数学的现实与实现

PAGEPAGE2数学的现实与实现一.荷兰的教育与世界大多数国家一样,荷兰的基础教分为两个层次:小学和中学。其中4岁到12岁是小学,12到18岁是中学。荷兰的中学教育分为四个教育类别（括弧里是每个类别的英文缩写）:职业预备教育(VBO),12－16岁普通初中教育(MAVO),12－16岁普通高中教育(HAVO),12－17岁大学预备教育(VWO),12－18岁虽然从中学开始分流,但进入中学后的学生在前三年仍然学习统一的课程,然后在VBO、MAVO、HAVO和VWO之间作出自己的选择，并继续各自的学习方向。荷兰的义务教育是从5岁到18岁,其中最后两年可以是部分时间在校学习，。即有些学生需要在职学习。93年以前，荷兰政府颁布的课程标准只是开列出极为简略的学习科目(小学、初中)或考试科目表(高中)。在1998年，荷兰第一次由国家颁布了“5-15数学课程目标”，1999年，第一次由国家颁布了高中（15-18）课程方案，但至今未见高中各学科课程目标颁布。荷兰的教育有其独到之处,这主要体现在以下两个方面:一是高度自由。在我们见到的不同国家的课程标准中,荷兰的课程目标是最简单的，篇幅短，语言简略。荷兰政府不干预学校的具体教学内容和教学方法。一个学习科目具体需要怎么教和怎么学完全由学校和教师们自己决定。学生课本由商业出版社负责出版和发行，不必得到政府的许可，也不用通过权威机构的审查。学校则根据自己的办学理念和教学计划自行决定选用何种教材或教材系列。如果愿意,学校可以选择好几种教材同时使用，也可以一种教材都不选，自行开发供自己学生使用的教材。二是教师有充分的权威。荷兰的教师可以不通过学校的管理人员自己决定与教学工作有关的事务,其中包括可以自行更改上课时间表,当然这种更改是从教学需要和学生的实际情况出发的。教师的权威更体现在教师对学生前途的建议方面。在荷兰,教师的建议对学生的未来最有信用。教师给出的具体建议基本可以决定一个学生将进入何种类型和何种层次的学校接受进一步的教育,其作用远比学生自己的考试成绩重要。二．荷兰的数学教育在如此自由的教育环境中,荷兰的数学教育并没有象想象般的那么“混乱”。相反,荷兰的数学教育水平很高,据“第三次国际数学和科学研究”(TIMSS,1997)的测试结果,荷兰学生的数学成就在所有西方国家中名列前茅。荷兰的数学课程在不同的学校中不仅没有呈现出明显的差别,甚至可以说是统一的。因为几乎所有的学校都在使用统一的数学课程,这就是基于现实数学教育理念的数学课程。现实数学教育与传统数学教育的根本区别在于:传统数学教育是要“教给”学生数学的现成结果,而现实数学教育是要学生自己去再“发现”数学的这些结果。现实数学教育是与传统数学教育迥然不同的新型数学教育。现实(Realistic)一词表达了现实数学教育的如下两个基本特征:1．现实数学教育是现实(realizing)的,即现实数学教育与学生熟悉的生活密切相关,学生通过自己熟悉的生活学习数学,作为教育内容的数学和现实生活中的数学始终紧密的联系在一起;2.现实数学教育是实现(realizied)的,即现实数学教育与数学的“再发现”（re-invention）紧密相连,学生所学的数学知识不是教师课堂灌输的现成数学结果,而是在教师引导下由学生自己发现和得出的结论。三、弗兰登塔尔与现实数学教育现实数学教育与一位荷兰数学家的名字——弗兰登塔尔（H.Freudenthal,1905-1990）紧密联系在一起。弗兰登塔尔是20世纪最伟大、最有影响的数学教育家。现实数学教育就是指由弗兰登塔尔领衔的荷兰数学教育研究集体在近半个世纪的时间里丰富、发展和完善起来的新型数学教育。弗兰登塔尔指导、推动和亲身参与了荷兰的数学教育改革实践，并对20世纪国际数学课程的改革与发展作出重大贡献。我国正在进行的新一轮数学课程改革也受到了弗兰登塔尔现实数学教育思想的影响和启发。了解荷兰的数学课程发展、把握世界数学课程发展的脉搏，就一定要了解弗兰登塔尔的思想和实践。1．弗兰登塔尔其人弗兰登塔尔是著名数学家布劳威的学生。他首先以代数拓扑学和泛函分析研究方面的杰出工作确立了其作为国际著名数学家的地位，曾任荷兰数学会的两届主席。作为著名的数学家,弗兰登塔尔非常关注教育问题,他很早就把学习和教学本身作为自己思考和研究的对象。这一点,弗兰登塔尔与其它人有所不同,其它高水平的科学家开始关注和投入研究教育问题时往往是在他们年老之后,而弗兰登塔尔被教育问题所吸引从很早就开始了。他本人对此有一个非常简单的解释：我一生都是做教师,之所以从很早就开始思考教育方面的问题,是为了把教师这一行做好。H.Freudenthal,DidacticalPhenomenologyofMathematicalStructures,(1983),p335。早在1936年,弗兰登塔尔31岁的时候就在荷兰组织了著名的“数学教育研究小组”(WVO),成为荷兰数学教育研究的领头人。那时,这个小组每个周末都聚集在弗兰登塔尔家里讨论与数学教育发展关系密切的问题。二战期间,由于战争的原因,研究小组的活动无法进行,但弗兰登塔尔仍没有停顿自己的研究工作。他利用在家中独自教育两个儿子的机会,系统阅读了到那时为止的所有关于算术,比例等与小学数学内容有关的出版物,其中包括数学课本,教学参考书,以及一些重要的关于算术教育的教材教法理论书籍等等。即使被关在纳粹集中营里,他的阅读和研究也没有停止。弗兰登塔尔的阅读不仅仅是一般的“读”,而是运用他关于数学和数学史方面的知识把所有这些出版物都“过滤”了一遍。在“过滤”的基础上结合自己对学生学习过程的观察,他在那个时期就已经得出结论:儿童不可能通过演绎法学会新的数学知识。对传统的数学教育目的提出了置疑。1945年,二战刚刚结束,WVO就举行了战后的第一次研讨会,弗兰登塔尔在这次会上作了题为“思维的教育”的报告,阐述了对长期占据他心灵的算术教育问题的看法:“……无论是谁,无论是教阅读,写作,外语,还是算术或数学或物理,总之无论教什么科目,教师尽管可以不知晓如何才能教的准确,但都应当知道他们正在教的是什么。思维不是一种技能,那到底什么是思维呢?我虽然常常用很多时间深入考虑这个问题,但每当我试图得出一些结果,仿佛要抓住这个奇异的思维的时候,却往往是无功而返,我发现自己只是绕着它转圈子,或者说绕着我所观察的世界兜圈子,思维只是在我的身边飞舞,而我却抓不住它。渐渐的,我从中悟出一些道理,考虑思维问题,应该采用更为实践的目光,而不是以过于理论的方式。……。”H.Freudenthal,DidacticalPhenomenologyofMathematicalStructures,(1983),p335。弗兰登塔尔在长期的数学教育研究实践中,逐步形成了适应儿童心理发展,符合教育规律,经得起实践检验,并具有自己独特风格的数学教育思想体系。他积累的研究成果和实践经验,不仅改变了荷兰数学教育的面貌,也通过世界范围的相互交流,极大的推动了国际数学教另外,皮亚杰认为儿童的认知发展是由“贫乏”(poor)的结构到“丰富”(rich)的结构,即由构造简单的结构到构造复杂的结构。弗兰登塔尔指出，事实上恰好相反。以几何为例：M.Klein已经在爱尔兰根纲领中给出了几何的层次结构:拓扑的,投影的,仿射的和欧几里德的。用弗兰登塔尔的话说这就是一个由“贫乏”到“丰富”的结构。因为任何人都会同意，儿童对几何的认识是从画不规则的圆开始的。如果根据皮亚杰的观点,这个例子就已经足够证明儿童的几何知识发展是从拓扑结构开始的。既然儿童差不多都可以在标准的圆和其它不那么标准的圆之间作出区分,是否意味着小学的现代数学课程就应当从拓扑问题开始呢?弗兰登塔尔对皮亚杰认知结构理论的质疑是有力的。