时间序列分析-课后习题答案

《时间序列分析》课后习题

参考答案

第一章时间序列分析基础

1.横截面数据、时间序列数据和面板数据；时间序列数据是指同一个个体的一

个或者多个特征在一系列时间观测点上的数据；例如，1980年到2020年全

球平均温度指数、上证指数从2000年1月到2021年1月的月收益率、我国

经济总量从2001年到2020年的年度数据。

2时序图散占图率唐图娄节图

3：序列平最靠平最差分孑稳、结意变化、季节性、协整、波动率聚集等。

4.奇异值检测、缺失值填补、数据转换和数据分解等。

5.平稳性分为严平稳和弱平稳，参考定义L1和定义1.2；遍历性刻画的是时

间序列数据之间的相依程度随着数据之间时间间隔的增加而逐渐减弱的特征;

白噪声是指均值为0、方差有限、且不存在时间维度上的相关性的平稳时间

序列，是宽平稳的。

6.可以使用Pearson相关系数度量变量之间的线性相关性，以及非线性相关系

数，例如Spearman秩相关系数和Kendall7■相关系数，来度量变量之间的非

线性相关关系。以上度量的共同点在于均为数据之间相依性的度量，并对样

本数据得到相应的统计量，进行假设检验；但当时间序列数据之间存在非线

性关系时，线性相关度量可能无法反应变量之间的相依性。

7.白噪声检验可基于样本自相关函数SACF或者QBP、QLB统计量做假设检验。

若各阶SACF均落在置信区间内或者为「、QLB落在拒绝区域外，则接受序列

白噪声假设；否则，拒绝白噪声假设。

8.略。

9.白噪声模型、滑动平均模型、自回归模型和自回归滑动平均模型。

10.均值预测法、朴素预测法、滑动平均法、指数平滑法和模型预测法。

11.略。

第二章线性时间序列模型

1.时间序列〃可以表示成白噪声小及其滞后项的线性函数，则其为线性时间序

列过程；线性序列过程通过白噪声滞后项刻画序列相依性；在现实建模中常

基于Box和Jenkins(1976)的思想进行建模，即采用ARM/(p,q)去近似该平

稳时间序列。

2.自回归模型是指时间序列当前观测对其过去观测(滞后项)的回归模型，例

如P阶自回归模型：改=+弧死-1+…+。pTjp+4这里生为白噪声，当

方程1-01Z-----OpzP=0的根落在单位圆之外，该自回归过程平稳。

3.(1)是平稳的，因为方程l-0.95z=0的根为1/0.95,在单位圆外。由

2.2.1节公式可得，Ert==60,=言7=嘿W，ACFp0=

1,pt=(0.95)'对/21。

(2)不是平稳的，因为方程l-L05z=0的根在单位圆内。

(3)不是平稳的，因为方程1—0.8z—0.2z2=0的两根为一5和一1,并不在

单位圆外，故为非平稳。

(4)是平稳的，因为方程1+0.92+0.4522>0当忆|工1,因此其根在单位

圆外。由2.2.2节公式，Er=-^—=0,.⑺=丁磐

t1-01-02°(1+02)[(1-02)2-01]

