浙江省严州2023学年高考数学三模试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知等差数列｛%｝的公差为2前八项和为S,,,若的,%，%为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120。,

则S,的最大值为（）

A.5B.11C.20D.25

2.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球表面积为（）

66

A.12万B.16万

C.24%D.48%

22

3.已知斜率为-2的直线与双曲线=力＞（））交于A6两点，若/（七,为）为线段AB中点且

kOM=-4（。为坐标原点），则双曲线C的离心率为（）

A.75B.3C.73D.

4

22

4.已知双曲线C:，-与=1（“＞0力＞0）,。为坐标原点，6、尺为其左、右焦点，点G在C的渐近线上，F,G1OG,

ab-

且庭10Gl=|G6I，则该双曲线的渐近线方程为（）

A.y=B.y-+^-xC.y=±xD.y-+\/2x

22

5.《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文

化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为：把阳爻当作数字“1”，把阴爻

当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下:

卦名符号表示的二进制数表示的十进制数

—

坤0000

—

震0011

—

坎0102

—

兑0113

依此类推，则六十四卦中的“屯''卦，符号"三”表示的十进制数是()

A.18B.17C.16D.15

6.设。=().82叽Z?=sinl,c=lg3,则a,b,c三数的大小关系是

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<b<aD.b<c<a

7.已知复数二满足z—5=0,且z==9,贝ijz=()

A.3B.3iC.±3D.±3i

8.已知a=(l,2),b-+,c=(m-2,-1),若a///j,则/?.c=()

A.-7B.-3C.3D.7

9.已知F为抛物线y2=4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点，则||FAL|FB||的值等于()

A.872B.8C.472D.4

10.已知0＜。＜力＜1,贝(J()

A.B.(]一小〉(1_q)2C.(l+a)”+D.(l-«)°

11.金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般

滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种(含两种)以上的肉

混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为()

A.20B.24C.25D.26

12.已知锐角a满足2sin2a=l-cos2a,则tana=()

A.-B.1C.2D.4

2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知a,方均为正数，且a+Z?=l,—1—1的最小值为.

2ab

14.点尸是△ABC所在平面内一点且P8+PC=AP,在△ABC内任取一点，则此点取自AP8C内的概率是

15.设等比数列｛4｝的前〃项和为S“，若4=2,。2-4=6,贝IIS4=.

16.已知变量不马e(O,m)(m>0),且不<々，若X/-"恒成立，则，"的最大值______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1

x--m

2

17.(12分)已知在平面直角坐标系X。)‘中，直线/的参数方程为〈「(加为参数)，以坐标原点为极点，x轴

73

y=——m

V2

C2Jis2勿、

非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线。的极坐标方程为p2—2pcos9-2=0,点A的极坐标为.

(1)求直线/的极坐标方程：

(2)若直线/与曲线。交于B,C两点，求A6C的面积.

18.(12分)如图，在三棱柱ADE-BCF中,ABC。是边长为2的菱形，且ZfiW=60。，COEE是矩形，ED=1,

且平面CDEF,平面ABC。，尸点在线段5c上移动(P不与C重合)，H是AE的中点.

(1)当四面体EOPC的外接球的表面积为5兀时，证明：HB//.平面EDP

(2)当四面体EOPC的体积最大时，求平面”7*与平面EPC所成锐二面角的余弦值.

19.(12分)已知函数/(x)=；e2*-ae'-2a2》.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若/(幻20恒成立，求实数。的取值范围.

20.(12分)在直角坐标系x0y中，已知点P(l,0),若以线段PQ为直径的圆与N轴相切.

(1)求点。的轨迹C的方程;

⑵若C上存在两动点AB(A,8在x轴异侧)满足OR.03=32,且△PA8的周长为21AM+2,求|人用的值.

21.(12分)在AABC中，角A、B、C的对边分别为。、b、c,且cosA

5

(1)若a=5,c=2也,求〃的值;

1T

(2)若8=一，求tan2c的值.

4

x-3+tcosa

22.(10分)在直角坐标系X。)，中，直线/的参数方程为<(f为参数).以坐标原点为极点，x轴正半

y=2+fsincz

轴为极轴建立极坐标系，圆。的极坐标方程为。=2cos8.

(1)求直线/和圆C的普通方程;

11

(2)已知直线/上一点M(3,2),若直线/与圆C交于不同两点A,6,求砌+画的取值范围・

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

由公差d=-2可知数列单调递减，再由余弦定理结合通项可求得首项，即可求出前n项和，从而得到最值.

