2024届内蒙古土默特左旗第一中学高二数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析

2024届内蒙古土默特左旗第一中学高二数学第二学期期末质量跟踪监视模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若随机变量，且，则等于（）A． B． C． D．2．若抛物线,过其焦点的直线与抛物线交于两点,则的最小值为()A．6 B． C．9 D．3．已知集合A={x|x2-6x+5≤0},B={x|y=A．1，2 B．1，24．已知，函数的零点分别为，函数的零点分别为，则的最小值为（）A．1 B． C． D．35．转化为弧度数为（）A． B． C． D．6．函数的零点所在的区间是（）A． B． C． D．7．若是关于x的实系数方程的一个虚数根，则（）A．， B．， C．， D．，8．已知，若的展开式中各项系数之和为，则展开式中常数项为（）A． B． C． D．9．已知直线、经过圆的圆心，则的最小值是A．9 B．8 C．4 D．210．正方体中，点在上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是（）A． B． C． D．11．已知集合，现从这两个集合中各取出一个元素组成一个新的双元素集合，则可以组成这样的新集合的个数为（）A． B． C． D．12．四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.在某学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》、《西游记》（每种名著至少有5本），若每人只借阅一本名著，则不同的借阅方案种数为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．甲乙两人组队参加猜谜语大赛，比赛共两轮，每轮比赛甲乙两人各猜一个谜语，已知甲猜对每个谜语的概率为，乙猜对每个谜语的概率为，甲、乙在猜谜语这件事上互不影响，则比赛结束时，甲乙两人合起来共猜对三个谜语的概率为__________14．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是．15．过原点作一条倾斜角为的直线与椭圆交于、两点，为椭圆的左焦点，若，且该椭圆的离心率，则的取值范围为__________．16．随机变量X服从于正态分布N（2，σ2）若P（X≤0）＝a，则P（2＜X＜4）＝_____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数，.（Ⅰ）求的单调区间和极值；（Ⅱ）若关于的方程有3个不同实根，求实数的取值范围．18．（12分）某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响，随机选取100名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试.测试的方案：电脑模拟驾驶，以某速度匀速行驶，记录下驾驶员的“停车距离”（驾驶员从看到意外情况到车子完全停下所需要的距离）.无酒状态与酒后状态下的试验数据分别列于表1和表2.停车距离d（米）频数26402482表1平均每毫升血液酒精含量x毫克平均停车距离y米表2统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值例如区间的中点值为1.5)作为代表；（1）根据最小二乘法，由表2的数据计算y关于x的回归方程；（2）该测试团队认为：驾驶员酒后驾车的平均“停车距离”y大于无酒状态下（表1）的停车距离平均数的3倍，则认定驾驶员是“醉驾”.请根据（1）中的回归方程，预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”？回归方程中..19．（12分）已知全集，集合，.（1）若，求；（2）若，求的取值范围.20．（12分）（1）化简求值：（2）化简求值：+21．（12分）(本小题满分12分)某校为了解高一期末数学考试的情况，从高一的所有学生数学试卷中随机抽取份试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在，的学生人数为1．频率/组距频率/组距0.0120.0160.018分8060507090100x0.024（Ⅰ）求直方图中的值；（Ⅱ）试估计所抽取的数学成绩的平均数；（Ⅲ）试根据样本估计“该校高一学生期末数学考试成绩”的概率．22．（10分）已知函数.(1)当时，若在上恒成立，求的取值范围；(2)当时，证明：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

由正态密度曲线的对称性得出，由此可得出结果.【题目详解】由于，则正态密度曲线关于直线对称，所以，故选A.【题目点拨】本题考查正态分布在指定区间上概率的计算，解题时要确定正态密度曲线的对称轴，利用对称性列等式计算，考查计算能力，属于中等题.2、B【解题分析】分析：设直线方程为，联立方程组得出A，B两点坐标的关系，根据抛物线的性质得出关于A，B两点坐标的式子，使用基本不等式得出最小值.详解：抛物线的焦点，设直线方程为，联立方程组，得，设，则，，由抛物线的性质得，.故选：B.点睛：本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题.3、C【解题分析】

由题意，集合A={x|1≤x≤5}，B={x|x>2}，再根据集合的运算，即可求解.【题目详解】由题意，集合A={x2-6x+5≤0}={x|1≤x≤5}所以A∩B={x|2<x≤5}=(2,5]，故选C.【题目点拨】本题主要考查了对数函数的性质，以及不等式求解和集合的运算问题，其中解答中正确求解集合A,B，再根据集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4、B【解题分析】试题分析：由题知，，，，.，又故选B．考点：1、函数的零点；2、指数运算；3、函数的最值.5、D【解题分析】已知180°对应弧度，则转化为弧度数为.本题选择D选项.6、B【解题分析】分析：根据基本初等函数的性质，确定函数在上是增函数，且满足，，结合函数的零点判定定理可得函数的零点所在的区间.详解：由基本初等函数可知与均为在上是增函数，所以在上是增函数，又，根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间是.故选B.点睛：本题主要考查求函数的值，函数零点的判定定理，属于基础题.7、D【解题分析】

利用实系数一元二次的虚根成对原理、根与系数的关系即可得出．【题目详解】解：∵1i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0的一个复数根，∴1i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0的一个复数根，∴，解得b＝﹣2，c＝1．故选：D．【题目点拨】本题考查了实系数一元二次的虚根成对原理、根与系数的关系，属于基础题．8、B【解题分析】