2.040若,ACFpo=l,pi=Y^-=一。,当I22,=-0.9pi-0.45%2。

J.-02zy

4.(1)是可逆的，0+££式—0.95)%7=嘎+&。由2.3.1节公式，Ert=

3,7ar(rt)=1.9025cr^,p0=1,p1右0.4993,pt=0,1>lo

(2)不可逆。由2.3.1节公式，E〃=l,IZar(rJ=2.1025w，Po=1,

pix0.4994,pi=0,1>lo

(3)是可逆的。假设&=6+2X1瓦GT，由于&+0.8&T+0.2&_2=

根据等式两边对应项系数相等,可得由=一08a2=。・44必=一0.8。——

0.2az_2,Z>3o由2.3.2节公式，Ert=0,Var(rt)=1.68cr^,Po=l，Pi=

-五，P2=垢，Pi=0，，>2。

(4)不是可逆的，因为1-0.9z-0.45z2=0的一个根在单位圆内。由

2.3.2节公式,Ert=0,yar(rt)=2.0125^,Po=l,px«-0.2460,p2=

—0.2236,pi=0,1>2O

5.(1)由公式(2.8)可计算得。11="=0.95,=0，k22。

Po

(2)是非平稳的，无法计算PACF。

(3)是非平稳的，无法计算PACF。

(4)由公式(2.8)可得弧1=£=一3022=等詈=一。45,。依=

Po29Pi-Po

0,k>3o

6.由于对于MA序列，PACF并无截尾性质，其数值可根据(2.8)式以及第4题

中得到的ACF进行计算。在本题中我们只计算1-阶和2-阶偏自相关系数作

为示例。

(1)On="=0.4993,022=华衅=-03321。

PoPl-Po

(2)Ou="=0.4994,022=-03323。

PoPl-Po

(3)=。=一||,022=°：2Py=-0.3081。

Po21Pl-Po

(4)弧1="=-0.2640*22=6”詈=-0.3024。

PoPl-Po

7.(1)序列自相关系数关于阶数的变化的函数即为自相关函数，记为ACF；

(2)序列0关于r.i，…,r.k的线性投影中，最后一个解释变量r-k前的系数

被称为6的心阶偏自相关系数。序列偏自相关系数关于阶数变化的函数

即为偏自相关函数，记为PACF；

(3)EACF指拓展的自相关系数，用于ARMA模型的定阶；

(4)信息选择法是选择最优的阶数以平衡模型的拟合优度和模型的复杂度;

(5)模型诊断通常指通过检验模型的误差是否符合模型的基本假设来实现

的定阶方法。

8.略。

第三章单位根时间序列模型

1.对于1阶自回归过程，(l-pB)yt=(p0+ut,当p=l,该过程即为单位根

过程。

2.利用最小二乘得到p的估计平稳过程、单位根过程和爆炸过程的极限分

布为教材中(3.2)、(3.3)和(3.4)式。从收敛速度来看，平稳过程的估

计量收敛速度最慢为%(专)，单位根过程的估计量收敛速度其次，为Op(》，

爆炸过程的估计量收敛速度最快，为Op(pT)。从极限分布来看，平稳过程

估计量极限分布为正态分布，单位根过程极限分布为随机积分，爆炸过程极

限分布为柯西分布。

3.首先判断该AR(1)过程属于平稳过程、单位根过程还是爆炸过程。对该过程

执行情形1下的Dickey-Fuller检验。当p值处于(0.05,0.95)之间时，接受原

假设认为该过程为单位根过程，当p值大于0.95,拒绝原假设，同时接受该

过程为爆炸过程；当p值小于0.05,拒绝原假设，同时接受该过程为平稳过

程。对该序列所属过程进行判断后，便可根据其对应的极限分布的分位数构

造置信区间。平稳过程和爆炸过程的极限分布(3.2)和(3.4)式存在冗余

参数P，在构造置信区间的过程中可以使用其相合估计量。替代，单位根过

程极限分布(3.3)式的分位数，可以通过查询DF检验在情形1下的分位数

表得到。

4.(1)我们可以得到FCLT(functionalcentrallimittheorem):

Vr

在Skorohord空间下成立。因此我们可以写为积分形式：

TT1

22

T~Wyt-1=LW(yt-i/")2=1(y[Tt]/Vr)dt.

t=lt=l0

由于FCLT和是Skorohord空间0[O,1]中的连续泛函，根据连续映射

定理，我们有

dr1

dt-^o2[W(t)]2dt.

(2)我们有

7-iW%=L+yt-yt)(yt-yt-i)