【详解】

等差数列｛4｝的公差为-2,可知数列单调递减，则的,4，4中生最大，为最小，

又出，4，%为三角形的三边长，且最大内角为12()。，

由余弦定理得蜡=d+4+七%，设首项为《，

即(q_2)2-4『+(a「6『+同—4)0一6)=0得(q-4)(^-9)=0,

所以q=4或4=9,又4=a1—6>0,即a1>6,q=4舍去，故q=9,d=-2

前n项和Sn=9n+△一Jx(―2)=--5)-+25.

故s.的最大值为$5=25.

故选：D

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查求前n项和的最值问题，同时还考查了余弦定理的应用.

2.A

【解析】

由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，结合直观图判断外接球球心的位置，求出半径，代

入求得表面积公式计算.

【详解】

由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，高为2,

底面为等腰直角三角形，斜边长为2加，如图：

...AABC的外接圆的圆心为斜边AC的中点O,0D1AC,且ODu平面S4C,

SA=AC=29

sc的中点。为外接球的球心，

，半径R=G,

外接球表面积5=41x3=12》.

故选：A

【点睛】

本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，根据三视图判断几何体的结构特征，利用几何体的结构特征与数据

求得外接球的半径是解答本题的关键.

3.B

【解析】

设A（玉,弘）,8（々,必），代入双曲线方程相减可得到直线A3的斜率与中点坐标之间的关系，从而得到的等式，求

出离心率.

【详解】

k-21--4

KOM~一f，

龙。

22

%*1

a2b2

设4（%,%）,3（%2，%），则，

r2v2

&_互=

21

L2b

（+々）（%一/）（+%）（弘一必）

两式相减得3y=0,

a2b~

\

〃a+々)_bk_匕扑一2,*b2=8,;.e=，l+b2

kAB=3.

不一々〃(％+%)22

ayQa

故选：B.

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率，解题方法是点差法，即出现双曲线的弦中点坐标时，可设弦两端点坐标代入双曲线方程

相减后得出弦所在直线斜率与中点坐标之间的关系.

4.D

【解析】

根据KGLOG,先确定出G6,G。的长度，然后利用双曲线定义将J4|OG|=|G6I转化为。力,c的关系式，化简

后可得到2的值，即可求渐近线方程.

a

【详解】

又因为遥|OG|=|G耳所以逐|。6卜,司，所以布|。可=|6/2+入可,

所以610Gl=\GF2+F2F^,所以6a2=〃2+4c2+»x2cxcos(18()o—NGE耳),

,所以〃=24,2=0,

所以6cJ=b2+4c0+20X2CX

a

所以渐近线方程为y=±JIx.

故选：D.

【点睛】

本题考查根据双曲线中的长度关系求解渐近线方程，难度一般.注意双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长度的一半.

5.B

【解析】

由题意可知“屯”卦符号“H”表示二进制数字010001,将其转化为十进制数即可.

【详解】

由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“表示二进制数字010001,转化为十进制数的计算为1x20+1x24=1.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查数制是转化，新定义知识的应用等，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

6.C

【解析】

利用对数函数，指数函数以及正弦函数的性质和计算公式，将a,b,c与J上,[比较即可.

\52

【详解】

由a=0.820-5>0.8°5=仁,

1L,.兀0[3[4

232V4V5

c=lg3<lgV10=|lgl0=1,

所以有c<b<a.i&C.

【点睛】

本题考查对数值，指数值和正弦值大小的比较，是基础题，解题时选择合适的中间值比较是关键，注意合理地进行等

价转化.

7.C

【解析】

设z=〃+〃,则z=。一次，利用2—彳=0和2七=9求得。，/?即可.

【详解】

设z=4+4•，则5=a-hi,

因为Z—2=(),贝！J(a+初初)=2/2i=0,所以匕=0,

又z•彳=9,即/=9,所以。=±3,

所以z=±3,

故选:C

【点睛】

本题考查复数的乘法法则的应用，考查共轨复数的应用.

8.B

【解析】

由平行求出参数加，再由数量积的坐标运算计算.

【详解】

由a//b，得2，%—(，"+3)=。，则〃?=3，

b—(3,6)>c=(1,—1),所以/?.c=3—6=—3.

故选：B.

