2024届山大附属中学数学高二下期末综合测试模拟试题含解析

2024届山大附属中学数学高二下期末综合测试模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．4名男歌手和2名女歌手联合举行一场音乐会，出场顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，共有出场方案的种数是（）A． B． C． D．2．函数在定义域内可导，其图象如图所示，记的导函数为，则不等式的解集为（）A． B．C． D．3．在三棱锥P-ABC中，，，，若过AB的平面将三棱锥P-ABC分为体积相等的两部分，则棱PA与平面所成角的正弦值为（）A． B． C． D．4．已知函数，若的两个极值点的等差中项在区间上，则整数（）A．1或2 B．2 C．1 D．0或15．已知函数的图像关于直线对称，且对任意有，则使得成立的的取值范围是（）A． B． C． D．6．利用数学归纳法证明不等式的过程，由到时，左边增加了（）A．1项 B．项 C．项 D．项7．“”是“”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件8．已知命题p：“∀x∈[1,e]，a>lnx”，命题q：“∃x∈R，x2-4x+a=0””若“A．(1,4] B．(0,1] C．[-1,1] D．(4,+∞)9．设函数，若，则实数a的值为（）A． B． C．或 D．10．已知，都是实数，那么“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件11．下列说法正确的是()A．“f(0)”是“函数

f（x）是奇函数”的充要条件B．若

p：，，则：，C．“若，则”的否命题是“若，则”D．若为假命题，则p，q均为假命题12．已知，则（）A．18 B．24 C．36 D．56二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若实数，满足线性约束条件，则的最大值为_____________；14．已知随机变量，且，则______.15．复数（是虚数单位）的虚部是______．16．若直线l经过点，且一个法向量为，则直线l的方程是________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设函数.(1)求不等式的解集；(2)若存在使不等式成立，求实数的取值范围18．（12分）已知函数，分别在下列条件下，求函数图象经过第二、三、四象限的概率.（1）设且；（2）实数满足条件19．（12分）已知函数.（1）当时，求函数在上的最大值；（2）令，若在区间上为单调递增函数，求的取值范围；（3）当时，函数的图象与轴交于两点，且，又是的导函数.若正常数满足条件.证明：.20．（12分）已知函数．（1）若函数在处取得极值，求的值和函数的单调区间；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．21．（12分）已知复数（a，），（c，）.（1）当，，，时，求，，；（2）根据（1）的计算结果猜想与的关系，并证明该关系的一般性22．（10分）如图，在以为顶点的多面体中，平面，，.（1）请在图中作出平面，使得且，并说明理由；（2）证明：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

利用捆绑法：先从4名男歌手中选一名放在两名女歌手之间，并把他们捆绑在一起看作一个元素和剩余的3名男歌手进行全排列，利用排列组合的知识和分步计数原理求解即可.【题目详解】根据题意，分两步进行：先从4名男歌手中选一名放在两名女歌手之间，同时对两名女歌手进行全排列有种选择；再把他们捆绑在一起看作一个元素和剩余的3名男歌手进行全排列有种选择，由分步计数原理可得，共有出场方案的种数为.故选：D【题目点拨】本题考查利用捆绑法和分步乘法计数原理，结合排列数公式求解排列组合问题；考查运算求解能力和逻辑推理能力；分清排列和组合和两个计数原理是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.2、A【解题分析】

根据导数大于0时函数单调递增，导数小于0时原函数单调递减，确定函数的单调性【题目详解】解：由图象可知，即求函数的单调减区间，从而有解集为，故选：．【题目点拨】本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，解题的关键是识图，属于基础题．3、A【解题分析】

由题构建图像，由，想到取PC中点构建平面ABD，易证得平面ABD，所以PA与平面所成角即为，利用正弦函数定义，得答案.【题目详解】如图所示，取PC中点为D连接AD，BD，因为过AB的平面将三棱锥P-ABC分为体积相等的两部分，所以即为平面ABD；又因为，所以，又，所以，且，所以平面ABD，所以PA与平面所成角即为，因为，所以，所以．故选：A【题目点拨】本题考查立体几何中求线面角，应优先作图，找到或证明到线面垂直，即可表示线面角，属于较难题.4、B【解题分析】

根据极值点个数、极值点与导函数之间的关系可确定的取值范围，结合为整数可求得结果.【题目详解】由题意得：.有两个极值点，，解得：或.方程的两根即为的两个极值点，，综上可得：，又是整数，.故选：.【题目点拨】本题考查极值与导数之间的关系，关键是明确极值点是导函数的零点，从而利用根与系数关系构造方程.5、A【解题分析】∵函数的图象关于直线对称，∴函数的图象关于直线对称，∴函数为偶函数．又对任意有，∴函数在上为增函数．又，∴，解得.∴的取值范围是.选A．6、D【解题分析】

分别计算和时不等式左边的项数，相减得到答案.【题目详解】时，不等式左边：共有时，：共有增加了故答案选D【题目点拨】本题考查了数学归纳法的项数问题，属于基础题型.7、A【解题分析】

画出曲线和的图像，根据图像观察即可得结果.【题目详解】在平面直角坐标系中画出曲线和的图像，如图：表示的点是图中圆上及圆内部的点，表示的点是图中正方形上及正方形内部的点，所以“”是“”的充分非必要条件，故选：A.【题目点拨】本题考查充分性和必要性的判断，找出集合包含关系是快速判断的重点，可以数形结合画出曲线图像，通过图像观察包含关系，本题是中档题.8、A【解题分析】