同时对皮亚杰的研究也使弗兰登塔尔自己更加清楚的意识到,“对数学教育应该采用更为实践的目光,而不是以过于理论的方式。”FF.Goffree,H.;F:Workingonmathematics,EducationalStudiesinMathematics,Vol。25,1993,P36懂数学的人大概都会认同弗兰登塔尔的观点，因为他的质疑有些象“理发师悖论”、朴素且无可辩驳。认知结构理论对我国数学教育的影响自不待言，了解弗兰登塔尔的看法，会使我们多几分冷静和少一些盲目。（3）弗兰登塔尔对“新数学”的抵制60年代初“新数运动”在世界范围内处于高潮,弗兰登塔尔是当时为数不多的反对者之一。之所以如此,主要基于以下两个原因:一是弗兰登塔尔认为,新数运动的倡导者当中,有许多人虽然是著名的数学家,但对教育方面的问题知之不多,其中有的人此前未做过任何数学教育方面的研究工作,由这样的数学家来主导如此重大的数学教育改革运动是不妥的；二是弗兰登塔尔认为,作为“新数学”出发点的诸如:集合,逻辑,关系等等知识内容过于复杂和抽象,不适宜在学校基础教育中引入。长期的数学教育研究实践,使弗兰登塔尔已经能够区别适合中小学生水平的数学知识内容中,什么是“好”的和什么是“坏”的；什么是有用的和什么是无用的；什么是基本的和什么是重复的；什么是经过深思熟虑和什么是含混不清的。他的观点是,学习数学需要思考,而思考需要实践。所以数学课程首先应当让学生知道他们面对的内容是些什么,要留给学生可以思考和可以动手的空间。如果内容本身象“天外来客”般的让人感到无法琢磨,学生就不知道应该怎样做和怎样思考,就会感到茫然和无能为力。“新数学”之所以给人“学过就忘”的感觉,原因就在这里。HH.Freudenthal,Konstruieren,Reflektieren,BeweiseninphanomenologischerSicht(1979),pp183-200。那时,受“新数运动”影响,荷兰政府也组建了“数学课程现代化委员会”,并开始进行师资培训,打算在中小学引进“新数学”。弗兰登塔尔对此明确表示反对。他在写给该委员会主席的信中指出,数学教育现代化与“新数运动”是完全不同的两回事。“…我看不出为什么要对课程现代化作那么多宣传,这并不是因为我不喜欢现代数学,而是不喜欢把引进现代数学素材作为第一位的任务,我唯一渴望看到的是数学教育的全面改革…。”为了说明作为科学的数学和作为教育的数学的不同功能,弗兰登塔尔作了客观和有说服力的分析,他指出：确实，现代数学是功能强大的。因为仅仅一小块现代数学,就可以解释和说明科学和现实中许多浩繁复杂的现象,经常是几个结构简单的数学公式,就可以给出关系国计民生大计的处理问题模式，而且越是高度抽象的现代数学,其应用领域就越广泛。但这些只表现了现代数学的一个方面。另一方面,抽象就意味着远离现实,数学的系统化、抽象化程度越高,数学离现实情景就越遥远。数学家往往认为,现代数学的力量就体现在它可以脱离产生自己的现实情景而独立存在这一点上。而学校教育应该如何处理系统化与现实之间的关系呢?学校里到底是应该讲授那些作为最终结果的抽象数学结构?还是讲授从丰富的现实情景中抽象出这些结构的数学发现过程?“新数运动”主张的是前者,弗兰登塔尔认为后者才是数学教育的真正目的。因为“……系统化体现了数学的巨大功能,…中学生应当学习数学的这种功能,但我这里所说的学习是指学习形成这种系统化的数学活动过程,而不是系统化的最后结果。因为系统化的最后结果是一个系统,是一个漂亮的封闭的系统,封闭到没有入口和出口……。学生所要学习的不是作为一个封闭系统的数学,而是作为一项人类活动的数学,即从现实生活出发的数学化过程。如果需要也可以包括从数学本身出发的数学化过程……。”H.Freudenthal,Waytoteachmathematics,soastobeuseful,EducationalStudiesinMathematics,Vol。1,1968,P6而“新数学”的内容是一些经过精心组织的,条理清晰的数学结构,因为这样组织起来的内容便于向学生脑子里嵌入成套的数学结构和逻辑的思考方法。所以对“新数学”来说只能采用“灌输”式的教学方式,学生的参与也只能是被动的。这是一种类似于把学生训练成计算机的教育模式,即学生只能被动的执行程序,缺少留给他们自己发挥主动性和创造性的空间。其结果,不仅在计算方面人无法与计算机相比,相反却极大的抑制了学生主动性和创造性的发展。基于此,弗兰登塔尔强调指出，数学教育不能从已经是最终结果的那些完美的数学系统开始,不能采用向学生硬性嵌入一些远离现实生活的抽象数学结构的方式进行。他认为,即使是儿童,也已经具有某种“潜在的发现能力”,他们的思维和行为方式已经具备了某些教师甚至研究人员的特征,让他们重复人类数学发现的活动是完全可能的。数学教育应当从发展这种潜能出发,从学生熟悉的现实生活开始,沿着人类数学发现的活动轨迹,从生活上的问题到数学问题,从具体问题到抽象概念,从特殊关系到一般规则,逐步让学生通过自己的发现去学习数学、获取知识。使学生头脑中已有的那些非正规的数学知识和数学思维上升发展为科学的结论,H.Freudenthal,Waytoteachmathematics,soastobeuseful,EducationalStudiesinMathematics,Vol。1,1968,P6弗兰登塔尔针对“新数运动”提出的观点,在弗兰登塔尔第一部重要的数学教育著作《作为教育任务的数学》(1973)中进行了系统的归纳和阐述。在“新数运动”这样的重大事件面前,弗兰登塔尔没有盲目附合,而是采取一种冷静和客观的分析态度,他对“新数运动”的分析和评价,后来一一被实践所验证。弗兰登塔尔的看法以及他个人在数学教育领域的巨大影响力,使荷兰最终抵制了“新数学”,不仅免受“新数运动”的折腾,而且保持了本国数学教育改革的平稳发展。这种情形在当时的欧洲和整个世界是不多见的。上面几个片段,在一定程度上反映了弗兰登塔尔从事数学教育研究的态度。在“新数运动”这样的重大事件面前、对布卢姆、皮亚杰这样“大家”的观点,弗兰登塔尔不是盲目符合,而是首先持一种分析的态度,投以一种探究的目光。弗兰登塔尔的观点也许有可供商榷之处,但他那种孜孜以求,不断探索的科学精神,是值得我们借鉴和深思的。弗兰登塔尔之所以能够成为国际著名的数学教育家,大概可以从这里找到一些原因吧。（4）弗兰登塔尔亲手缔造了世界著名的弗兰登塔尔研究所。弗兰登塔尔研究所（FreudenthalInst）的前身是成立于1971年的荷兰“数学教育发展研究所”,简称IOWO英文是InstituteforthedevelopmentofMathematicsInstruction。1981年,IOWO归属于荷兰乌特勒之大学,作为一个系级研究所与数学系与计算机系一起组成乌特勒之大学数学和信息科学学院,并更名为“数学与计算机教育中心”英文是CenterformathematicsandComputerscienceEducation简称OW&OC。1990年弗兰登塔尔先生逝世后,为纪念这位数学教育研究的先驱者,该研究所从1992年更名为弗兰登塔尔研究所。英文是FreudenthalInstitute简称FI。这是一个以数学课程发展研究为主,兼及计算机和其它科学学科课程研究的综合性数学课程研究所,英文是InstituteforthedevelopmentofMathematicsInstruction英文是CenterformathematicsandComputerscienceEducation英文是FreudenthalInstituteFI现有专职研究人员近30人,其中包括数学、计算机科学、物理学、心理学和师资培训、教育学研究方面的专家,另外数学系和计算机系的许多研究人员都兼做FI的研究工作。