t=lt=l

=L(中-yo

由于笈=1儿曰=Zt=iyt-i«t+Zt=iut＞我们有

T/T\

7-»丫1%=9-1（苏一羽一w必）

t=l\t=l）

_（IDn

因为yr/VfToWQ）、据/T&0以及大数率广】殍-诺马。2,我们可得

♦，2

LW%T/*{["(1)]2-4

5.由书中（3.1）式，我们只需分析春殍ryi%和l/T£Ly陶的极限性质

2

即可。易证力服从正态分布，方差为0:老d）。2,且其方差的极限为为，

由于

TT

L】W无一后资

i=lj=i+l

这里c为与P和。有关但与r无关的常数。根据切比雪夫不等式，我们可以得

n

到T-NL（竞一E羽）20。由于我们有广1£工送量T』,故

为了证明1/VT?屋/一I/£N（O,黑），根据鞅的中心极限定理我们只需

证明以下两个式子

l/VTmaxlyt-iuj=op（l）.（2）

（1）的证明可以用与上面完全相似的步骤去证。对于（2）式，易证序列先

几乎处处收敛到一个正态分布，故（2）式等价于l/VT/naxluJ=。「（1）。由

22-1

P(l/\fTmax\ut\>8)<8-T-YE说=0(7),

故(2)式成立。因此根据Slutsky定理，我们便可以完成最终证明。另外一

种证明思路见Hamilton(1994,pp.216),(8.2.30)式。

6.该证明较为繁琐，具体细节请参考White(1958)o

7.首先，如果有一个比较明确的生成数据的过程和需要检验的假设，那么则可

以确定需要选择的情形。其次，如果没有明确的上述指引，一般的原则是：

选择一个模型和数据生成的设定，使他们在原假设和备择假设下都能够比较

合理地刻画数据的主要特征。特别地，如果数据呈现出明显的时间趋势，则

要考虑采用情形4；否则考虑采用情形2。

8.略0

第四章非线性时间序列模型

1.例如门限自回归模型，其特征为根据门限变量划分区制，在各个区制中均是

线性自回归结构，但不同区制中，自回归模型参数取值不同；平滑转化模型,

其特征为解决了SETAR模型不同区制中参数取值离散的问题；马尔科夫转换

模型，根据潜在变量划分区制，且潜在变量由一个马尔科夫链驱动。

2.检验非线性的方法，包括参数方法和非参数方法。参数非线性检验，包括

RESET检验、门限检验。非参数模型设定检验，典型的有基于L2距离的检验

和基于条件均值距离的检验。

3.核函数k(・):Rq->R,又被成为权重函数，满足Jk(x)d%=l。常用的一元核

函数包括：(i)均匀核函数：ko(x)="(％€(—1,1))；(ii)Epanechnikov

核函数：/ci(x)=(1—x2)/(xe(—1,1))；(iii)Gaussian核函数：

爆⑺=意叩(一

4.第一种方法是大拇指法，即取

r1.06sT4+%Gaussian

hopt=J

(2.34sT4+q,Epanechnikov

其中s为。的样本标准差，T为样本容量，q为。的维度。第二种方法是交

叉验证的方法，即属=argm勿CV㈤，这里=*£]=1[力一

屐-，(勺)]2勿(勺)，这里九乂勺)=吉，⑸伙(勺)九，勿(勺)是对预测平

方误差加总时用到的权重函数。

5.筛分估计是一类将函数在全局近似而得到估计的方法的总称，依赖于函数的

近似逼近理论，假设未知函数落在一个函数空间，且该函数空间具有一组基

函数向G)}2。，则fconyZoq/i/G)。常用的筛分空间有多项式空间、三

角多项式空间、样条空间、埃尔米特多项式空间。阶通过广义交叉验证方法

来选取，假设未知函数m阶可导，对0<a<b<80<d<c<1,定

2(m+l)

义岫={PT，PT+1，…，qr]，这里Pr=[aTd],/=2力。选取k使得

,82(/c)

^GCV-ar9Ef~T\7z/T12;

—"1_k/TJ

这里胡(£)=匐屋1仇一九(%t)}2。

6.例如可加模型yt=/(xt)+&=91(。)+…+0(勺。+at,这里％t=

(%lt，…,xlty,针对该模型的估计方法有迭代拟合(backfitting)估计法和边

际积分(marginalintegration)估计法。

7.可以使用基于L2距离的检验，其检验统计量为

2

%,HM(h)=Th/2，{汾(x)-mg(x)}vu(x)dx.

这里

-(、H=iKh(.x-xt)yt

〜，、S[=iK(x-x)m(x)

唉⑺二工h”.t々)gt

其中©为原假设下外的一个VT-相合估计量。

止匕外，还可使用基于条件均值距离的检验，该统计量为

TT

/丁(九)=丁(.fWE(”s,,

S=1£=1,士工S

经过标准化，可采用下述统计量进行检验：

丁心/2](h)d

JT=—

其中

dTT

62fW用其K六%s，xJ

s=lt=l,£Hs

此外可以通过自助抽样的方法，避免检验结果对窗宽参数敏感的问题。

8.略。

第五章协整时间序列模型

1.(1)虚假回归是指：两个独立的单位根过程在线性回归中发现存在显著相关

性的现象。

(2)虚假回归的显著特征有：

①t值很大且呈现统计上的显著性；

②回归的R2很大，非常接近于1；

③回归的残差存在较强的序列相依性，接近单位根过程(Durbin-Watson统计

量接近0)o

2.(1)协整的定义是：一个九x1向量时间序列九是协整的，当它的每一个子

序列都是单位根过程，且存在非零的向量ae“，使得线性组合aT%是一个平

稳过程；此时，a被称为协整向量。

(2)协整的误差修正表示是：假设先为p阶自回归模型：

%=a+①+①2%-2+…+①p%-p+J=①⑻%=a+见.

假设Ayt存在Wold分解

(1-B)yt=6+rp(L)Et.

