2024届广西壮族自治区南宁市二中数学高二下期末质量检测试题含解析

2024届广西壮族自治区南宁市二中数学高二下期末质量检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．圆截直线所得的弦长为，则（）A． B． C． D．22．某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．3．设是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则以下结论错误的是（）A．若，，则B．若，则C．若，则D．若，则4．已知实数满足条件，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．5．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A． B． C． D．6．设非零向量满足，，则向量间的夹角为()A．150° B．60°C．120° D．30°7．已知函数的图象关于直线对称，当时，，若，，，则的大小关系是A． B． C． D．8．已知为正整数用数学归纳法证明时，假设时命题为真，即成立，则当时，需要用到的与之间的关系式是()A． B．C． D．9．函数在区间上的最大值是2，则常数（）A．-2 B．0 C．2 D．410．若函数有三个零点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．11．在中，，，，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若，则A．1 B． C． D．12．已知曲线：经过点，则的最小值为（）A．10 B．9 C．6 D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．下表提供了某学生做题数量x（道）与做题时间y（分钟）的几组对应数据：x（道）3456y（分钟）2.5t44.5根据上表提供的数据，得y关于x的线性回归方程为则表中t的值为_____．14．已知集合，且下列三个关系：有且只有一个正确，则函数的值域是_______．15．若复数满足（为虚数单位），则的共轭复数__________．16．设函数图象在处的切线方程是，则函数的图象在处的切线方程是__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四边形中，，，四边形为矩形，且平面，.（1）求证：平面；（2）点在线段上运动，当点在什么位置时，平面与平面所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.18．（12分）某园林基地培育了一种新观赏植物，经过了一年的生长发育，技术人员从中抽取了部分植株的高度(单位:厘米)作为样本(样本容量为)进行统计，按分组做出频率分布直方图，并作出样本高度的茎叶图(图中仅列出了高度在的数据).（1）求样本容量和频率分布直方图中的（2）在选取的样本中,从高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中随机抽取3株,设随机变量表示所抽取的3株高度在内的株数,求随机变量的分布列及数学期望.19．（12分）已知函数.（1）设是的极值点，求的单调区间；（2）当时，求证：.20．（12分）如图，在棱长为的正方体中，，，分别是棱、和所在直线上的动点：（1）求的取值范围：（2）若为面内的一点，且，，求的余弦值：（3）若、分别是所在正方形棱的中点，试问在棱上能否找到一点，使平面?若能，试确定点的位置，若不能，请说明理由.21．（12分）为了纪念国庆70周年,学校决定举办班级黑板报主题设计大赛,高二某班的同学将班级长米、宽米的黑板做如图所示的区域划分:取中点,连接,以为对称轴,过两点作一抛物线弧,在抛物线弧上取一点,作垂足为,作交于点.在四边形内设计主题,其余区域用于文字排版,设的长度为米.(1)求长度的表达式,并写出定义域；(2)设四边形面积为,求当为何值时,取最大值,最大为多少平方米?22．（10分）在棱长为的正方体中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1E＝λEO.（1）若λ=1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值;（2）若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

将圆的方程化为标准方程,结合垂径定理及圆心到直线的距离,即可求得的值.【题目详解】圆,即则由垂径定理可得点到直线距离为根据点到直线距离公式可知,化简可得解得故选:A【题目点拨】本题考查了圆的普通方程与标准方程的转化,垂径定理及点到直线距离公式的应用,属于基础题.2、C【解题分析】

根据三视图可知几何体为三棱锥，根据三棱锥体积公式直接求得结果.【题目详解】由三视图可知，几何体为高为的三棱锥三棱锥体积：本题正确选项：【题目点拨】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够根据三视图确定几何体的底面积和高，属于基础题.3、C【解题分析】试题分析：选项A可由面面平行的性质可以得到；B选项，可由线面平行的性质定理和判定定理，通过论证即可得到；C选项，，缺少条件和相交，故不能证明面面平行，C错误；D选项，，过作平面，，由线面平行的性质可得，，，.D正确.考点：直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系.4、D【解题分析】