在荷兰国内和世界其它国家还有许多专家,学者参与FI的研究项目,以FI为主导,形成了一个很大的数学教育研究网络,荷兰教育部也与FI有着密切的联系。在荷兰,FI的工作对荷兰的中小学数学课程有着举足轻重的影响。目前80以上的荷兰中小学生正在使用根据FI的研究成果编写或直接由FI研究人员编写的数学课本。在国际上,FI主持和参与了许多关于数学课程发展的研究项目,目前FI正在与美国,西班牙,阿根廷,奥地利,南非,波利维亚等国合作开展这方面的研究工作,合作范围包括:数学课程设计,数学教材及其教学参考书的编写,师资培训,新教育技术特别是计算机辅助教育技术的开发与推广,数学教育基本理论,数学教育评价等许多方面。与FI有合作关系的国家已达50多个。我国已经与FI建立了联系,但目前尚无具体的合作项目。3．弗兰登塔尔的数学课程观弗兰登塔尔对数学课程和数学课程发展的看法可以归结为以下两个基本方面：（1）数学在本质上是一项人类活动,通过数学课程让学生重复人类数学发现的过程是可能的“数学是一项人类活动”是著名数学家布劳威的名言..弗兰登塔尔是布劳威尔的学生,并于1930年担任了布劳威尔的助教。弗兰登塔尔继承了布劳威尔的观点,并把这一观点引入数学教育领域.“数学教育需要发展,应以一种新的观点来认识作为教育的数学和数学学习.归根到底,数学是一项人类活动,所以作为教育的数学也要作为一项人类活动来看待.“学校中的数学不是那些封闭的系统,而是作为一项人类活动的数学,是从现实生活开始的数学化过程…….”学生具有“潜在的发现能力”,他们本身的思维和行为方式已经具备了教师甚至研究人员的特征,在他们身上实现重复人类数学发现的活动是可能的.数学教育应当发展这种潜能,使学生头脑中已有的那些非正规的数学知识和数学思维上升发展为科学的结论,实现数学的“再发现”。根据这样的观点,数学教育不能从已经是最终结果的那些完美的数学系统开始,不能采用向学生硬性嵌入一些远离现实生活的抽象数学结构的方式进行.数学教育应当从学生熟悉的现实生活开始,沿着数学发现的活动轨迹,从生活上的问题到数学问题,从具体问题到抽象概念,从特殊关系到一般规则,逐步通过学生自己的发现去学习数学、获取知识得到抽象化的数学知识之后,再把它们应用到新的现实问题上去.按照这样的途径发展,数学课程就能够地沟通生活中的数学与课堂上数学的联系,有益于学生理解数学、热爱数学和使数学成为他们生活中有用的本领。数学课程，应当是引导学生重复人类数学发现的过程、实现数学再发现和再创造的过程的课程。（2）数学课程应当从学生熟悉的现实生活开始和结束.根据弗兰登塔尔的观点,数学课程不能从已经是最终结果的那些完美的数学系统开始,不能采用向学生硬性嵌入一些远离现实生活的抽象数学结构的方式进行。数学课程应当从学生熟悉的现实生活开始,沿着数学发现过程中人类的活动轨迹,从生活中的问题到数学问题,从具体问题到抽象概念,从特殊关系到一般规则,逐步通过学生自己的发现去学习数学、获取知识.得到抽象化的数学知识之后,再及时把它们应用到新的现实问题上去.按照这样的途径发展,数学教育才能较好地沟通生活中的数学与课堂上数学的联系,才能有益于学生理解数学,热爱数学和使数学成为生活中有用的本领.弗兰登塔尔倡导的这种数学课程经过三十年来荷兰几代数学教育工作者的探索和实践,得以不断丰富、完善和发展,形成了今天的富有特色的荷兰现实数学课程。4．荷兰现实数学课程的特征弗兰登塔尔的数学课程观在实践中不断丰富、完善和发展,形成了今天富有特色的荷兰现实数学课程。现实数学课程有如下五个基本特征:a.运用情景问题;b.采用模式;c.学生自己得出的结论和创造是课程内容的一部分;d.教学过程重在交流;e.不同数学内容相互交织在一起.上述特征包括了数学教学和学习两个方面，弗兰登塔尔的数学课程观通过这五个方面得以具体体现。其中的两个核心概念是：情景问题、数学化。情景问题解释了数学课程如何从学生熟悉的现实生活开始和结束；数学化则具体指出怎么才能使数学课程帮助学生重复人类数学发现的过程。下面分别做些分析：（1）.情景问题传统的数学课程内容是作为科学的数学的一部分,它提供的是一些现成的数学结构和结果.按照弗兰登塔尔的思想,这些内容是不能直接用于课堂的.学生应当通过他们自己的再发现重新构建这些数学结构.所以,数学课程应从现实生活出发。具体到课本上,数学课程应当从与现实生活密切相关的情景问题出发,学生在课堂上通过这些情景问题自己去发现数学概念和解决实际问题.现实数学教育中的情景问题是指那些与学生熟悉的现实生活有关的问题。情景问题是直观的和容易引起想象的数学问题.情景问题的特点是,问题的数学背景包含在丰富的现实情景之中,而且与学生已经了解或学习过的数学知识相关联,特别地,与那些学生已经具有的、但未经训练和不那么严格的数学知识相关联.如果条件合适,情景问题可以就是现实生活中的真情实景.另外,由于情景问题是学生自己作出发现的土壤,所以任何有利于数学发现的问题都可作为情景问题,其中包括一些抽象的数学系统和传说中的故事,神话,童话等等,它们虽不具备真情实景,但同样是学生作出数学发现的源泉,是课堂讨论的基础,学生通过情景问题去发现新的数学概念,通过自己的发现去解决新的情景问题.情景问题是现实数学的出发点,也是学生应用数学的领域.现实世界与数学世界之间,具体与抽象之间的联系就是用情景问题建立并沟通的.现实数学课程的教材内容完全是由这样的情景问题串连而成.可以说,现实数学教育的课本形式就是“情景问题串”。在本章后面“教材实录”一节，将具体介绍“情景问题”在数学课本中的具体表现。（2）数学化数学化是现实数学课程的主题.现实数学课程是关于数学再发现的课程。这里的“再发现”就是数学化.所以,现实数学教育亦可称为关于如何实现数学化的教育.数学化是现实数学教育思想体系中最重要的概念.一般说来,数学化是一种由现实问题到数学问题,由具体问题到抽象概念的认识转化活动,是人类发现活动在数学领域里的具体体现.现实数学课程中所说的数学化,泛指学习者从一个具体的情景问题开始,到得出一个抽象数学概念的教育全过程,具体说来,现实数学课程所说的数学化可分为先后两个层次:水平数学化和垂直数学化.水平数学化是指由现实问题到数学问题的转化,是把情景问题表述为数学问题的过程.大体包括以下内容:·确定情景问题中包含的数学成分；·建立数学成分与已知的数学模型之间的联系；·通过不同方法使这些数学成分形象化和公式化；·找出蕴含其中的关系和规则；·考虑相同数学成分在不同情景问题中的表现；·作出形式化的表述；水平数学化是发现情景问题中的数学成分,并对这些成分做符号化处理的数学化过程,是从现实生活到数学符号的转化.通过水平数学化,一个现实问题转化为数学问题.垂直数学化是在水平数学化之后进行的数学化,是从具体问题到抽象概念和方法的转化,是建立数学问题与数学形式系统之间关系的过程.垂直数学化大体上包含以下内容:·用数学公式表示关系;·对有关规则作出证明;·尝试不同数学模型的建立和使用;·对得出的数学模型进行调整和加工;·综合不同数学模型的共性,形成功能更强的新模型;·用数学公式和语言精确表述得到的新概念和新方法;·推广和一般化.垂直数学化是在数学的范畴之内对已经符号化了的问题作进一步抽象化处理的数学化过程,是从符号到概念的转化.在经过数学化得到一个新的数学概念之后,还需要对已经得到的概念,模型,技巧作进一步的理解和把握,下面这些活动也是数学化的一部分:·对得出的结果作出解释和说明;·对得到的模型和方法的适用范围进行讨论;·回顾,总结和分析已经完成的数学化过程;·应用.在许多情况下,水平数学化和垂直数学化的界限是不那么分明的.