通过各项系数和为1，令可求出a值，于是可得答案.【题目详解】根据题意，在中，令，则，而，故，所以展开式中常数项为，故答案为B.【题目点拨】本题主要考查二项式定理，注意各项系数之和和二项式系数和之间的区别，意在考查学生的计算能力，难度不大.9、A【解题分析】

由圆的一般方程得圆的标准方程为，所以圆心坐标为，由直线过圆心，将圆心坐标代入得，所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以最小值为1【题目详解】圆化成标准方程，得，圆的圆心为，半径．直线经过圆心C，，即，因此，，、，，当且仅当时等号成立．由此可得当，即且时，的最小值为1．故选A．【题目点拨】若圆的一般方程为，则圆心坐标为，半径10、D【解题分析】以点D为原点，DA、DC、分别为建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，设点P坐标为，则设的夹角为，所以，所以当时，取最大值．当时，取最小值．因为．故选D．【题目点拨】因为，所以求夹角的取值范围．建立坐标系，用空间向量求夹角余弦，再求最大、最小值．11、C【解题分析】分析：根据解元素的特征可将其分类为：集合中有5和没有5两类进行分析即可.详解：第一类：当集合中无元素5：种，第二类：当集合中有元素5：种，故一共有14种，选C点睛：本题考查了分类分步计数原理，要做到分类不遗漏，分步不重叠是解题关键.12、A【解题分析】

通过分析每人有4种借阅可能，即可得到答案.【题目详解】对于甲来说，有4种借阅可能，同理每人都有4种借阅可能，根据乘法原理，故共有种可能，答案为A.【题目点拨】本题主要考查乘法分步原理，难度不大.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

找到满足题意的所有情况，分别求得每种情况下的概率，由分类计数原理进行加法运算即可.【题目详解】甲乙两人合起来共猜对三个谜语的所有情况包括：甲猜对2个，乙猜对1个和甲猜对1个，乙猜对2个，若甲猜对2个，乙猜对1个，则有=，若甲猜对1个，乙猜对2个，则有，∴比赛结束时，甲乙两人合起来共猜对三个谜语的概率为+.故答案为.【题目点拨】本题考查了相互独立事件的概率的求法，考查了分类计数原理的应用，属于基础题.14、【解题分析】试题分析：由题意得考点：命题真假【方法点睛】(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M中的一个特殊值x0，使p(x0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则就是假命题.15、【解题分析】设右焦点F′，连结AF′，BF′，得四边形AFBF′是正方形，∵AF+AF′=2a，AF+BF=2a，OF=c，∴AB=2c，∵∠BAF=θ，∴AF=2c•cos，BF=2c•sin，∴2csin+2ccos=2a，∵该椭圆的离心率，∴∵θ∈[0，π），∴的取值范围为．点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质．有关椭圆的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造的关系,解决椭圆离心率的相关问题的两种方法：（1）直接求出的值,可得；（2）建立的齐次关系式,将用表示,令两边同除以或化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围．16、【解题分析】

利用正态分布的对称性，求得的值.【题目详解】由条件知,故.【题目点拨】本小题主要考查正态分布在指定区间的概率，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）【解题分析】

（1）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性可求得函数的极值；（2）根据单调性与极值画出函数的大致图象，则关于的方程有三个不同的实根等价于直线与的图象有三个交点，结合图象从而可求出的范围.【题目详解】（1），令，得，或时，；当时，，的单调递增区间和，单调递减区间，当时，有极大值；当时，有极小值.（2）由（1）可知的图象的大致形状及走向如图所示，当时，直线与的图象有三个不同交点，即当时方程有三解.【题目点拨】单本题主要考查利用导数研究函数的调性与极值，以及函数的零点与函数图象交点的关系，属于中档题.函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.18、（1）；（2）当每毫升血液酒精含量大于80毫克时认定为“醉驾”.【解题分析】

（1）计算表格中数据的、，并将表格中的数据代入最小二乘法公式计算出和，于此可得出回归直线方程；（2）在表格中，将每组的数据的中点值乘以相应组的频率，将这些乘积相加后可得出，令，解该不等式可得出的取值范围，于是可对问题作出解答。【题目详解】（1）依题意，可知，，，所以回归直线方程为．（2）停车距离的平均数为当，即时认定驾驶员是“醉驾”，令，得，解得，所以当每毫升血液酒精含量大于80毫克时认定为“醉驾”.【题目点拨】本题考查回归直线的求法、频率分布直方表中平均数的计算，计算回归直线方程，关键准确代入最小二乘法公式，计算量较大，在计算时可以借助表格来简化计算，属于中等题。19、（1）；（2）【解题分析】

（1）分别求出和,再取交集，即可。（2）因为且恒成立，所以，解出即可。【题目详解】解：（1）若，则，所以或，又因为，所以。（2）由（1）得，，又因为，所以，解得。【题目点拨】本题考查了交、补集的混合运算，考查了利用集合间的关系求参数的取值问题，解答此题的关键是对集合端点值的取舍，是基础题．20、(1)1，(2)【解题分析】

（1）利用倍角公式、同角三角函数基本关系式及诱导公式化简求值；（2）利用同角三角函数基本关系式、诱导公式及三角函数的和差化积化简求值．【题目详解】（1）===；（2）+=+==（﹣）==．【题目点拨】