【点睛】

本题考查向量平行的坐标表示，考查数量积的坐标运算，掌握向量数量积的坐标运算是解题关键.

9.C

【解析】

将直线方程y=x-1代入抛物线方程，根据根与系数的关系和抛物线的定义即可得出的值.

【详解】

y2-4x

F(1,0),故直线AB的方程为y=x-1,联立方程组〈，可得X2-6X+1=0,

设A(xi,yi),B(X2,yz)»由根与系数的关系可知Xi+X2=6,xiX2=l.

由抛物线的定义可知：|FA|=xi+l,|FB|=X2+1,

.,.||FA|-|FB||=|XI-X2|=Ja+J-4中2=V36-4=4&.

故选c.

【点睛】

本题考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属于中档题.

10.D

【解析】

根据指数函数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于零小于1时单调递减，对选项逐一验证即可得到正

确答案.

【详解】

因为所以0<1—。<1,所以y=（l-。）'是减函数，

1b

又因为所以,>db>-,

所以（1—a尸<（1—a）"，（1-a）”<（1—，所以A,B两项均错；

又l<l+a<l+8,所以（1+。）“<（1+。）“<（1+。）“，所以C错；

对于D,（l—a）">（1—>（1一。）"，所以（l—a）“>（1-与"，

故选D.

【点睛】

这个题目考查的是应用不等式的性质和指对函数的单调性比较大小，两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，

作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关

系.

11.D

【解析】

利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为c；+c；+c；+G，再利用组合数的计算公式可得所求的种数.

【详解】

混合后可以组成的所有不同的滋味种数为C；+C；+C；+C；=20+5+1=26（种），

故选：D.

【点睛】

本题考查组合的应用，此类问题注意实际问题的合理转化，本题属于容易题.

12.C

【解析】

利用sin2a=2sinacosa,cos2a=1-2sin2a代入计算即可.

【详解】

由已知，4sinacosa=2sin2a.因。为锐角，所以sina/O,2cosa=sina,

即tana=2.

故选：C.

【点睛】

本题考查二倍角的正弦、余弦公式的应用，考查学生的运算能力，是一道基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.0

【解析】

本题首先可以根据a+8=1将H-1化简为-+—,然后根据基本不等式即可求出最小值.

2abbla

【详解】

因为a+b=\>

印、]/+11/+（。+/7）2[ab、＞[a一~brr

所以--------1=---------------1=-+一＞2J-------=V2,

2ab2ahb2aNb2a

0b

当且仅当7=—,即4=夜一1、0=2-五时取等号，

b2a

故答案为：0.

【点睛】

本题考查根据基本不等式求最值，基本不等式公式为a+匕？2痴（a0力＞0）,在使用基本不等式的时候要注意“=”

成立的情况，考查化归与转化思想，是中档题.

1

14.-

3

【解析】

51

设。是8C中点，根据已知条件判断出AP,。三点共线且P是线段AO靠近。的三等分点，由此求得不皿=4,

3ABC3

结合几何概型求得点取自三角形P8C的概率.

【详解】

设。是8C中点，因为PB+PC=AP，所以2Po=AP，所以4P、。三点共线且点。是线段AD靠近。的三等

分点,

故》^=:，所以此点取自.Me内的概率是2.

3ABCJ3

故答案为：—

3

【点睛】

本小题主要考查三点共线的向量表示，考查几何概型概率计算，属于基础题.

15.-40

【解析】

由题意，设等比数列的公比为夕，根据已知条件，列出方程组，求得4,4的值，利用求和公式，即可求解.

【详解】

由题意，设等比数列的公比为4,

«,—a.q-2

因为q=2,。,一/=6,即〈、,,解得4=3,6=一1,

%q-aq=6

"力二（工）.=_40.