现实数学课程以实现数学化为目标,体现了现实数学教育与传统数学教育的根本区别:传统数学教育是要“教给”学生数学的现成结果,而现实数学教育是要学生自己去再“发现”数学的这些结果.荷兰从60年代末开始,卓有成效的实现了从传统数学教育向现实数学教育的改革。目前,目前,百分之八十的小学课本和百分之百的中学(包括初,高中)课本是基于现实数学课程的理念编写的，几乎所有的荷兰中小学生都已经在使用根据现实数学教育思想编写的数学课本。荷兰数学教师队伍的主体,已经由在现实数学教育思想熏陶下成长起来的新一代构成。现实数学教育的思想、观点和教学方法也已经被荷兰政府,社会和大众所接受。纵观世界各国的数学教育改革,荷兰的改革是全面和彻底的。而且值得一提的是,与许多国家数学教育改革过程中出现的轰轰烈烈、大起大落的情形不同,荷兰的数学教育改革一直以稳定、循序渐进的方式进行,于“悄悄然之中完成了数学教育领域里的一场革命”。A.Treffers,(1991)RealisticmathematicseducationintheNetherlands1980-1990,Realisticmathematicseducationinprimaryschool,Tech。Culemborg,P.11。今天的现实数学课程已经具有了世界性的影响。对荷兰这样一个教育环境高度自由和教师有充分权威的国家,现实数学教育所取得的支配地位,A.Treffers,(1991)RealisticmathematicseducationintheNetherlands1980-1990,Realisticmathematicseducationinprimaryschool,Tech。Culemborg,P.11。在本章后面“教材实录”一节，将具体介绍“数学化”在数学课本中的具体表现。四．荷兰最新的(5-15)数学课程目标荷兰颁布的新数学课程目标充分吸收了现实数学课程的理念和实践。在93年之前,荷兰没有一般意义上的国家数学课程标准.从98年起,荷兰政府教育与科学文化部开始颁布全国统一的“教育获得性目标”(attainmenttargets),这是一个类似于我国国家课程标准的政府文件,具体刻划了荷兰中小学生毕业之前必须学到的内容和应当达到的起码标准。“获得性目标”分为跨学科目标(cross-curricularattainmenttargets),每个学科的一般性目标和具体课程目标三个目标层次。因文字不多,故分小学和中学逐一完整介绍,除中间作一些必需的解释之外,最后再一并作出评述。1．小学(5-12岁)小学阶段的跨学科目标跨学科目标是任何一门课程都应当指向的目标.是基于教育应当有助于学生情感和认知的发展,应当有助于学生创造性和探索精神的发展,应当有助于学生形成在社会生活中有用的技能等方面提出的。具体分为6个方面:工作态度（1）学生对他们周围的世界感兴趣并且主动去探索这个世界:a。他们能提出具体的问题;b。他们能找出问题中相关的关系并加以运用;c。他们喜欢学习新事物;d。即使不能马上成功,他们也不会轻易放弃。按计划工作（2）学生能提出计划并根据这个计划采取行动:a。他们能把一个目标形式化;b。他们能使自己置身于一个计划当中;c。他们能弄懂什么是形成一个简单问题的原因及其影响;d。他们能根据c得出有关的结论;e。他们能一步一步的组织和开展更大一些的活动;f。最后,他们能对自己的计划好不好作出判断;g。他们能通过解释、谈话、书面或其它方式提供和展示他们的成果。运用多种学习策略（3）在开展学习活动时,学生能使用多种学习策略和技巧。a。他们能把自己的精力集中在问题上同时也要求别人这样做;b。他们能依据观点对实事作出分类;c。他们能从其它来源,包括象词典、地图册、资料等等搜集和处理有关的信息;d。他们能一起工作,相互之间展开讨论并得出共同的结论;e。最后,他们能对自己的策略好不好作出判断;自我认识(Self-image)（4）学生能学会了解和把握自己能力的可能性和极限。a。他们有自信;b。他们能控制自己的冲动行为;c。他们能够和敢于为保护自己的利益挺身而出。社会行为（5）学生能作为集体的一员为集体作出积极贡献。a。他们能尊重他人;b。他们的行为遵从一般的社会规范和价值观;c。他们尊重不同的宗教和文化;d。他们敢于当着众人的面发言;e。他们尊重他人的情感和愿望;f。他们敢于支持个人的不同观点;g。他们能对承担的任务负起责任。新信息技术（6）学生能有目的和负责任的使用新信息技术提供的交流工具。a。他们能使用计算机文字处理软件打印和编辑文档;b。他们要有一般的关于数字化信息媒体的认识;c。他们能使用计算机提供的数字化学习资源。小学阶段数学课程的一般性目标:建立教育的数学与学生日常生活中的数学之间的联系;获得基本的技能,懂得简单的数学语言,并能应用于实际情形;对自己的数学活动进行思考并能对这些活动结果的正确性作出检验;认识和探索简单的关系,规则,模型和结构;描述探究的过程和用自己的语言进行推理并应用他们。小学阶段数学课程的具体目标：包括一般能力,笔算,比和百分比,分数和小数,测量和几何六个部分。（A）一般能力:（1）学生应能通过不同的单位作向前和向后的计算(countforwardsandbackwards,意指结合生活中的情景作加减法,如计算公共汽车上变化的乘客人数)。（2）学生应知道10以内的加法表和乘法表。（3）学生应能有效的运用他们各种与运算有关的知识,通过心算(mentalarithmetical)解决简单的计算任务。（4）学生应能做估算,包括与小数和分数有关的估算,并能对估算结果的正确性作出大体上的判断。（5）学生应能对数的整体结构和小数的位值制有所了解。（6）学生应能在对算法理解的基础上使用计算器。（7）学生应能把以非数学形式呈现的简单问题转换为数学问题的形式,这种形式也可以是学生自己发明的。（B）笔算:（8）学生应能做正规的加、减、乘、除运算,或能做非正规的上述运算,并能在简单的情景问题中应用。（C）比和百分比:（9）学生应能比较比率。（10）学生应能解决简单的比率问题。（11）学生应知道百分比的概念并能结合简单情景问题做实际的百分比计算。（12）学生应理解比,分数和小数之间的关系。(D)分数和小数:（13）学生应知道分数和小数之间的区别。（14）学生应能在数直线上标明分数和小数的位置并且能把分数转化成小数;作这种转化时可以使用计算器。（15）学生应能结合简单的情景问题对分数和小数做出比较和做简单的加减除乘运算。(E)测量:（16）学生应能读懂时间和在日历的帮助下计算时间段。（17）学生应能处理与日常生活有关的计算钱数的问题。（18）学生应知道最重要的量及其与之对应的单位之间的关系。（19）学生应知道常用的长度,面积,容积,时间,速度,重量和温度单位,并且能把他们应用到简单的情景问题中去。（20）学生应能读简单的表格和图示,并且能自己动手通过对简单情景问题中量进行测量进而构造出这样的表格和图示。(F)几何:（21）学生应具备一些基本的几何概念,通过这些概念他们能以几何的方式把握和刻划空间。（22）学生应能运用空间推理。为此,他们应能使用积木块建筑,平面图,地图,照片,以及关于位置,方向,距离和比例尺方面的信息。（23）学生应能解释阴影形成的原因,能制作一些图形,能设计和构建规则物体的积木模型。2．中学(12-15岁):中学阶段的跨学科目标具体分为6个方面:个人与社会(cross-disciplinarythemes)根据保持人与社会之间关系的广泛性和平衡性的考虑,学生应在与其息息相关的个人环境和广阔的社会环境中,获得对自己所处位置的认识。具体说来:a.认识和把握自己的行为标准和价值观,同时尊重他人的行为标准和价值观;b.认识和处理不同性别之间的相似和不同;c.了解人与自然之间的关系,具备可持续发展的概念;d.