如图所示，画出可行域和目标函数，根据平移得到答案.【题目详解】如图所示，画出可行域和目标函数，，则，表示直线轴截距的相反数，根据图像知：当直线过，即，时有最小值为；当直线过，即时有最大值为，故.故选：.【题目点拨】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.5、C【解题分析】

求得抛物线的焦点，双曲线的渐近线，再由点到直线的距离公式求出结果.【题目详解】依题意，抛物线的焦点为，双曲线的渐近线为，其中一条为，由点到直线的距离公式得.故选C.【题目点拨】本小题主要考查抛物线的焦点坐标，考查双曲线的渐近线方程，考查点到直线的距离公式，属于基础题.6、C【解题分析】

利用平方运算得到夹角和模长的关系，从而求得夹角的余弦值，进而得到夹角.【题目详解】即本题正确选项：【题目点拨】本题考查向量夹角的求解，关键是利用平方运算和数量积运算将问题变为模长之间的关系，求得夹角的余弦值，从而得到所求角.7、D【解题分析】函数的图象关于直线对称,所以为偶函数，当时，，函数单增，;，,因为,且函数单增，故,即，故选D.8、C【解题分析】分析：先根据条件确定式子，再与相减得结果.详解：因为，所以，所以,选C.点睛：本题考查数学归纳法，考查数列递推关系.9、C【解题分析】分析：求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值是，则值可求．详解：令，解得：或，

令，解得：

∴在递增，在递减，，

故答案为：2点睛：本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了导数的综合应用，属于基础题．10、A【解题分析】

令分离常数，构造函数，利用导数研究的单调性和极值，结合与有三个交点，求得的取值范围.【题目详解】方程可化为，令，有，令可知函数的增区间为，减区间为、，则，，当时，，则若函数有3个零点，实数的取值范围为．故选A.【题目点拨】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.11、D【解题分析】

通过解直角三角形得到，利用向量的三角形法则及向量共线的充要条件表示出利用向量共线的充要条件表示出，根据平面向量就不定理求出，值．【题目详解】在中，又所以为AD的中点故选D．【题目点拨】本题考查解三角形、向量的三角形法则、向量共线的充要条件、平面向量的基本定理．12、B【解题分析】

曲线过点得，所以展开利用均值不等式可求最小值.【题目详解】由曲线：经过点得.所以当且仅当，即时取等号.故选：B【题目点拨】本题考查利用均值不等式求满足条件的最值问题，特殊数值1的特殊处理方法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解题分析】

现求出样本的中心点，再代入回归直线的方程，即可求得的值.【题目详解】由题意可得，因为对的回归直线方程是，所以，解得.【题目点拨】本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答的关键是利用回归直线方程恒过样本中心点，代入求解，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.14、【解题分析】分析：根据集合相等的条件，列出a、b、c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a，b，c的值，结合的最值即可求出函数的值域．详解：由{a，b，c}={2，3，4}得，a、b、c的取值有以下情况：当a=2时，b=3、c=4时，a≠3，b=3，c≠4都正确，不满足条件．当a=2时，b=4、c=3时，a≠3成立，c≠4成立，此时不满足题意；当a=3时，b=2、c=4时，都不正确，此时不满足题意；当a=3时，b=4、c=2时，c≠4成立，此时满足题意；当a=4时，b=2，c=3时，a≠3，c≠4成立，此时不满足题意；当a=4时，b=3、c=2时，a≠3，b=3成立，此时不满足题意；综上得，a=3、b=4、c=2，则函数=，当x＞4时，f（x）=2x＞24=16，当x≤4时，f（x）=（x﹣2）2+3≥3，综上f（x）≥3，即函数的值域为[3，+∞），故答案为[3，+∞）．点睛：本题主要考查函数的值域的计算，根据集合相等关系以及命题的真假条件求出a，b，c的值是解决本题的关键．15、【解题分析】

