2024届北师大学附中数学高二下期末学业水平测试试题含解析

2024届北师大学附中数学高二下期末学业水平测试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知定义域为的函数满足‘’，当时，单调递减，如果且，则的值（）A．等于0 B．是不等于0的任何实数C．恒大于0 D．恒小于02．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为（）A． B． C． D．3．某校从6名学生干部（其中女生4人，男生2人）中选3人参加学校的汇演活动，在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为（）A． B． C． D．4．如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：①-2是函数的极值点；②是函数的极值点；③在处取得极大值；④函数在区间上单调递增.则正确命题的序号是A．①③ B．②④ C．②③ D．①④5．某食堂一窗口供应2荤3素共5种菜，甲、乙两人每人在该窗口打2种菜，且每人至多打1种荤菜，则两人打菜方法的种数为（）A．64 B．81 C．36 D．1006．甲、乙、丙、丁4个人跑接力赛，则甲乙两人必须相邻的排法有（）A．6种 B．12种 C．18种 D．24种7．已知命题p：∃x0>0，使得(A．∀x≤0，总有(x+2)ex≥1 B．C．∀x>0，总有(x+2)ex≥1 D．8．展开式中的系数为（）A．30 B．15 C．0 D．-159．某家具厂的原材料费支出与销售量（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则为x24568y2535605575A．5 B．10 C．12 D．2010．用反证法证明命题“已知为非零实数，且，，求证中至少有两个为正数”时，要做的假设是（）A．中至少有两个为负数 B．中至多有一个为负数C．中至多有两个为正数 D．中至多有两个为负数11．执行如图的程序框图，若输出的，则输入的整数的最小值是（）A． B． C． D．12．已知是虚数单位，若复数满足，则的虚部为（）A．-1 B． C．1 D．-3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．正六棱柱相邻两个侧面所成的二面角的大小为________14．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是________.15．已知（其中，为自然对数的底数），若在上有三个不同的零点，则的取值范围是________.16．的展开式中的系数是__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）（1）用分析法证明：;（2）如果是不全相等的实数，若成等差数列，用反证法证明：不成等差数列.18．（12分）如图，在多面体中，底面为菱形，底面，.（1）证明：平面；（2）若，，当长为多少时，平面平面.19．（12分）在考察黄烟经过药物处理和发生青花病的关系时，得到如下数据：在试验的470株黄烟中，经过药物处理的黄烟有25株发生青花病，60株没有发生青花病；未经过药物处理的有185株发生青花病，200株没有发生青花病．试推断药物处理跟发生青花病是否有关系．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）《厉害了，我的国》这部电影记录：到2017年底，我国高铁营运里程达2.5万公里，位居世界第一位，超过第二名至第十名的总和，约占世界高铁总量的三分之二.如图是我国2009年至2017年高铁营运里程（单位：万公里）的折线图.根据这9年的高铁营运里程，甲、乙两位同学分别选择了与时间变量的两个回归模型①：；②.（1）求，（精确到0.01）；（2）乙求得模型②的回归方程为，你认为哪个模型的拟合效果更好？并说明理由.附：参考公式：，，.参考数据：1.3976.942850.220.093.7221．（12分）在中的内角、、，，是边的三等分点（靠近点），．（）求的大小．（）当取最大值时，求的值．22．（10分）已知函数，.（1）若函数恰有一个极值点，求实数a的取值范围；（2）当，且时，证明：.（常数是自然对数的底数）.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

由且，不妨设，，则，因为当时，单调递减，所以，又函数满足，所以，所以，即.故选：D.2、C【解题分析】试题分析：将5张奖票不放回地依次取出共有种不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票．共有种取法，∴考点：古典概型及其概率计算公式3、B【解题分析】

先求出女生甲被选中的情况下的基本事件总数，再求出在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中包含的基本事件个数为，结合条件概率的计算方法，可得.【题目详解】女生甲被选中的情况下，基本事件总数，在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中包含的基本事件个数为，则在女生甲被选中的情况下，男生乙也被选中的概率为.故选B.【题目点拨】本题考查了条件概率的求法，考查了学生的计算求解能力，属于基础题.4、D【解题分析】分析：由条件利用导函数的图象特征，利用导数研究函数的单调性和极值，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．详解：根据导函数y=f′（x）的图象可得，y=f′（x）在（﹣∞，﹣2）上大于零，在（﹣2，2）、（2，+∞）上大于零，且f′（﹣2）=0，故函数f（x）在（﹣∞，﹣2）上为减函数，在（﹣2，+∞）、（2，+∞）上为增函数．故﹣2是函数y=f（x）的极小值点，故①正确；故1不是函数y=f（x）的极值点，故②不正确；根据函数-1的两侧均为单调递增函数，故-1不是极值点.根据y=f（x）=在区间（﹣2，2）上的导数大于或等于零，故f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增，故④正确，故选：D.点睛：本题主要考查命题真假的判断，利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．导函数的正负代表了原函数的单调性，极值点即导函数的零点，但是必须是变号零点，即在零点两侧正负相反；极值即将极值点代入原函数取得的函数值，注意分清楚这些概念.5、B【解题分析】

由题甲，乙均有两种情况，一荤一素和两素，再由分步原理可得种数。【题目详解】甲有两种情况：一荤一素，种；两素，种.故甲共有种，同理乙也有9种，则两人打菜方法的种数为种.故选B.【题目点拨】本题考查分类加法和分步乘法计数原理，属于基础题。6、B【解题分析】