在一个民主和多文化的社会以及在国际社会中做一个积极的公民;e.在个人的生活中以及交通方面能充分考虑自己和公众的安全;f.了解技术的发展,包括现代信息和交流技术的发展对社会的重要意义;g.了解有偿工作和义务工作的社会重要性;h.了解艺术,文化包括媒体方面的成就及未来发展。学会做在已经意识到并且是可能做到的情况下,学生应当学会如何进一步拓广自己的学习技能,学会在需要时利用信息和交流技术。对这些技能的具体表述是:a.懂得荷兰语和英语的书面语言和口头语言;b.正确的写、说荷兰语;c.通过不同来源发现、选择、获取和整理信息;d.运用如心算、笔算、测算和估算等运算技能;e.依照环境、卫生、健康和生物工学的标准行事;f.安全和有效的使用有关材料、工具和设备;g.使用计算机。学会学习学生应当学会如何获取知识和技能,学会在需要时使用信息和交流技术。为此,他们应当学到一些改善学习过程的方法和手段。对这些方法的具体表述如下:a.能根据真实性、代表性和有用性对信息作出评估,处理和利用;b.运用获取额外知识和技能的方法,其中包括对现有知识的记忆、作笔记、归纳整理和确认;c.理解通过文字或和口头获得的信息时采用的方法;d.在充分考虑的基础上作出选择;e.具体而系统的探讨一个简单的技术、科学或社会问题;f.运用文字、声音、形象和动作表达个人的经验并使别人明白;g.在共同讨论的基础上进一步发展个人的观点。学会交流学生应学会如何在相互交流的基础上,进一步发展那些必需的社会技能和交流技能。对这些技能的具体表述是:a.尊重基本的社会规范;b.能作为集体中的一员说话和行事;c.运用适当的讨论技巧;d.识别和对待不同的观点;e.认识和处理不同文化背景的相似性和差异性;f.处理正式和非正式的安排、规定和步骤;g.展现自己和自己的工作。学会思考学习过程学生应通过思考他们自己的学习表现,学会分析和把握学习过程。具体表述是:a.有计划的学习;b.跟踪和检查自己的学习过程;c.结合一项简单工作及其过程,作出评价,得出结论并进一步的应用。学会思考未来学生应通过对他们自己表现的思考,学会分析对未来的展望及兴趣方面的观点。具体应关注下列方面:a.清楚个人的能力和兴趣;b.能找出进一步学习的方向;c.认识通过学校教育获得的知识,理解能力和技能的地位及其重要性;d.就业和职业;e.安排空闲时间的方式。中学阶段数学课程的一般性目标使学生:发展对待工作的数学态度,包括在系统和讲究方法的基础上从事工作,对有关资料和结果能作出有探索性的评价和推广,能创造性的接近一个问题的结论;通过交流和数学思维等数学活动发展数学语言,并熟练的使用数学语言;获得对数学的鉴赏能力,通过发展与数学思维相关的情感和从数学活动中获得的愉悦提高建立在自己数学能力基础上的自信心;了解数学在其它学科领域中的应用;获得的数学知识,理解能力和技能无论对今后继续接受教育,就业还是参与社会活动都有用。中学阶段数学课程的具体目标包括算术,测量和估算,代数关系,几何,信息处理和统计四个领域:A:算术,测量和估算(1)学生应能在解决计算问题时选择使用心算,用计算器和笔算等多种方法。注:应能对所需要的算法作出恰当的选择,并能正确的使用这种算法。(2)学生应能正确的使用计算器,特别地,应能运用计算器把分数,百分数,根和幂转换成有限小数。(3)学生应能根据有关的参考资料估计一个计算或测量的结果,并能通过检验来判断这个结果是否在容许的范围内。(4)学生应能了解长度,面积,体积,时间,角度和货币常用的计量单位,并能运用这些单位进行计算。(5)学生应能作包括比率和比例尺的计算。(6)学生应能通过与实际关联的情景了解和认识负数,并能作负数的加减法。(7)学生应能懂得比率,分数和小数之间的相互关系,并能运用数学模型进行简单的包括比率,分数和小数的运算。B:代数关系(8)学生应能运用表达式,表,曲线图或公式四种形式刻划两个变量之间的关系,或通过其中任何一种形式推导出这样的关系。(9)学生应能运用上述形式描述两个量之间的变化关系。(10)学生应能作出上述四种形式之间的相互转换。(11)学生应能读懂,比较和说明关系,并在解决实际问题时结合表达式,图,曲线图和公式使用。(12)学生应能认识和说明简单关系的特征性质,如与实际情景有关的已知量的最大,最小值问题。(13)学生应能对数的模型和数表作出定义,描述和设计规则。(14)学生应能通过一个已知的曲线图,一般是在该图一个确定的区间上,判断该曲线图表示的关系是否连续,上升,下降或是否存在周期性。(15)学生应能通过参考一个曲线图上的特殊点及该曲线图的整体形状,对这个关系作出描述并得出相应的结论。(16)学生应能用具体的数对一个公式中的变量作代换,并计算该公式的值。(17)学生应能确定或估计是否两个简单关系能得出相似的结果,并能在一个区间上判断一个关系是否比另一个关系大。(18)学生应能运用简单的计算机程序解决包括两个量之间关系的问题。C:几何(19)学生应能对三维物体的二维表示作出解释和说明,能画出直观的平面立体图,能作成比例缩小的处理及其它更进一步的处理,这些可以在纸上进行,也可以借助计算机的屏幕显示。注:这里的“表示”是指照片,模型图,平面图,地图,结构图等等。(20)学生应能通过参考真实物体和三维图形表示完成一些实际任务。他们应能画正视图,俯视图,能根据平面图构造模型,能作出的三维平面图的比例图(21)学生应能估算,测量和计算二维和三维物体的角度,大小(长宽高),面积和体积。(22)学生应在画图,计算角度、尺寸和推理的过程中熟悉角的性质和几何术语如“平行”,“垂直”和“方位”等等。(23)学生应能描述几何模型和物体的规律(regularity)和性质,并能在对这样的模型和物体进行计算,推广和调整的过程中运用这些知识。(24)学生应能在画图,计算,解决实际问题和推理的时候使用工具。注:这里的工具指直尺,量角器,圆规以及学生自己做的工具,计算机。D:信息处理和统计(25)学生应能在解决实际问题时使用图表和其它具有直观性的信息源,并能确定一个信息的直观呈现形式是否恰当。(26)学生应能阅读和说明统计资料表示。他们应能以表格,曲线图或图示的形式加工和整理这类资料,以及运用扇形图(centreindicators)纪录这些资料的特征。(27)学生应能根据统计研究的目的而系统的获取,表述和整理资料。(28)学生应能运用计算机程序处理统计资料,并对得出的结果作出解释。(29)学生应能根据简单的实际情景运用数学模型对未来可能发生的事件和未来可能的发展作预测。简短评述十分明显,荷兰的“目标”是一个非常简单的“目标”。中小学加在一起只要五十几条。其中下面几点值得我们注意:（1）荷兰的三个目标层次之间联系非常紧密,跨学科目标和具体数学课程目标之间的关系比较清晰。跨学科目标是总的发展目标。它具体刻划了教育应当怎样通过课程实现学生的情感和认知发展,孕育创造性和探索精神,如何形成在社会生活中有用的技能。跨学科目标就是培养现代公民的基本能力目标,是任何一门课程的一般性目标和具体目标都要指向的目标,是整个课程目标的核心,非常重要。需要注意的是,我们在实践中往往比较关注具体目标而不大注意总的发展方向,所以在考虑我们自己的数学课程标准时,具体目标的设置是要时刻比照总目标进行的,应当尽力使具体目标和总的发展方向之间的联系呈现清楚。（2）这个目标把学生的生活体验纳入具体目标体系,充分体现了现实数学教育所取得的进展,吸收了荷兰数学教育已经发生的变化,例如:在小学阶段更加注重心算和估算;取消了形式化的分式运算,学生只需结合简单的具体情景计算分数问题,;几何被正式纳入小学数学课程内容;肯定了可以在小学课堂上使用计算器等等。