所以S4=

1—q1-3

【点睛】

本题主要考查了等比数列的通项公式，及前n项和公式的应用，其中解答中根据等比数列的通项公式，正确求解首项

和公比是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

16.e

【解析】

InX

在不等式两边同时取对数，然后构造函数/（X）=—,求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论.

x

【详解】

不等式两边同时取对数得Inx。＜InX2%，

即X2/"xi〈xi/"X2,又X],%e（0,根）

Inx.Inx,

即一L<--成立,

罚x2

InX

设/(x)=---,(0,m)9

X

VX1<X2,/(xi)<f(X2),则函数/(X)在(0,m)上为增函数,

册册-x-lnx

函数的导数//、x1—inx,

/W=~~x、—

由7(x)>0得l-/”x>0得加

得OVxVe,

即函数J(x)的最大增区间为(0,e),

则m的最大值为e

故答案为：e

【点睛】

本题考查函数单调性与导数之间的应用，根据条件利用取对数得到不等式,从而可构造新函数，是解决本题的关键

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)2eR)(2)

【解析】

(1)先消去参数加，化为直角坐标方程y=再利用丁=。5由8,》="(：05，求解.

p1-20cos。-2=0

(2)直线与曲线方程联立(—兀，得夕2一P一2=0,求得弦长

忸C|=|=卜|+「2)2-和点当5，,到直线/的距离d=当5sin再求^ABC的

面积.

【详解】

(1)由已知消去"，得y=6x,则夕sin。=J^pcos。，

所以6=。，所以直线/的极坐标方程为e=

p1-20cos6-2=0

(2)由，得02_0_2=0,

设B,c两点对应的极分别为,p2,则8+乌=1，pg=-2，

所以忸C|=|月一词=5(2|+夕2)2-4月夕2=3，

又点警5,2『］到直线/的距离〃=冬叵sin(生—工)=石

I33)3I33J

所以5树=；怛［。=乎

【点睛】

本题主要考查参数方程、直角坐标方程及极坐标方程的转化和直线与曲线的位置关系，还考查了数形结合的思想和运

算求解的能力，属于中档题.

7

18.(1)证明见解析(2)-

8

【解析】

(1)由题意，先求得P为8C的中点，再证明平面HM5//平面££>P,进而可得结论；

(2)由题意，当点P位于点8时，四面体£DPC的体积最大，再建立空间直角坐标系，利用空间向量运算即可.

【详解】

(1)证明：当四面体EOPC的外接球的表面积为5兀时.

则其外接球的半径为由.

2

因为ABCD时边长为2的菱形，CDEF是矩形.

ED=\,且平面CDEEL平面ABCD.

则平面ABC。，EC=45.

则EC为四面体EDPC外接球的直径.

所以N£PC=90°,即CBJ_EP.

由题意，CBLED,EPED=E,所以C6，Z)P.

因为N84D=/BCD=60°,所以。为BC的中点.

记AO的中点为M，连接MH,MB.

则MBPOP,MHPDE,DEcDP=D，所以平面HMB//平面EDP.

因为HBu平面HMB，所以“3//平面EDP.

(2)由题意，ED_L平面ABCD,则三棱锥E—DPC的高不变.

当四面体EOPC的体积最大时，ADPC的面积最大.

所以当点P位于点B时，四面体EQPC的体积最大.

以点。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。一孙z.

3

则0(0,0,0),£(0,0,1),8(6,1,0),C(0,2,0).

I222)

(TiiA

所以。3=(6,1,0),DH=,£C=(O,2,-l),EB=(G,1,-1).

I222J

设平面的法向量为〃z=(X]，x，zJ.

DB-m-也X]+x=0,

DH-m=-x,--y,+-z}=0,

令％=1,得，〃=(1,一百,一26).

设平面EBC的一个法向量为〃=(工2，%*2).

EC-n=2y2-z2=0,

EB-n=V3X2+y2-z2=0,

令％=3,得"=(6,3,6b

7

设平面"DP与平面EPC所成锐二面角是。，贝!Jcos。

8

7

所以当四面体EOPC的体积最大时，平面HDP与平面EPC所成锐二面角的余弦值为£.

O

【点睛】

本题考查平面与平面的平行、线面平行，考查平面与平面所成锐二面角的余弦值，正确运用平面与平面的平行、线面

平行的判定，利用好空间向量是关键，属于基础题.

19.(D当a=0时，.f(x)在(一℃,+8)上单调递增；当。＞0时，在(一8,ln(2a))上单调递减，在(ln(2a),+8)上

21

单调递增；当。<0时，/(X)在(-8,ln(-a))上单调递减，在(ln(-a),+8)上单调递增；(2)ae-e4,-.

【解析】

(1)对a分三种情况。=0,。(0,。0讨论求出函数/3)的单调性；(2)对a分三种情况。=0,。(0,。)0,先求出每

一种情况下函数f(x)的最小值，再解不等式得解.