甲乙两人捆绑一起作为一个人与其他2人全排列，内部2人全排列．【题目详解】因为甲乙两人必须相邻，看成一个整体，所以甲乙两人必须相邻的排法有种，故选：B.【题目点拨】本题考查排列问题，相邻问题用捆绑法求解．7、C【解题分析】

原命题为特称命题，则其否定为全称命题，即可得到答案【题目详解】∵命题p：∃x0∴¬p：∀x>0，总有(x+2)故选C【题目点拨】本题主要考查的是命题及其关系，命题的否定是对命题结论的否定，属于基础题．8、C【解题分析】

根据的展开式的通项公式找出中函数含项的系数和项的系数做差即可．【题目详解】的展开式的通项公式为，故中函数含项的系数是和项的系数是所以展开式中的系数为-=0【题目点拨】本题考查了二项式定理的应用，熟练掌握二项式定理是解本题的关键．9、B【解题分析】分析：先求样本中心，代入方程求解即可。详解：，，代入方程，解得，故选B点睛：回归直线方程必过样本中心。10、A【解题分析】分析：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而命题的否定为：“a、b、c中至少有二个为负数”，由此得出结论．详解：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而：“中至少有二个为正数”的否定为：“中至少有二个为负数”．故选A．点睛：本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面是解题的关键，着重考查了推理与论证能力．11、A【解题分析】

列举出算法的每一步循环，根据算法输出结果计算出实数的取值范围，于此可得出整数的最小值.【题目详解】满足条件，执行第一次循环，，；满足条件，执行第二次循环，，；满足条件，执行第二次循环，，.满足条件，调出循环体，输出的值为.由上可知，，因此，输入的整数的最小值是，故选A.【题目点拨】本题考查算法框图的应用，解这类问题，通常列出每一次循环，找出其规律，进而对问题进行解答，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12、D【解题分析】

利用复数代数形式的乘除运算可得z＝1﹣3i，从而可得答案．【题目详解】,∴复数z的虚部是-3故选：D【题目点拨】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

由正六棱柱的几何特征可得为正六棱柱相邻两个侧面所成的二面角的平面角，根据正六边形的内角计算即可.【题目详解】解：如图，由正六棱柱的几何特征可知，则为正六棱柱相邻两个侧面所成的二面角的平面角，.故答案为：.【题目点拨】本题考查二面角的求解，关键是要找到二面角的平面角，是基础题.14、【解题分析】试题分析：正四棱柱的高是4，体积是16，则底面边长为2，底面正方形的对角线长度为，所以正四棱柱体对角线的长度为，四棱柱体对角线为外接球的直径，所以球的半径为，所以球的表面积为．考点：正四棱柱外接球表面积．15、【解题分析】

先按照和两种情况求出，再对和分别各按照两种情况讨论求出，最后令，求出函数的零点，恰好有三个.因此只要求出的三个零点满足各自的范围即可.【题目详解】解：当时，，当时，由，可得，当时，由，可得.当时，，当时，由，可得无解，当时，由，可得.因为在上有三个不同的零点，所以，解得.故答案为：.【题目点拨】本题考查函数的零点，分段函数，分类讨论的思想，属于难题.16、243【解题分析】分析：先得到二项式的展开式的通项，然后根据组合的方式可得到所求项的系数．详解：二项式展开式的通项为，∴展开式中的系数为.点睛：对于非二项式的问题，解题时可转化为二项式的问题处理，对于无法转化为二项式的问题，可根据组合的方式“凑”出所求的项或其系数，此时要注意考虑问题的全面性，防止漏掉部分情况．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）见解析【解题分析】分析：（1）利用分析法证明，平方、化简、再平方，可得显然成立，从而可得结果；（2）假设成等差数列，可得，结合可得，与是不全相等的实数矛盾，从而可得结论.详解：（1）欲证只需证：即只需证：即显然结论成立故（2）假设成等差数列，则由于成等差数列，得①那么，即②由①、②得与是不全相等的实数矛盾．故不成等差数列．点睛：本题主要考查反证法的应用以及利用分析法证明不等式，属于难题.分析法证明不等式的主要事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误的作为“逆推”，分析法的过程仅需寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接关键词.18、（1）证明见解析；（2）1【解题分析】

(1)先证明面面，从而可得平面.

（2）设的中点为，以为原点，，，分别为，，轴，建立坐标系，设,易知平面的法向量为，求出平面的法向量，根据法向量垂直可求解.【题目详解】证明：（1）：∵，面，面，∴面.同理面，又，面，面，∴面面，又面，∴平面.（2）∵，，∴，设的中点为，连接，则.以为原点，，，分别为，，轴，建立坐标系.则，，，令，则，，.设平面的法向量为，则，即，令，则，∴.易知平面的法向量为，当平面平面时，，解之得.所以当时，平面平面.【题目点拨】本题考查线面平行的证明和根据面面垂直求线段的长度，属于中档题.19、在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为药物处理跟发生青花病是有关系的．【解题分析】

先完成列联表，计算的观测值，对照表格数据即可得结论【题目详解】由已知条件得列联表如下：药物处理未经药物处理合计青花病25185210无青花病60200260合计85385470提出假设：经过药物处理跟发生青花病无关系．根据列联表中的数据，可以求得的观测值.因为当成立时，的概率约为0.005，而此时，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为药物处理跟发生青花病是有关系的．【题目点拨】本题考查独立性检验，考查计算能力，是基础题20、（1）（2）模型②的拟合效果较好【解题分析】分析：（1）求出，代入最小二乘法公式即可求得，（2）利用公式求得，比较大小可得结论.详解：（1），，．（2），，因为，所以模型②的拟合效果较好．点睛：本小题主要考查回归直线、回归分析等