在中学阶段更加注重数学与实际的联系,几乎处处从实际任务(praticaltasks)和具体情景出发学习数学概念和方法;取消了代数式的形式化运算,用代数关系取代了传统意义上的函数概念;几何以建立科学的空间观念为主题,内容始终围绕真实物体与平面图形之间的相互关系展开;以分析资料,形成推断,作出检验,呈现结论为内容的信息处理和统计被正式纳入中学数学课程;肯定了在中学课堂上使用计算机程序辅助教学和解决实际中的具体问题等等。需要注意的是,与我们见到的一些其它国家的数学课程标准相比,有许多在国际上已经广泛采用的数学内容在这里没有被提及,如问题解决,概率,组合数学,线性代数,逻辑,运筹等等,甚至没有提到方程,其中的原因可能或多或少与这是一个“起码”或“最低”目标有关,其它方面的原因则值得研究。（3）荷兰的目标是一个“菜单”式的标准,其中每个“目标”的自由度都非常大,具有足够的“弹性”。这就给数学课程发展研究和教师的实际教学活动留出了充分的空间,有助于对具体的课程内容设置和实施方案的探索性研究,也有利于教师根据实际情况安排和调整教学。由于这是一个最低的目标,研究人员和教师在制订和实现更高层次目标方面可以充分进行探索和创造,从而在整个数学教育系统中起到更为积极的作用。需要注意的是,传统数学课程标准的目标制订的过于具体和清晰,其功能有点象推动数学教育实践的发动机。虽然极具操作性,但一经启动,供教师和研究人员发挥的空间就十分狭窄了,这方面,荷兰人的作法值得借鉴。（4）在荷兰的中小学课程目标中,数学课程目标与其他学科的目标相比，所使用的文字和篇幅都比较少,甚至比音乐,舞蹈课程标准的文字叙述还要少。这一点似乎与数学课程在整个基础教育中的核心地位不符。荷兰人这种过于“简单”的描述,虽然留给研究人员和教师足够的空间,同时也可能不足以帮助和支持教师的日常教学工作。对教材编制人员来说,这些“目标”包含的目标信息也是份量不足。虽然作为“课程目标”,表述太复杂,太精确不好,但过于简单也难于成为检验教学效果的重要依据。人们总是习惯于通过“目标”来判断一本课本是否可能成功,也总是希望一个“标准”应当精确到足以被用来作为检验和评估教学状况的尺度,尽管这样作会失去很多“空间”。需要注意的是,既要留出空间,又要有所遵循,毕竟,荷兰人为我们提供了一个留出“空间”的范例。3．高中（16-18）课程与数学课程荷兰中等教育的前3年(12-15岁)所有学校学习统一的课程内容。15岁之后开始根据不同的类型学习不同的课程。学生升入何种类型学校的依据主要是国家统一的毕业考试和教师的建议。一般情况下,教师的建议比学生的考试成绩更重要。另外,不同类型的中等教育之间是可以相互兼容的,学生既可能从较低靠向较高类型,也可能从较高转向较低类型,这要由学生的具体学习情况来决定。荷兰的高中分为两种类型:普通高中(HAVO,12-17岁)和大学预科(VWO,12–18岁)。从普通高中(HAVO)毕业后继续接受高等职业教育(HPO),从大学预科(VWO)毕业后继续接受普通高等教育,即上大学(WO)。99年以前,荷兰的高中课程分为文科和理科两个课程方向,将在大学学习人文和社会科学专业的学生选择的课程方向是文科,将在大学学习自然科学的学生选择的课程方向是理科。文科学生学习的数学课程称为“数学A”,理科学生学习的数学课程称为”数学B”。荷兰的中等教育实行全国统一的毕业考试。其中VBO,MAVO,HAVO总共考6门,VWO考7门。除荷兰语和一门外语是必考的科目之外,其余科目由学生自选。98年以前,学生只要在毕业前两年选择好考试科目就可以了。如果一个学生不打算在大学学理科专业,那就可以不选数学,物理一类的考试科目,既然不参加考试,当然这些科目也就不用学了。所以有相当一部分中学生在接受中等教育的最后两年已经不再学任何与自然科学有关的科目了。显然,这样的知识结构是有缺陷的。从99年开始荷兰高中课程提出了一个新的改革举措，这个举措使数学成了绝大多数荷兰高中生必须通过的毕业考试科目。（1）荷兰高中课程改革的一个新举措从1999年8月1日起荷兰政府对高中课程重新加以规范,把原来的两个课程方向进一步细化,规定了四个新的课程方向=10\*romanx=10\*romanx引自”SecondarySchoolaguideforparents,guardiansandpupils,1999”,OcenW,1999a.文化和社会b.经济和社会c.科学和健康d.科学和技术其中a.b仍然是文科,c.d仍然是理科,但比原来区分的更细了。其中每个课程方向都要包括三部分内容:这四个方向通用的内容本方向必学的内容选学的内容这是荷兰教育改革的一个重要举措,目的是让荷兰中等教育和高等教育之间衔接的更自然,转换的更平滑。使学生所受的中等教育更加规范,更加有序。这不仅对学生继续接受高等教育有用,更重要的是对那些不再继续接受高等教育的学生来说,这些课程可以保证他们在进入社会之前能获得足够全面的数学知识准备。荷兰的中等教育以VWO在校学习时间为最长(6年)。教学时间以每年40周,每周40小时计算,VWO总的教学时数大约在4800左右。HAVO比VWO短一年,总的教学时数大约在3200左右。其中通用的内容时间约占一半,方向必学的内容时间约占三分之一强,其余为选学内容时间,而大约一半左右的选学内容又是由不需要考试的科目(如宗教课程等)构成的。容易看出,这些课程方向提供给学生自由选择的范围是相当狭窄的。根据这些课程方向,每个学生要在毕业前三年(HAVO是前两年)选定一个方向,并按该课程方向的要求学习。其毕业考试科目要在自己选定的课程方向中确定。例如,数学是所有这四个课程方向都包括的必学内容,因此成为了绝大多数荷兰高中生必须通过的毕业考试科目。既无论你喜欢与否,都必须把它学好。以前那种毕业前两年就不用学数学的情况已经不可能了。下面是荷兰政府颁布的这四个新课程方向的详细课程计划=11\*romanxi=11\*romanxi引自“HAVO&VWO:Detweedefase”,NRCHANDELSBLAD(报纸),26Mar,1998。VWO(大学预科)3年共4800学时必学部分选学部分通用部分1。文化和社会首选科目西班牙语(480)俄语(480),意大利语(480)阿拉伯语480)土耳其语(480)次选科目生物1(160),经济1(280)一般科目社会学2(360),组织管理学(360),信息学(280),体育2(280),文化与艺术(200),文化与艺术2(200),文化与艺术3(280),其他VWO必学部分之外的专业内容。需经权威部门审定后设置的其它类型的科目,如宗教课程等等。荷兰语(480)英语(400)法语1(160)德语1(160)拉丁语(480)或希腊语(480)文化和艺术1(200)古代文化(200)一般自然科学(200)历史和社会科学(200)体育1(160)文化与艺术(480)历史(360)第一外语哲学(320)或第二外语上述课程之外的其它专业课程外语从下列语种任选:法语(320),德语(320),希腊语(480),佛拉芒语(400),拉丁语(480),西班牙语(480),意大利语(480),俄语(480),阿拉伯语(480),土耳其语(480)数学A1(360)或数学A1&2(600)或数学B1(600)或数学B1&2(760)2。经济和社会地理(360)历史(360)经济1&2(520)上述课程之外的其它专业课程数学A1&2(360)或数学B1(600)或数学B1&2(760)3。科学和健康物理1(360)或物理1&2(560)生物1&2(480)上述课程之外的其它专业课程数学B1(600)或数学B1&2(760)化学1(400)或化学1&2(520)4。科学和技术数学B1&2(760)物理1&2(560)化学1&2(520)上述课程之外的其它专业课程