先由复数的除法运算，求出复数，进而可得出其共轭复数.【题目详解】因为，所以，因此其共轭复数为故答案为【题目点拨】本题主要考查复数的运算，以及共轭复数，熟记运算法则与共轭复数的概念即可，属于基础题型.16、【解题分析】分析：先根据导数几何意义得，再根据点斜式求切线方程.详解：因为函数图象在处的切线方程是，，所以,因此函数的图象在处的切线斜率等于，切线方程是.点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）【解题分析】

试题分析：（Ⅰ）在梯形中，设，题意求得,再由余弦定理求得,满足,得则.再由平面得，由线面垂直的判定可.进一步得到丄平面;（Ⅱ）分别以直线为:轴，轴轴建立如图所示的空间直角坐标系，设,令得到的坐标，求出平面的一法向量.由题意可得平面的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得当时，有最小值为,此时点与点重合.试题解析：（Ⅰ）证明：在梯形中，∵,设，又∵,∴,∴∴.则.∵平面,平面，∴,而,∴平面.∵,∴平面.（Ⅱ）解：分别以直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，令，则，∴设为平面的一个法向量，由得，取，则，∵是平面的一个法向量，∴∵，∴当时，有最小值为，∴点与点重合时，平面与平面所成二面角最大，此时二面角的余弦值为.18、（1）；（2）.【解题分析】分析：（1）由题得，再利用频率和为1求x的值.(2)先求出的可能取值为1,2,3，再求其对应的概率，再列分布列求期望.详解：(1)由题意可知，样本容量.(2)由题意可知，高度在[80,90)内的株数为5，高度在[90,100]内的株数为2，共7株.抽取的3株中高度在[80,90)内的株数的可能取值为1,2,3，则,123故点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图中的频数频率等的计算，考查离散型随机变量的分布列和期望，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力计算能力.(2)……为的均值或数学期望，简称期望，求期望的关键是求随机变量的概率.19、（1）在上减，上增；（2）证明见解析.【解题分析】

（1）求出函数的定义域以及导函数，由是的极值点可求出，即，对导函数再次求导，判断导函数在上单调递增，由，进而可求出函数的单调区间.（2）由，进而可得，记，研究函数的单调性，求出的最小值，进而可得证.【题目详解】（1）解：的定义域为，，由，所以，又因为，所以在上单调递增，注意到，所以在上减，上增.（2）由，所以,记，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以是的最小值点，，故.【题目点拨】本题考查了导函数的研究函数的单调性以及最值中的应用，需掌握极值点的定义，属于中档题.20、（1）；（2）；（3）点M为的中点，理由见解析【解题分析】

（1）设，求出，利用余弦定理求解，然后求出的取值范围．

（2）设在，三边上的投影分别是，转化求出，即可得到它的余弦值．

（3）设与的交点为，连接，说明平面，过作于K，延长后交所在的直线于点M，则BM⊥平面．通过，求解即可．【题目详解】解：（1）设，则，

所以，

的取值范围为；

（2）解：设在，三边上的投影分别是，，，

则由于，．

，

，即，它的余弦值为

（3）解：设与的交点为．连接，则由以及，知平面，

于是面面，在面内过作于K，延长后交所在的直线于点M，则BM⊥平面，

在平面内，由，

知，又，∴．

这说明点M为的中点．【题目点拨】本题考查空间点线面距离的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力．21、(1)(2)当时，四边形面积取得最大值为【解题分析】

（1）建立平面直角坐标系求出对应点的坐标，利用待定系数法求出抛物线方程，进行求解即可；（2）构造函数，求出函数的导数，利用函数最值极值和导数之间的关系求最值即可.【题目详解】⑴以为坐标原点，以所在的直线为轴，轴建立平面直角坐标系.所以,所以直线为因为抛物线是以为对称轴，设抛物线的方程为，因为点在抛物线上，所以，所以因为