如果yt中存在八个协整关系，则可以证明：

①①(1)6=0,①⑴吵⑴=0；

②存在一个nxh的矩阵B,使得①(1)=347，其中M中的行构成协整向量

空间的基。

可等价表述为：

yt=+<2^yt-2+…+《p-My-p+i+a+pyt-i+4，

其中4=一[①s+i---①p]，P三①1—①p。

同时有：

Ayt=G/y-i+Adyt-2+…+<p-i^yc-p+i+a+Gyt-i+5，

其中40三P—[n=—[]ri—①1----①p]=一①(1)。

若儿包含九个协整关系，则有

4yt=+(2^yt-2+…+(P-i^yt-P+i+a—Bzt_x+

其中，々三力7力为平稳协整变量。

(3)在数据分析中，误差修正表示可以刻画长期均衡(协整关系)对短期波

动(差分序列)的影响。

3.(1)虚假回归中回归系数的估计不相合，随着样本量的增加收敛到一个随机

变量；t检验统计量以VT的速度随样本量T增加发散到无穷。

(2)协整回归中回归系数的估计是超相合的，t检验统计量是非标准分布的。

(3)忽视分布的差异会导致在假设检验时使用错误的极限理论而得出错误的

结论。

4.对变量儿和考虑以下平衡回归模型

xu

yt=a+pxt+yyt-i+^t-i+t>

检验0是否为零，为零是虚假回归，否则是协整回归。

5.(1)采用最小二乘估计法估计回归方程

yit=a+y2y2t+/，

再利用得到的残差距来构造单位根检验统计量。

(2)采用最小二乘估计法估计回归方程

u

ylt=a+y2y2t+V3y3t+…+Ynynt+t>

再利用得到的残差Qt来构造单位根检验统计量。

(3)对八=1,2,…考虑检验

Ho：yt中存在h个协整关系;

HA1：yt中存在n个协整关系。

构造似然比检验的迹统计量进行检验。

6.①对向量yt中的每一个序列进行单位根检验；

②针对给定向量a,对序列々=必先进行单位根检验。若不存在单位根，则协

整向量为a。

7.略。

8.对

yt=m(xt)+et,t=1,2,…，T,

考虑：

Ho：m(x)=对V%6Rd,。。€0

“1：m(x)=m0i(%)+Crzl(x),G0;

采用Wang和Phi11ips(2012)考虑的经典模型设定检验统计量

TT

ST=4/小(2,勺)

s=lt=l,£ws

进行检验。

9.对

yt=fGt，8)+ut,

采用非线性最小二乘估计量

2

0=argmin^\yt-f(xt,0)]0

第六章波动率模型

ul=a0+%您_1+…+amUt_m+wt,

其中Wt是白噪声，且E(w%)=a2,

满足上述过程的白噪声也被称为ARCH(m)过程。

易见：

E(诏|齿_1，…)=a0+%诏_1+•••+

2.考虑均值回归

yt=x^+ut,

其中解释变量々可以包含儿的滞后项。对均值回归采用OLS估计，得到残差估

计量位t。再将语对它的m个滞后变量回归：

fit=a0+%诟_]H---Famul_m+et,

在上述回归中检验为:劭=-=am=O,若也被拒绝，则yt具有ARCH效应；

否则，不存在ARCH效应。

3.在确定均值回归模型之后，将均值回归模型拟合得到的残差进行ARCH建模，

估计并检验ARCH效应是否存在；若存在，则采用PACF或者Ljung-Box检验

来确定ARCH模型的阶m。

4.可以采用信息准则(AI&BIC)的方法确定GARCH模型的阶数。

5.略。

6.略。

第七章时间序列的机器学习方法

1.(1)支持向量回归是对于时间序列样本考虑

yt=+et,

々可以包含%的滞后项和其他可以用来预测的解释变量，/(%)=wTx+b,w

和b为待确定的模型参数。定义e-不敏感损失函数为

0,若⑻<6；

Q(e)=

|e|-6,其他。

支持向量回归的目标函数为:

T

wTx

minwj)乏le(.yt-t+b)+或卬7卬，

t=l

其中，a为正则化参数，卬丁卬为卬的q范数。

(2)最小二乘基于平方损失函数，只有当准确预测时，损失才会为零；而支

持向量回归基于6-不敏感损失函数，可以容忍存在一个较小的e偏差。

2.在非线性SVR中，采用核函数旗•「)，可以将未知函数近似表示为

T

a

/(xt)=2/女(。,/)+b=^t+bo

S=1

常用的核函数有：线性核、多项式核、高斯核、拉普拉斯核、Sigmoid核。

3.(1)分类回归树是利用分类树的思想，把》取值的区域递归地分成两个子

区域Ri(x,s)=[x\x<s}和R2(X,S)={x\x>s},并确定每个区域上对y的预测

值，进而对每个子区域重复这个过程，直到某种停止条件满足。

(2)①遍历/=1,…,p,求解最优切分变量j和切分点s使得

22

minj：s[mmC1-Q)+