HAVO(高级普通中学)2年共3200学时方向必学部分选学部分通用部分1。文化和社会首选科目西班牙语(360),俄语(360)意大利语(360),阿拉伯语(360)土耳其语(360)次选科目法语1(160),德语1(160),西班牙语1(160),俄语1(160),意大利语1(160),阿拉伯语1(160),土耳其语1(160),佛拉芒语1(160)一般科目社会学(200),组织管理学(280),信息学(240),体育2(240),哲学(360),文化与艺术2(120),文化与艺术3(240),其他HAVO必学部分之外的内容。需经权威部门审定后设置的其它类型的科目,如宗教课程等。与HAVO必学部分内容协调一致的某些VWO必学部分的内容。荷兰语(400)英语(360)从下列语种任选(160):法语1,德语1,佛拉芒语,西班牙语,意大利语,俄语,阿拉伯语和土耳其语一般自然科学(160)历史和社会科学(160)文化和艺术1(120)体育1(120)文化与艺术(230)经济1(200)或经济1&2(440)外语历史(240)上述课程之外的其它专业课程外语从下列语种任选,均为200学时:法语,德语,佛拉芒语,西班牙语,意大利语,俄语,阿拉伯语,土耳其语数学A1(160)或数学A1&2(260)或数学B1(320)或数学B1&2(440)2。经济和社会地理(200)历史(240)经济1&2(440)上述课程之外的其它专业课程数学A1&2(280)或数学B1(32)或数学B1&2(440)3。科学和健康物理1(240)或物理1&2(440)生物(320)上述课程之外的其它专业课程数学B1(320)或数学B1&2(440)化学(280)4。科学和技术数学B1&2(440)物理1&2(440)化学1&2(280)上述课程之外的其它专业课程简短评述:(1)荷兰这个改革举措的目的非常明确,提出这四个新的课程方向,就是要让中等教育和高等教育之间衔接的更自然,转换的更平滑。使学生所受的中等教育更加规范,更加有序。这不仅对学生继续接受的高等教育有用,而且对那些不再继续接受高等教育的学生来说,这些课程可以保证他们在进入社会之前能获得足够全面的知识准备。(2)荷兰这个改革举措既有详细的课程计划又为进一步的课程研究留出余地。这一方面体现在该计划本身除已详细开列的课程之外,还允许设置”其它”课程。另一方面,以数学课程为例,这个课程计划只是对这四个不同方向上的数学课程作出区分,即依次分为数学A1,数学A2,数学B1,数学B2。至于每个方向上需要学什么样的数学,为什么要学这样的数学,需要学到什么程度等等,则完全由专业研究人员和教材编写人员决定,这就为课程设计和教材编写留出了充分的探讨空间。目前已经见到的新版”数学B”教材有:现代数学(ModerneWiskunde),网络(Netwerk),大数和空间(Getal&Ruimte,),瓦格宁根方法=12\*romanxii瓦格宁根(Wagening)是荷兰北部一城市名,因为该教材是由一个以当地学者为主体的有影响的数学教育研究集体编撰的,故因此命名。(deWageningseMethode)=12\*romanxii瓦格宁根(Wagening)是荷兰北部一城市名,因为该教材是由一个以当地学者为主体的有影响的数学教育研究集体编撰的,故因此命名。但是，荷兰仍然没有像（5-15）那样制定国家高中的数学课程“教育获得性目标”。不过，现实数学课程在荷兰的发展已经有了差不多30年的历史,小学，初中和高中文科的现实数学教材都已经取得了成功。但在1999年之前，除了零散的材料，还没有系统的高中理科现实数学课程和教材。当时也有这样的看法，认为低学段实现数学化比较容易,而在高中阶段，特别是高中理科使数学贴近生活,生动有趣,搞数学化就比较难了。高中数学课程如何从现实情景出发实现数学化,如何从实际生活进入数学的抽象层面,为接受高等教育作准备，是现实数学课程发展的一个引人注目的课题。伴随着上述高中课程改革举措，这一课题的解决方案和新教材已经出现了。荷兰政府这个从调整课程方向入手的改革举措,有力的推进了荷兰高中数学课程的发展,使荷兰高中数学课本的面貌发生了很大变化。数学是所有这4个课程方向都必学的内容,在这四个不同方向上的数学课程依次分别为:数学A1,数学A2,数学B1,数学B2。根据新的课程方向,荷兰的Freudenthal研究所开发了符合荷兰政府课程改革要求,同时按照弗兰登塔尔现实数学教育思想实现建模,抽象和推理三者的融合,统一和平衡的新高中数学B1,B2课程和教材--Profi。（2）荷兰高中现实数学课程和教材的面貌Freudenthal研究所作为一个世界著名的数学课程发展研究中心,是当代现实数学课程研究的一个策源地。该所从80年代中期到90年代初期曾经成功开发了一套在世界上有一定影响的“数学A”教材,其中的素材仍然被目前荷兰新版“数学A1,A2”教材广泛采用。这次新开发的Profi第一次展示了高中理科的现实数学课程和教材面貌。这套名为Profi的高中现实数学教材内容包括函数,微积分和几何，共12册基本教材，每册供40学时之用。其中与函数和微积分有关的8册是:（1）和与差,距离与速度(Som&Verschil,Afstand&Snelheid)。（2）微分的技巧(deTechniekvanhetDifferentieren)（3）极值(Optimalieren)（4）循环与周期函数(Cirkelbewegingen)（5）积分(Integreren)（6）加速运动的数学模型(Trillingspatronen)（7）连续动力系统模型(ContinueDynamischeModellen)（8）无限的规则(EindelozeRegelmaat)与几何有关的4册是：（1）距离,边界和区域(Afstanden,grenzen&gebieden)（2）关于圆和直线的思考A(DenkenincirkelsenlijnenA)（3）关于圆和直线的思考B(DenkenincirkelsenlijnenB)（4）冲突与镜面反射(Conflictlijnenenspiegels)下表是Freudenthal研究所设计的一个具体的现实数学课程方案,Profi每册教材在该课程方案中所处的位置在括弧内标出:年级A2,B1,B2通用内容4函数和图象100几何40(1。距离,边界和区域)组合数学与概率100离散分析40

5&6A2(经济和社会)600B1(科学和健康)600B2(科学和技术)760微积分及其应用80微分和积分120(1。和与差,距离与速度,2。微分的技巧,3。极值,5。积分)离散数学方法40线性规划40三角函数40(4。循环与周期函数)图与矩阵40微分方程初步40(7。连续动力系统模型)统计与概率80分布和检验40其它题材40高等几何120(2。关于圆和直线的思考A,3。关于圆和直线的思考B,4。冲突与镜面反射)选学内容40(可根据需要给上面内容适当增加的时间)40高等分析80(6。加速运动的数学模型,8。无限的规则)选学内容40其中4,5,6年级相当于我国的高一到高三年级，打号的部分可供A1(文化和社会方向,360学时)使用。教材中采用的情景取自于物理,化学和生物科学以及数学史的素材,概念的提出沿着从离散到连续的方向发展。这套教材具体课程目标是:揭示数学与物理,化学和生物科学之间的联系。掌握物理,化学和生物科学所需要的基本数学语言。理解数学无论过去和现在都是一项人类活动。运用科学计算器和几何画板,Cabri等数学软件。实现数学化以几何为例。Profi四册几何教材的每一册都围绕如下五个方面展开：建模：揭示数学模型如何从现实源泉中间产生，数学模型与现实之间的相互关系与内在联系，及数学模型的意义。