函数、不等式模型实际应用问题

第25讲函数、不等式模型实际应用问题

1．考题展望函数、不等式模型及应用是新课标新增内容，因此新高考进一步加大了对应用意识和创新意识的考查力度．这些试题源于生活，背景公平，设问新颖，能很好地考查学生应用意识和创新意识以及分析问题和解决问题的能力．函数、不等式模型及应用通常是一小一大，求解时一般要利用导数或均值不等式等知识．从近几年高考应用题来看，应用题大致分为两类，一类是以实际生产生活问题构建试题背景，从已知中初步建立了数学模型，并且需依据问题情境，进一步构建或重组数学模型．并应用模型相关的数学基本知识来进行解模的实际应用问题．另一类是实际生产生活问题既构建了试题背景，又反映某种特定关系，需通过先建模，后解模的实际应用问题；从题目叙述上看，既有从“生活语言”到“数学语言”，又有从“数学语言”到“数学语言”的特征，并且试题文字较长，问题情境贴近学生而又新颖，对考生挑战很大．【命题立意】本题考查函数建模的能力，运用数学知识分析问题，解决问题的能力．属高考应用题中的容易题．【解析】(1)d＝|x

－3|＋|y－20|，y≥0，x∈R.(2)当点P(x，y)满足P(3，1)时，其到三个居民区的“L路径”长度值之和最小为45.【命题立意】本题考查函数建模的能力，绝对值函数的基本性质，分类与讨论的数学思想，运用数学解决问题的能力．(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明)；(2)若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区．请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．2．数学模型建立的主要步骤(1)理解问题：通过阅读理解、弄清问题的实际背景，明白问题反映的基本量和基本量之间的关系，并转化为用数学语言来描述．(2)简化假设：理解所给的实际问题之后，领悟背景中反映的基本量的实质，并对问题作必要的简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题中关键词和主要的变量．(3)数学建模：把握实际问题中的关键信息，通过恰当的联想、化归，根据实际问题实质建立变量或参数间的数学关系，实现实际问题数学化，通过引进数学符号，从而构建数学模型．常用的数学模型有方程、不等式、函数和数列等．(4)求解模型：以所学的数学知识为工具，对建立的数学模型进行求解．(5)检验评价：将所求的结果代回模型之中检验，并与实际情况比较，确定模型的有效性．【点评】本例第(1)小问依题设条件分段并利用不等式的解法解决实际应用问题，第(2)小问应用等差数列的基本知识与方法解决实际应用问题．3．解答数学应用题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象、概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；二是要合理选取参变量，设定变元后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程模型，最终求解数学模型使实际问题获解．AC李先生居住地2012年比2006年食品价格下降了7.5%，该家庭在2012年购买食品和2006年完全相同的情况下人均少支出75元，则该家庭2012年属于(

)A．贫困B．温饱C．小康D．富裕D【点评】本题考查分段函数模型及应用意识．D5．某人用10万元买了一辆小汽车用来跑出租，已知这辆汽车从启用的第一年起连续使用，第n年的保养维修费为2000(n－1)元，使用它直到“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这辆汽车的年平均耗资最少)为止，则最佳报废时间为____年．10

(1)若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时