【详解】

(1)f\x)=e2jc-aex-2a2=(ex+a)(ex-2a),

当a=0时，f'(x)=e2x>0,f(x)在(――)上单调递增；

当a>()时，f\x)<0,x<ln(2a),f\x)>0,x>ln(2a),

/(x)在(-8,ln(2a))上单调递减，在(ln(2a),+8)上单调递增；

当。<0时，f'(x)<o,rA/2,f(x)>0,x>In(-tz),

a~T

a=/+c：

/(x)在(-8,山(-幻)上单调递减，在(ln(-a),+8)上单调递增.

综上：当a=0时，f(x)在(一心内)上单调递增；

当。>()时，f(x)在(一8,ln(2a))上单调递减，在(ln(2a),田)上单调递增；

当a<0时，f(x)在(-81n(-a))上单调递减，在(In(-a),+8)上单调递增.

(2)由(1)可知：

当。=0时，/(x)=e">0,a=0成立.

2n(2a)n(2a)22

当a>()时，/(x)min=/(ln(2a))=1e'-ae'-2aln(2a)=-2aln(2a)>0,

ln(2iz)<0,/.0<a<-.

2

2ln(a,n(a)2

当"0时，f(x)min=/(ln(-«))=|e--ae'--2aln(-«)

=^1-—2a2ln(-a)>0,

333

ln(-«)<-^-,^a>_e4,即_/〈”()•

』1

综上“e-e4,-.

2

【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推

理能力.

20.(1)/=4%；(2)|A川=48

【解析】

(D设Q(x,y)，则由题设条件可得，"一炉+/=2xgl,化简后可得轨迹。的方程.

(2)设直线AB:x=〃?)，+〃，联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定理化简0408=32并求得〃=8,结合焦半径

公式及弦长公式可求的值及|AB|的长.

【详解】

(1)设Q(x,y),则圆心的坐标为(gL]}

因为以线段PQ为直径的圆与y轴相切，

所以J(x-1y+y2=2x,

化简得C的方程为尸=4》.

⑵由题意MBHO,设直线=+

联立y1=4x得y2--4〃=0,

设A(%,yJ,B(X2，y2)(其中Y％<。)

所以>i+必=4m,M•必=一4〃,且〃>0，

22

因为0A-0B=32»所以0A-0B=+y%="乂-+X%=32>

16

2

n-4n=32»所以(〃-8)(〃+4)=0,故”=8或九=-4(舍)，

直线AB:x=my+S,

因为AR43的周长为21ABi+2

所以|F+|P8|+|AB|=2|A8|+2.

^\PA\+\PB\=\AB\+2,

2

因为|PA|+1PB\=x1+x2+2=m(y1+y2)+18=4/n+18.

222

又|AB|=y]l+m1^-y2\=\l\+m-^(4m)+128=4和+加,(8+,

所以4m2+18=4和+叫(8+/叫+2,

解得m-±2>/2，

所以|=4^(1+/W2)(8+m2)=4《+8)(8+8)=48.

【点睛】

本题考查曲线方程以及抛物线中的弦长计算，还涉及到向量的数量积.一般地，抛物线中的弦长问题，一般可通过联立

方程组并消元得到关于x或的一元二次方程，再把已知等式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系

中含有%々，西+W或)1%，X+%，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程.本题属于中档题.

3

21.(1)b=5；(2)tan2C=——.

4

【解析】

(1)利用余弦定理得出关于〃的二次方程，结合〃>0,可求出〃的值；

(2)利用两角和的余弦公式以及诱导公式可求出cosC=-cos(A+3)的值,利用同角三角函数的基本关系求出tanC

的值，然后利用二倍角的正切公式可求出tan2C的值.

【详解】

(1)在AABC中，由余弦定理〃+c，2—2儿，cosA=a2得，

/+20—2x26x(b=25,即5=0，

解得8=5或b=—1(舍)，所以8=5；

(2)由cosA=■及0<4<乃得，sinA=Jl-cos2A=Jl-("^了=2个,

所以cosC=cos(兀一(A+3))=-cos(A+—)=-—(cosA-sinA)=,

4'c

又因为0<C<zr,所以sinC=Jl—cos2C=

3回

从而tanC=^g=12^=3,所以tan2c2tanC2x33

cosC710l-tan2C1-324

10

【点睛】

本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系以及二倍角公式求值,

考查计算能力，属于中等题.

27711「4夜

22.(1)xsina-ycosa+2cosa-3sina=0,%2+y2-