抽象:与建模紧密相连，揭示数学模型如何以自然的方式导向数学概念和理论，以及在这个过程中，现实源泉又如何渐渐从背景中消失。推理:揭示数学推理的多种途径，纯粹的演绎证明很少，从具体情景出发,或同时从前提和具体情景出发做出的推理（如位置推理等）比较多。综合：平面和立体几何交织在一起，直观和非形式化的内容多，与现实联系的紧密,每个素材均指向对空间的理解和把握。技术：计算机和科学计算器是必不可少的教学工具。具体内容主要取材于:矩阵几何，综合几何和分析几何。Profi的内容贴近学生的生活体验,生动有趣。每一册都是从内容丰富的情景开始，以实现数学化为目标，着眼于如何从现实情景出发实现数学化,如何从实际生活进入数学的抽象层面，看上去引人入胜。例如“冲突与镜面反射”一册，从欧洲北海沿岸不同国家如何在北海上划定边界这一令人兴味十足的情景开始，引出了“冲突线（曲线）”的概念，通过这一具体问题逐步发现了抽象的“Voronoi图”及其作用。整个教材以问题串的形式呈现，引导学生在延绵不断的探索过程中，对实际问题不断作出简化，逐步发现一些基本规则，然后对这些规则附以逻辑的证明，并通过他们去发现和证明一些更复杂的结果。限于篇幅，这里的介绍只能是粗略的，仅可尽管窥之功。但不难看出，现实数学课程，无论是课程目标还是结构内容与我们目前高中课程的思路都不太一样。要从这样的教材中找出几个我们熟悉的高中数学知识点不大容易，想通过这一类探索过程形成某种基本技能也有点难。它的引人入胜之处在于提供了可供学生探索的广阔空间。而且它的每一册都是这样的风格，可以想象，在这样的教材持续不断的熏陶之下，学生是会形成一些与发明和创造相关的资质的。目前我国基础教育课程改革的势头强劲，针对传统数学课程“繁，难，偏，旧”的积弊，新的高中数学课程毫无疑问的增加了与培养创新意识有关的方法和素材。因此，现实数学课程的经验值得我们思考。五、荷兰数学教材实录荷兰的数学教材种类比较多，下面着重介绍由Freudenthal研究所开发和由Freudenthal研究所的研究人员编写的教材。1．《情景数学》(MathematicsinContext)《情景数学》是在美国国家科学基金会(NSF)资助下,由美国Wisconsin-Madison大学Wisconsin教育研究中心和荷兰Utrecht大学Freudenthal研究所以国际合作的方式共同开发的一套供5-8年级(10-14岁)学生使用的数学教材。这套用英文出版的荷兰的教材，充分反映了荷兰现实数学课程的特色。了解和研究这套教材,对把握国际数学课程的改革与发展是有借鉴意义的。（1）《情景数学》的产生NCTM数学课程标准问世以后,NSF邀请NCTM提出具体计划,开发反映NCTM数学课程标准的美国初中（10-14岁）数学课程.与传统的数学课程标准相比,NCTM标准的核心是强调学生数学学习的主动性,主张数学是引导学生通过自身的努力去了解周围现实世界的途径.但当时美国自己在这方面的经验也不多,他们就广泛研究了其他国家的数学课程经验。在这个过程当中,荷兰的经验吸引了美国人的注意.当时的荷兰,以Freudenthal为先驱的Freudenthal研究所提出了完整的现实数学教育理论,并且积累了30多年用现实生活中的情景帮助学生学习数学的经验,已经开发了一系列与学生的现实生活紧密关联的数学课本.这些都与NCTM数学课程标准的初衷十分吻合.于是情景数学(MathematicsinContext)这样一个计划产生了:荷兰Freudenthal研究所与美国Wisconsin-Madison大学合作,共同开发一套即符合美国NCTM数学课程标准,同时又体现荷兰现实数学教育思想的数学教材.这项计划在NSF资助之下,从90年开始启动,Freudenthal研究所负责编写最初的课本,然后由Wisconsin-Madison大学的研究人员和教师在美国8个州50多所中学开展实验,在反复论证和充分吸收广大中学教师和学生建议的基础上，这套名为《情景数学》的数学教材于1998年正式出版.（2）《情景数学》的课程目标《情景数学》在课程目标方面首先考虑的是社会对数学的需求已经发生了的变化.事实上,数学发展一方面基于人的聪明才智,另一方面基于人们在解决实际问题时积累的经验.几十年来,人们对数学的需求已经发生了很大的变化,大多数人今天需要的数学已不仅限于严格的几何知识和对一些基本算法的理解和掌握了.人们广泛需要的是与日常生活密切相关的数学,如读懂随处可见的图型图表,分析统计资料,搞清包含在各种媒体里的数学信息等等.即使要有效的管理好自己的钱物,也不是仅仅依靠简单的机械计算能解决的.在职业和工作方面,人们需要比几何和算术更复杂的数学知识帮助解决决策方面的问题,以及借助计算机处理日常工作等等.所以,今天的数学不仅仅是一个与数量问题有关的计算工具,而且是帮助人们理解人类自身活动的一个一般性工具.情景数学的课程目标充分考虑了这些已经发生的变化,在更广泛的层面上提出自己的目标,其中所包含的数学内容,任务和问题都是围绕发展学生的自主探索能力和有利于引导学生讨论展开的,这一课程的目标是希望使学生能：自主探索不同数学对象之间的关系.发展和解释自己解决问题的思路和方法.合理使用相应的工具(如计算器,计算机软件)帮助解决问题,能相互倾听,相互理解,并能对他人的思想及方法做出客观的评价.传统的数学课程体系里,学生的角色往往是被动的.而这个课程目标的指向是让学生在解决实际问题的过程中学习数学,通过学生的自主探索,发展和解释学生自己解决问题的思路和方法,显然,这一课程目标赋予了学生更广阔的思考和活动空间.如果课程着眼于解决实际问题的过程,对数学的理解与个人的生活体验之间那种不可分割的联系就会突出出来.如果数学课程本身与现实生活中学生熟悉的情景联系密切,这些情景和其中的问题就会成为激励学生积极探索的丰富源泉,学生就有了充分的机会发展和运用属于他们自己的方法解决实际问题.在大量内容丰富的情景中认识,理解和发现数学,学生就不会象在传统的教室里那样仅仅是被动的知识接受者了.这个课程目标值得我们深思.（3）《情景数学》的内容从这套教材的名称大致可以窥见这套教材的内容,即从学生熟悉的情景出发学习和应用数学.这与从数学概念出发的传统数学教材有着很大的不同.(=1\*romani)《情景数学》的整体结构《情景数学》是供5-8年级使用的,每个年级有10个单元,每个单元一册,4个年级共40个单元40册.每册的标题都很有意思,有的直指该单元的内容,如Dealingwithdata─资料的搜集与整理;ExpressionsandFormulas─表示和公式.有的标题则是指纯粹的情景,不进入具体情景则很难揣摩该单元包含的具体数学内容.如DryandwetNumbers(干数和湿数)这个单元讲的是正数和负数;CerealNumbers(麦片数)这个单元的内容是分数,小数,百分数,比和比例的综合运用等等.下表将每个单元的标题依该单元的内容译出,并将原英文标题一并列出.由于每个单元的内容很难用一两个知识点概括,所以汉语标题所做的翻译是不太准确的.原标题则基本是以该单元依据的主要情景命名,两者结合起来可大致看出该单元的数学内容是包含在怎样的情景之中.

年级数分数,百分比,小数,比例代数代数,整数,模式几何几何和测量统计统计和概率5分数运算(Someoftheparts)小数(MeasureforMeasure)百分比(PerSense)☆比(GraspingSizes)模式和符号(PatternsandSymbols)☆正数和负数(DryandwetNumbers)☆视图(SideSeeing)坐标与方位(FiguringalltheAngles)☆图形与信息(Picturingnumbers)机会和可能性(Tackachance)6分数与百分比(F