x）=f（x）﹣m=0，即m=f（x），①当0<x＜2时，f（x）=x﹣x2=﹣（x﹣）2+，当x=时有最大值，即为f（）=，且f（x）＞f（2）=2﹣4=﹣2，故f（x）在[0，2）上的值域为（﹣2，]，②当x≥2时，f（x）=＜0，且当x→+∞，f（x）→0，∵f′（x）=，令f′（x）==0，解得x=3，当2≤x＜3时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x≥3时，f′（x）≥0，f（x）单调递增，∴f（x）min=f（3）=﹣，故f（x）在[2，+∞）上的值域为[﹣，0），∵﹣＞﹣2，∴当﹣＜m＜0时，当x>0时，函数F（x）=f（x）﹣m有三个零点，故当﹣＜m＜0时，函数F（x）=f（x）﹣m有六个零点，当x=0时,函数有5个零点．故选D.【题目点拨】(1)本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答函数的零点问题常用的有方程法、图像法和方程+图像法.本题利用的就是方程+图像法.6、B【解题分析】获奖的概率为p=6C62=25，记获奖的人数为ξ，ξ~B(4,7、A【解题分析】分析：根据题意，求得集合，再利用集合的运算，即可求解．详解：由题意，，所以，故选A．点睛：本题主要考查了集合的运算问题，其中正确求解集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．8、D【解题分析】

直接利用向量垂直的充要条件列方程求解即可.【题目详解】因为，且，所以，化为，解得，故选D.【题目点拨】利用向量的位置关系求参数是命题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.9、D【解题分析】分析：结合课本知识点命题的否定和“且”联结的命题表示来解答详解：命题是“第一次投中”，则命题是“第一次没投中”同理可得命题是“第二次没投中”则命题“两次都没有投中目标”可表示为故选点睛：本题主要考查了，以及的概念，并理解为真时，，中至少有一个为真。10、A【解题分析】试题分析：由，知．因为二项式展开式的通项公式为＝，令，得，所以其常数项为，解得，所以“”是“关于的二项式的展开式的常数项为3”的充分不必要条件，故选A．考点：1、正态分布；2、二项式定理；3、充分条件与必要条件．11、C【解题分析】

利用导数研究函数y=的单调性并求得最值，求解方程2[f（x）]2+（1﹣2m）f（x）﹣m=1得到f（x）=m或f（x）=．画出函数图象，数形结合得答案．【题目详解】设y=，则y′=，由y′=1，解得x=e，当x∈（1，e）时，y′＞1，函数为增函数，当x∈（e，+∞）时，y′＜1，函数为减函数．∴当x=e时，函数取得极大值也是最大值为f（e）=．方程2[f（x）]2+（1﹣2m）f（x）﹣m=1化为[f（x）﹣m][2f（x）+1]=1．解得f（x）=m或f（x）=．如图画出函数图象：可得m的取值范围是（1，）．故答案为：C．【题目点拨】（1）本题主要考查利用导数求函数的单调性，考查函数图像和性质的综合运用，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理转化能力.(2)本题的解答关键有两点，其一是利用导数准确画出函数的图像，其二是化简得到f（x）=m或f（x）=．12、B【解题分析】

由三视图可得几何体是如图所示四棱锥，根据三视图数据计算表面积即可.【题目详解】由三视图可得几何体是如图所示四棱锥，则该几何体的表面积为：.故选：B【题目点拨】本题主要考查了三视图，空间几何体的表面积计算，考查了学生的直观想象能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】解：由已知得，14、【解题分析】

求出原函数的导函数，得到（e），再求出（e）的值，则由直线方程的点斜式可得切线方程．【题目详解】由，得，（e）．即曲线在点，（e）处的切线的斜率为2，又（e）．曲线在点，（e）处的切线方程为，即．故答案为：【题目点拨】本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，曲线上过某点的切线的斜率，就是该点处的导数值．15、【解题分析】试题分析：由题意得考点：命题真假【方法点睛】(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M中的一个特殊值x0，使p(x0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则就是假命题.16、【解题分析】

集合，是数集，集合的交集运算求出公共部分.【题目详解】，，故答案为：【题目点拨】本题考查集合交集运算.交集运算口诀：“越交越少，公共部分”.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析.【解题分析】

（1）对求导后讨论的范围来判断单调性；（2）构造函数，借助得到，设，使得，设，根据该函数性质即可证明【题目详解】（1）由题意可知，，，（i）当时，恒成立，所以函数在上单调递增；（ii）当时，令，得，①当，即时，在上恒成立，所以函数在上单调递减；②当，即时，在上，，函数在上单调递增；在上，，函数在上单调递减.综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（2）证明：令，由题意可得，不妨设.所以，于是.令，，则，，.令，则，在上单调递增，因为，所以，且，所以，即.【题目点拨】本题考察（1）用分类讨论的方法判断函数单调性；（2）多变量不等式要先化为单变量不等式，利用综合法证明猜想18、（1）；；（2）见解析.【解题分析】

（1）逐个计算计算出的值，再通过观察可猜。（2）先检验n=1满足，再假设时（*）式成立，即，下证即可证明。【题目详解】（1）令得化简得，解得或.令得化简得，解得或令得化简得，解得或猜想（*）.①当时，，（*）式成立；②假设时（*）式成立，即，那么当时，化简得所以当时，（*）式也成立.综上：由①②得当时，【题目点拨】本题考查归纳-猜想-证明，这一常见思维方式，而与自然数相关的结论证明我们常用数学归纳法。19、（Ⅰ）单调递减区间为，单调递增区间为；（Ⅱ）.【解题分析】

（Ⅰ）将代入函数的解析式，求出该函数的定义域与导数，解不等式和并与定义域取交集可分别得出该函数的单调递减区间和递增区间；（Ⅱ）求出函数的导数，分析函数在区间上的单调性，由题中条件得出，于此可解出实数的取值范围。【题目详解】（Ⅰ）函数的定义域为，当时，，，令，即，解得，令，即，解得，∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（Ⅱ），，由得，，当时，，当时，，∴函数在上单调递减，在上单调递增，∵，，∴函数在上有两个不同的零点，只需，解得，∴的取值范围为.【题目点拨】本题考查利用导数求函数的单调区间，利用导数研究函数的零点个数问题，解题时常用导数研究函数的单调性、极值与最值，将零点个数转化为函数极值与最值的符号问题，若函数中含有单参数问题，可利用参变量分离思想求解，考查化归与转化思想，属于中等题。20、(1)(2)1【解题分析】

（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，根据同角三角函数基本关系式可求的值．（2）由已知，两边平方，利用平面向量的运算可求CA的值，根据三角形的面积公式即可求解．【题目详解】（1）因为，所以，即，由三角函数的基本关系式，可得，解得．（2）因为，所以,所以，解得．所以．【题目点拨】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，平面向量的运算，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．21、(1)f(x)的单调递减区间是.(2)证明见解析.(3).【解题分析】

(Ⅰ)求导，由，即可得到函数的单调减区间；(Ⅱ)记h(x)＝f(x)g(x),设法证明，即可证明.(Ⅲ)由题即，易证,当时取到等号，由得,由此