小学奥数牛吃草问题经典例题透析

小学奥数牛吃草问题经典例题透析

牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长。这片牧场可供10头牛吃20天，可供15

头牛吃10天，问可供25头牛吃几天？

思路剖析

这是以前接触过的“牛吃草问题"，它的算术解法步骤较多，这里用列方程的

方法来解决。

设供25头牛可吃x天。

本题的等量关系比较隐蔽，读一下问题："每天牧草都匀速生长”，草生长的

速度是固定的，这就可以发掘出等量关系，如从"供10头牛吃20天"表达出生

长速度，再从"供15头牛吃10天”表达出生长速度，这两个速度应该一样，就

是一种相等关系；另外，最开始草场的草应该是固定的，也可以发掘出等量关系。

解答

设供25头牛可吃x天。

由：草的总量=每头牛每天吃的草x头数x天数

=原有的草+新生长的草

原有的草=每头牛每天吃的草X头数X天数-新生长的草

新生长的草=草的生长速度X天数

考虑已知条件，有

原有的草=每头牛每天吃的草X10X20-草的生长速度X20

原有的草=每头牛每天吃的草xl5xl0-草的生长速度xlO

所以：原有的草=每头牛每天吃的草x200-草的生长速度x20

原有的草=每头牛每天吃的草xl50-草的生长速度xlO

即：每头牛每天吃的草x200-草的生长速度x20

=每头牛每天吃的草xl50-草的生长速度xlO

每头牛每天吃的草x200草的生长速度x20+每头牛每天吃的草xl50-草的生

长速度X10

每头牛每天吃的草x200-每头牛每天吃的草xl50

=草的生长速度x20-草的生长速度xlO

每头牛每天吃的草X(200-150)=草的生长速度X(20-10)

所以：每头牛每天吃的草x50=草的生长速度xlO

每头牛每天吃的草x5=草的生长速度

因此，设每头牛每天吃的草为L则草的生长速度为5。

由：原有的草=每头牛每天吃的草x25x-草的生长速度xx

原有的草=每头牛每天吃的草xl0x20-草的生长速度x20

有：每头牛每天吃的草x25x-草的生长速度xx

=每头牛每天吃的草xl0x20-草的生长速度x20

所以:1X25X-5X=1X10X20-5X20

解这个方程

25x-5x=10x20-5x20

20x=100

x=5(天)