通过判断命题p和q的真假，从而求得参数的取值范围.【题目详解】解：若命题p：“∀∈[1,e]，a>ln则a>ln若命题q：“∃x∈R，x2则Δ=16-4a≥0，解得a≤4，若命题“p∧q”为真命题，则p，q都是真命题，则a>1a≤4解得：1<a≤4．故实数a的取值范围为(1,4]．故选A．【题目点拨】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．9、B【解题分析】分析：根据分段函数分成两个方程组求解，最后求两者并集.详解：因为，所以所以选B.点睛：求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.10、D【解题分析】；，与没有包含关系，故为“既不充分也不必要条件”.11、C【解题分析】

根据四种命题之间的关系，对选项中的命题分析、判断即可．【题目详解】对于A，f（0）＝0时，函数f（x）不一定是奇函数，如f（x）＝x2，x∈R；函数f（x）是奇函数时，f（0）不一定等于零，如f（x），x≠0；是即不充分也不必要条件，A错误；对于B，命题p：，则￢p：∀x∈，x2﹣x﹣1≤0，∴B错误；对于C，若α，则sinα的否命题是“若α，则sinα”，∴Ｃ正确．对于D，若p∧q为假命题，则p，q至少有一假命题，∴Ｄ错误；故选C．【题目点拨】本题考查了命题真假的判断问题，涉及到奇函数的性质，特称命题的否定，原命题的否命题，复合命题与简单命题的关系等知识，是基础题．12、B【解题分析】，故，.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、8【解题分析】分析：先作可行域，再根据目标函数所表示直线，平移可得最大值取法.详解：作可行域，则直线过点A（2，1）时取最大值8.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14、0.9【解题分析】

根据正态分布性质计算概率．【题目详解】由正态分布密度曲线知，又，所以，所以.【题目点拨】本题考查正态分布的性质，由正态分布曲线的对称性得若，则，．15、【解题分析】

分子和分母同时乘以分母的共轭复数,化简复数,即可求得虚部.【题目详解】复数的虚部是:.故答案为:.【题目点拨】本题主要考查了复数的四则运算,以及复数的基本概念的应用,其中解答中熟练应用复数的运算法则化简是解答的关键,属于基础题.16、【解题分析】

根据法向量得直线斜率，再根据点斜式得直线方程【题目详解】因为直线一个法向量为，所以直线l的斜率为，因此直线l的方程是故答案为：【题目点拨】本题考查直线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解题分析】

本题需要分类讨论，对去绝对值的两种情况分类讨论。可以先令，在对进行分类讨论求出最小值，最后得出的取值范围。【题目详解】(1)由得，∴∴不等式的解集为(2)令则，∴∵存在x使不等式成立，∴【题目点拨】在遇到含有绝对值的不等式的时候，一定要根据函数解析式去绝对值的几种情况进行分类讨论。18、（1）；（2）【解题分析】

（1）分别求出从中任取两个不同的数所构成的直线条数及满足图象经过第二、三、四象限的直线条数，由古典概型概率公式求解；（2）由题意画出图形，再由测度比是面积比得答案．【题目详解】（1）从中任取两个不同的数，所构成直线的条数为条，满足图象经过第二、三、四象限的直线有与两条，所求概率；（2）满足约束条件的区域的面积为，若函数的图象经过第二、三、四象限，则，所占区域面积为．所求概率为．【题目点拨】本题考查古典概型与几何概型的概率计算，考查数形结合思想和数据处理能力．19、(1)-1；(2)；(3)参考解析【解题分析】试题分析：（1），可知在[,1]是增函数，在[1,2]是减函数，所以最大值为f(1).(2)在区间上为单调递增函数,即在上恒成立．，利用分离参数在上恒成立，即求的最大值．（3）有两个实根，，两式相减，又，．要证：，只需证：，令可证．试题解析：（1）函数在[,1]是增函数，在[1,2]是减函数，所以．（2）因为，所以，因为在区间单调递增函数，所以在（0，3）恒成立，有=，（）综上：（3）∵，又有两个实根，∴，两式相减，得，∴,于是．要证：，只需证：只需证：．(*)令，∴(*)化为，只证即可．在（0，1）上单调递增，，即．∴．（其他解法根据情况酌情给分）20、(1)，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是;(2).【解题分析】试题分析：（1）由，解得令得减区间，得增区间;(2)关于的不等式在上恒成立，等价于函数的最小值大于等于零..试题解析：（Ⅰ）由题意知，，且，解得.此时，令，解得或，令，解得，则函数的单调递增区间是和，单调递减区间是（Ⅱ），当时，在上恒成立，则函数在区间上单调递增，∴当时，；当时，令，解得，令，解得，则函数在区间（）上单调递减，在上单调递增，，即，解得；综上所述，实数的取值范围为.21、（1），，（2）猜想，见解析【解题分析】

（1）由复数模的定义计算模，对，可先求出，再计算模；（2）由（1）猜测，用复数的一般形式进行证明即可．【题目详解】（1）由题知，，所以所以（2）猜想证明：因为，，所以因为，所以，所以猜想成立.【题目点拨】本题考查复数的简单运算和合情推理，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，导向对发展数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注.22、（1）见解析；（2）见解析【解题分析】

（1）取中点，连接，则平面即为所求平面，