答：可供25头牛吃5天。

导言：

有一堆草，可供8头牛吃6天，照这样计算，这堆草如果供12头牛呼，可以

吃几天？这道题很简单，我们可以假设每头牛每天吃一份草，根据“供8头牛吃6

天”可以算出总草量，再求12头牛可以吃多少天。解答过程是：8X6+12=4

（天）。

但如果我们把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就变复杂了。上

题中的“一堆草”的总量是不变的，但“一片正在生长的草地”，每天都在生长，

总量是在不断变化的。这就是著名科学家牛顿在《普通算术》一书中提出的“牛吃

草”问题。

一、基本题型

例1.牧场上一片青菜，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20

天，或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？

解析：这类题的难点就是牧草每天都在发生变化。牧草可以分两部分：原有

的草和新生长的草。原有的草（简称“原草”）不变，新生长的草（简称“新

草”）因为是匀速生长，所以每天新长出的草的数量是相同的。因此，只要求出

牧草上原有的草量和每天新长出的草量，这道题就好解答了。

设每头牛每天吃“1”份草

（1）算出原草和每天长出的新草

10头牛20天吃草量为：1X10X20=200（份）一是原草+20天的新草

15头牛10天吃草量为：1X15X10=150（份）一是原草+10天的新草

两者比较：10天的新草就是200-150=50份，

那么每天长出的新草就是5份

可以算出原草：200-20X5或150-10X5=100份

（2）现在有25头牛，由于每头牛每天吃“1”份草，5头牛每天就5份草，而

新草每天也是长5份，我们可以让25头牛中的5头牛专吃每天长出的新草，剩下

的20头牛吃原草，这样可以吃100+（25-5）=5天

从上题我们可以总结出，解答“牛吃草”问题的两个基本步骤：

第一：算出原草和每天长出的新草

第二：让一部分牛吃每天长出的新草，然后求出其余的牛吃原草的天数

思考：如果牧场的草不是在匀速增加,而是在减少，又该怎么办？

由于天气变冷,牧场上的草不仅不增加,反而以固定的速度在减少.已知某块草地上

的草，可供20头牛吃5天，或供15头牛吃6天，那么它可供多少头牛吃10天？

二、变化题型

例2.有一口井，不断会涌出泉水，每分钟涌出的水量相等。若用8架抽水机

7分钟可以抽完，若用11架抽水机5分钟可以抽完，现在要求15分钟抽完井水，

需要几架抽水机？

解析：“水”相当于“草”，每分钟不断涌出的水量相当于“每天长出的新

草”，抽水机抽水相当于“牛吃草”

设抽水机每分钟抽1份水

(1)算出“原水"和''每天涌出的新水”

8架抽水机7份钟抽：1X8X7=56份水----原水+7分钟涌出的新水

11架抽水机5分钟抽：1X11X5=55份水——原水+11分钟涌出的新水

两者比较可得出：2分钟涌出的新水是56-55=1份，

那么每分钟新涌出0.5份水

可算出原水：56-0.5X7或55-0.5X5=52.5份

(2)要在15分钟内抽完，15分钟时的总水=原水+15分钟涌出的新水

=52.

5+15X0.5=60份

需要的抽水机是：60+15+1=4(台)

例3.某车站在检票前若干分钟就开始排队,每分钟来的旅客人数一样多，

从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需要30分钟，同时开5个检

票口需要20分钟,如果同时打开7个检票口，那么需要多少分钟？

解析：“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，检票前已排队的人

数相当于“原草”，每分钟来的旅客相当于每天长出的“新草”

设1个检票口每分钟检票的旅客人数为1份

(1)算出检票前原有旅客人数和检票时每分钟新来的旅客人数

4个检票口30分钟可检：1X4X30=120（人）——原有的人+30分钟新来的人数

5个检票口20分钟可检：1X5X20=100（人）——原有的人+20分钟新来的人数

两者比较可得出：10分钟新来了120-100=20人

那么，每分钟新来的旅客为2人

检票前已排队的人数是：120-2X30或100-2X20=60（人）

（2）让两个检票口专门来检新来的旅客，剩下的检票口检原有的旅客，需要

604-（7-2）=12分钟

例4.两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走。男孩每秒可走3级梯

级，女孩每秒可走2级梯级，结果从扶梯的一端到达另一端，男孩走了100秒，女

孩走了300秒；问：该扶梯共有多少级梯级？

解析：“梯级”相当于“草”，“速度”相当于“牛”，男、女孩每分钟

走的梯级数相当于牛的头数，扶梯运行的速度相当于草场每分钟长出的新草；两人

分别走的梯级总数相当于“总的草量”，包括两人走的梯级数和自动扶梯走的梯级

数

男孩每秒走3级，100秒走到另一端，相当于3头牛100秒吃完草

女孩每秒走2级，300秒走到另一端，相当于2头牛300秒吃完草

扶梯的速度是：（2X300-3X100）4-（300-100）=1.5（级）

扶梯的级数是是3-1.5）X100或（2-1.5）X300=150（级）

例5.有甲、乙两船同时从A港出发驶向B港，顺流而行。已知甲船在静水中

的行进速度是每小时20千米，乙船在静水中的行进速度是每小时30千米，甲船用

16小时到达B港，乙船用11小时到达B港，求A、B两港间的距离和水的流速。

解析：水流的速度相当于每天长出的新草。A、B两港间距离相当于“总草

里

水流的速度是（30X11-20X16）4-（16-11）=2（千米/小时）

A、B两港距离是30X11+2X11或20X16+2X16=352（千米）

例6.甲、乙、丙三人同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面正在走的

To这三人分别用12分钟、20分钟、24分钟追上丁。现在知道甲每分钟120米，

乙每分钟104米，那么，丙和丁每分钟各行多少米？

解析：由于丁一直在运动，总的路程在匀速变化，“路程”相当于“草”；

甲、乙的速度相当